(en lugar de la distancia euclídea), se obtiene la geometría de las hipérbolas, porque una circunferencia pseudoeuclídeaLas hipérbolas tienen entonces asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas denotados sin comilla (es decir, a x e y; y no a x' e y' ).se llama plano de Minkowski real clásico.no pueden conectarse mediante un ciclo si y solo siSe define entonces: Ambas son relaciones de equivalencia en el conjunto de puntos.De la definición anterior, se deduce que: Lema: Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de secciones planas de una cuádrica adecuada.Pero en este caso, la cuádrica se define en un espacio tridimensional 'proyectivo: el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide (cuádrica no degenerada de índice 2)., se define: Una clase de equivalenciase denomina (+)-generador y (-)-generador, respectivamente (para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea sobre el hiperboloide).se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas: También se establecen otras declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1 y C2 respectivamente): Las primeras consecuencias de los axiomas son: LemaPara un plano de Minkowskise cumple lo siguiente: • Cualquier punto está contenido en al menos un ciclo.• Cualquier generador contiene al menos 3 puntos.• Dos puntos pueden estar conectados mediante un ciclo si y sólo si no son paralelos.De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, se obtiene la conexión con la geometría del plano lineal a través de los residuos.Para un plano de Minkowskise define la estructura local Para el plano clásico de Minkowski,Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.es un plano de Minkowski si y sólo si para cualquier puntoes un plano afín El modelo mínimo de un plano de Minkowski se puede establecer sobre el conjuntode tres elementos: En cuanto a los puntos paralelos, se tiene que: De ahí quePara planos de Minkowski finitos, se obtiene de C1′ y C2′: LemaSeaun plano de Minkowski finito, por ejemplose tiene que: Esto da lugar a la siguiente definición: Consideraciones combinatorias simples permiten deducir que: LemaPara un plano de Minkowski finitose cumple que: • Cualquier residuo (plano afín) tiene ordenLos ejemplos más relevantes de planos de Minkowski se obtienen generalizando el modelo real clásico: simplemente, basta con reemplazararbitrario y se obtiene en cualquier caso un plano de Minkowskise denomina plano miqueliano de Minkowski.Un resultado sorprendente es que: Teorema (Heise): Observación: Una proyección estereográfica adecuada muestra queObservación: Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (véase el enlace web que figura a continuación).Pero no existen planos ovoidales de Minkowski, a diferencia de lo que sucede con los planos de Möbius y de Laguerre, dado que cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es una cuádrica (véase conjunto cuadrático).
