En matemáticas, y específicamente en geometría diferencial, una densidad es una cantidad que varía espacialmente en una variedad diferenciable, que puede ser integrada de manera intrínseca.
Un elemento del haz de densidades en x es una función que asigna un volumen para el paralelotopo abarcado por los n vectores tangentes dados en x.
Las densidades se pueden generalizar en s-densidades, cuyas representaciones de coordenadas se multiplican por la s-ésima potencia del valor absoluto del determinante jacobiano.
En general, no existe un concepto natural de volumen para un paralelotopo generado por vectores v1, ..., vn en un espacio vectorial V de n dimensiones.
Sin embargo, si se desea definir una función μ : V × ... × V → R que asigne un volumen a cualquier paralelotopo, debe satisfacer las siguientes propiedades: Estas condiciones son equivalentes a la afirmación de que μ está dada por una medida invariante de traslación en V, y se pueden reformular como Cualquier aplicación μ : V × ... × V → R de este tipo se denomina densidad en el espacio vectorial V. Téngase en cuenta que si (v1, ..., vn) es alguna base para V, entonces disponiendo μ(v1, ..., vn) solucionará μ por completo.
De ello se deduce que el conjunto Vol(V) de todas las densidades en V forma un espacio vectorial unidimensional.
Cualquier n- forma distinta de cero ω en V define una orientación o ∈ Or(V) tal que y viceversa, cualquier o ∈ Or(V) y cualquier densidad μ ∈ Vol(V) definen una n-forma ω en V por En términos de espacios de productos tensoriales, Las densidades s en V son funciones μ : V × ... × V → R tales que Al igual que las densidades, las densidades s forman un espacio vectorial unidimensional Vols(V), y cualquier forma n ω en V define una densidad s |ω|s en V por El producto de las densidades s1- y s2 μ1 y μ2 forman una (s1+s2)-densidad μ por En términos de espacios de productos tensoriales este hecho se puede expresar como Formalmente, el haz de densidad s Vols(M) de una variedad diferenciable M se obtiene mediante la construcción de un fibrado asociado, entrelazando la representación de grupo unidimensional del grupo lineal general con el haz de sistemas de referencia de M. El haz de líneas resultante se conoce como haz de densidades s y se denota por Una 1-densidad también se conoce simplemente como densidad.
subordinado al recubrimiento abierto Uα de modo que el cociclo GL(1) asociado satisfaga Las densidades juegan un papel importante en la teoría de la integración sobre variedades.
Dada una 1-densidad ƒ apoyada en un grafo de coordenadas Uα, la integral está definida por donde la última integral es con respecto a la medida de Lebesgue en Rn.
También en estas convenciones, una métrica conforme se identifica con una densidad tensorial de peso 2.