Integración numérica
El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión, a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida: Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue: Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral.
En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica.
Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral.
También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.
Cabe decir que el problema sólo tiene interés si no es posible conocer con exactitud el valor del error.
Entre dos métodos que tienen el mismo error, se considera superior el que necesita un menor número de evaluaciones de la función.
Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar
incluidos los extremos del rango será la fórmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen
o que no incluyen en los datos tabulados los extremos será la fórmula de Newton-Cotes abierta.
El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto
Este método se llama la regla del rectángulo: Si en el método anterior la función pasa a través del punto
este método se llama la regla del punto medio: Corresponde al caso donde el polinomio sustituto de la ecuación original es del primer orden aunque la fórmula original no pase por el punto
Entonces si: la regla de integración es: que viene a ser la misma fórmula que la usada en la regla del punto medio.
Este método se llama regla de Simpson: Para cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo
Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se caracterizan por perder un orden de precisión global frente a las correspondientes simples, si bien globalmente dan valores más precisos de la integral, a costa eso sí de incrementar significativamente el coste operativo del método.
Por ejemplo, la regla del trapecio compuesta puede expresarse como: donde los subintervalos tienen la forma
El resultado es usualmente más preciso cuando el número de puntos de evaluación aumenta, o, equivalentemente, cuando la anchura del paso entre puntos decrece.
Los métodos de extrapolación están descritos en más detalle por Stoer y Bulirsch (Sección 3.4).
Si f no tiene muchas derivadas definidas en todos sus puntos, o si las derivadas toman valores muy elevados, la integración gausiana es a menudo insuficiente.
Para muchos casos, estimar el error de la integral sobre un intervalo para un función f no es obvio.
Una solución popular es usar dos reglas de integración distintas, y tomar su diferencia como una estimación del error de la integral.
Pero también, si h es ya minúsculo, puede no valer la pena hacerlo todavía más pequeño si el error de la integral es aparentemente grande.
La heurística para integración adaptativa está discutida en Forsythe et al (sección 5.4).
en ambos lados de la igualdad y tomamos valores absolutos, tenemos Se puede aproximar más la integral en el lado derecho metiendo el valor absoluto en el integrando, y reemplazando el término en
, el error no es mayor que el lado derecho de la ecuación.
Los métodos de integración que se han comentado hasta aquí se han diseñado todos para calcular integrales de una dimensión.
Se conocen dos métodos para superar esta llamada maldición de la dimensión.
Si la integral de más arriba se escribe como I(b), entonces la función I satisface Los métodos desarrollados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, como por ejemplo los métodos de Runge-Kutta, se pueden aplicar para resolver el problema y por tanto se pueden utilizar para evaluar la integral.
