Transformación afín
En el caso de dimensión finita, toda transformación afín puede representarse por una matriz
Geométricamente, una transformación afín en un espacio euclídeo es una transformación que preserva: En general, una transformación afín está compuesta de transformaciones lineales (rotaciones, homotecias y cizallamientos) compuestas con una traslación o desplazamiento.
En el caso 1-dimensional A y b se llaman, respectivamente, la pendiente y el término independiente.
es una transformación afín si existe una aplicación lineal
{\displaystyle {\overrightarrow {f(p)~f(q)}}=g({\overrightarrow {pq}})}
Así, sólo existe una aplicación lineal con las condiciones de la definición.
{\displaystyle ~f(p+u)=f(p)+{\tilde {f}}(u)\quad \forall p\in \mathbb {A} ,u\in E}
donde se han utilizado la definición de combinación afín con punto auxiliar
es una transformación afín y la definición de combinación afín con punto auxiliar
Veremos ahora que las transformaciones afines son y sólo son aquellas que conservan alineaciones de puntos y razones simples.
Para ello, primero vamos a definir formalmente estas condiciones: Dada
conserva alineaciones de puntos si
o lo que es lo mismo, la variedad lineal más pequeña que contiene a
La demostración de esto último se puede ver en el artículo de combinaciones afines.
conserva razones simples si cumple dos condiciones: donde, dados
( a , b , c ) = λ ∈
{\displaystyle (a,b,c)=\lambda \in \mathbb {K} }
Con estas definiciones, tenemos el siguiente teorema: Entonces,
conserva alineaciones y razones simples
El álgebra vectorial ordinaria usa la multiplicación por matrices para representar transformaciones lineales y la suma de vectores para representar traslaciones.
Mediante "matrices ampliadas", resulta posible representar ambos tipos de transformaciones exclusivamente mediante multiplicación por matrices.
La técnica para "ampliar los vectores" consiste en añadir un vector con una componente extra de valor unitario al resto de las componentes y a todas las matrices se le añade una columna al final con el vector que da la traslación y una fila al final con componentes cero y un 1 en la última posición, es decir:
O en forma más compacta:
Esta representación permite ver rápidamente que el conjunto de todas las transformaciones afines invertibles es el producto semidirecto
; el grupo anterior bajo la operación de composición de transformaciones es un grupo llamado grupo afín de orden n. Como puede verse este grupo es un subgrupo de
En la representación matricial descrita anteriormente, la inversa tiene la forma:
Las transformaciones afines invertibles (de un espacio afín en sí mismo) forman el llamado grupo afín que como se ha mencionado tiene al grupo lineal de orden n como subgrupo.
El propio grupo afín de orden n es a su vez subgrupo del grupo lineal de orden n+1.
En el ámbito del procesamiento digital de imágenes, las transformaciones afines son análogas a imprimir en una hoja de goma y estirar los bordes de forma paralela al plano.
Las transformaciones afines escalar, rotan, y hacen simetría especular y cizallamiento de imágenes según los ejemplos siguientes: (transforma la imagen original en sí misma)
