Potencial newtoniano

En matemáticas, el potencial newtoniano o potencial de Newton es un operador en cálculo vectorial que actúa como el inverso del Laplaciano negativo, en funciones que son suaves y decaen lo suficientemente rápido en el infinito.Como tal, es un objeto de estudio fundamental en Teoría del potencial.En su naturaleza general, es un operador integral singular, definido por convolución con una función que tiene una singularidad matemática en el origen, el núcleo newtoniano Γ que es la solución fundamental de la ecuación de Laplace.Debe su nombre a Isaac Newton, quien lo descubrió por primera vez y demostró que era una función armónica en la caso especial de tres variables, donde servía como potencial gravitatorio fundamental en la ley de la gravitación universal de Newton.El potencial newtoniano de una compactamente soportado función integrable f se define como la convolucióndonde el núcleo newtoniano Γ en dimensión d viene definido porAquí ωd es el volumen de la unidad d-balón (a veces las convenciones de signos pueden variar; compárese (Evans, 1998) y (Gilbarg y Trudinger, 1983)).w será una solución clásica, es decir dos veces diferenciable, si f está acotada y es localmente continua de Hölder como demostró Otto Hölder.Henrik Petrini demostró que esto era erróneo y dio un ejemplo de una f continua para la que w no es dos veces diferenciable.La solución no es única, ya que la adición de cualquier función armónica a w no afectará a la ecuación.Este hecho puede utilizarse para demostrar la existencia y unicidad de soluciones al problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson en dominios convenientemente regulares, y para funciones f convenientemente bien comportadas: primero se aplica un potencial newtoniano para obtener una solución, y luego se ajusta añadiendo una función armónica para obtener los datos de contorno correctos.El potencial newtoniano se define más ampliamente como la convolucióncuando μ es una medida de Radon compactamente soportada.Además, cuando la medida es positiva, el potencial newtoniano es subarmónica en Rd.Si f es una función continua compactamente soportada (o, más generalmente, una medida finita) que es rotacionalmente invariante, entonces la convolución de f con Γ satisface para x fuera del soporte de fAdemás, la derivada n| ormal es de w Derivada direccional| una función continua bien definida en S. Esto hace que las capas simples sean particularmente adecuadas para el estudio del problema de Neumann para la ecuación de Laplace.