Teoría de nudos
Un nudo, una vez pegados sus extremos, se representa por una curva simple y cerrada en R3; o de modo más amplio, por encajes o embebimientos (embeddings) de la circunferencia en diversos espacios topológicos ambiente.
En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en un espacio euclídeo tridimensional,
Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de
sobre sí mismo (lo que se conoce como una isotopía ambiental); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortarla o pasarla a través de sí| misma.
Existe una solución algorítmica completa a este problema, que tiene una complejidad desconocida.
Por ejemplo, un nudo de dimensión superior es una n-esfera dimensional incrustada en un espacio euclídeo (n+2)-dimensional.
La idea básica de esta definición es que, para darle cabida a que un nudo no se pueda desanudar, se pegan las puntas extremas del nudo.
Los arqueólogos han descubierto que la práctica de los nudos se remonta a la prehistoria.
Además de sus usos como grabar información y unir objetos, los nudos han interesado a los humanos por su estética y simbolismo espiritual.
El nudo sin fin aparece en el budismo tibetano, mientras que los anillos borromeo han hecho repetidas apariciones en diferentes culturas, a menudo representando la fuerza en la unidad.
En las últimas décadas del siglo XX, los científicos se interesaron por estudiar la nudos físicos para comprender los fenómenos de anudamiento en el ADN y otros polímeros.
La teoría de nudos puede utilizarse para determinar si una molécula es chiral (tiene una "handedness") o no (Simon, 1986).
A finales del siglo XIX, se inició un estudio sistemático de la teoría, cuando los matemáticos y físicos se dedicaron a tabular nudos.
Creía que, si clasificaba todos los nudos posibles, podría explicar cómo los átomos absorben y emiten luz.
Al principio del siglo XX, junto con el desarrollo de la topología, topólogos como Max Dehn, J. W. Alexander, y Kurt Reidemeister investigaron los nudos.
Pero los desarrollos más importantes de esta teoría se han producido en la segunda parte del siglo XX, gracias a las contribuciones de J.H.Conway, V.F.R.Jones, L.H.
son equivalentes si existe un conservador de orientación homeomorfismo
A la inversa, dos nudos equivalentes bajo la definición de isotopía ambiental son también equivalentes bajo la definición de homeomorfismo que preserva la orientación, porque la etapa
Existen Algoritmos para resolver este problema, siendo el primero dado por Wolfgang Haken a finales de los años 60 (Hass, 1998).
Sin embargo, estos algoritmos pueden consumir mucho tiempo, y una cuestión importante en la teoría es entender lo difícil que es realmente este problema (Hass, 1998).
Pero el mismo nudo admitirá distintas representaciones en forma de diagrama, así que surge el primer problema fundamental, ¿cuándo dos diagramas representarán el mismo nudo?
Dicho teorema permite decidir si un nudo es igual otro tan sólo haciendo dibujos y es una fuerte herramienta para la prueba de algunos invariantes.
Así, a priori no se conoce el número de movimientos necesarios para transformar un diagrama en otro.
Tampoco es posible saber con certeza en un tiempo finito si dos nudos no son equivalentes.
Un avance significativo en esta dirección fue la introducción en 1929 de los primeros invariantes.
Un invariante de nudos es una "cantidad" que es la misma para nodos equivalentes.
Aun así, un solo invariante puede tomar el mismo valor para dos nudos diferentes, siendo insuficiente para distinguirlos.
En cuatro dimensiones, cualquier circunferencia anudada es equivalente al nudo trivial.
Tal embebimiento se considerará no anudado si existe un homeomorfismo del espacio ambiente (la 4-esfera) en sí misma que lleve la 2-esfera considerada en la 2-esfera canónica.
Lo mismo puede decirse para superficies compactas, orientables o no.
