Combinación afín

, y un número finito de puntos

es un punto expresado con una combinación lineal

En general, las operaciones producto por escalar y suma no están definidas en el conjunto

, de forma que, fijado un punto auxiliar

la expresión anterior se define como

En esta expresión, las operaciones suma y producto por escalar sí que están definidas, pues se aplican a

, elementos de un espacio vectorial

La expresión anterior está bien definida porque es independiente del punto auxiliar

Es decir, fijado otro punto auxiliar

arbitrario, la combinación afín obtenida por la anterior definición es la misma:

Por tanto, la definición de combinación afín de puntos no depende del punto auxiliar elegido para calcularla.

El concepto de combinación afín es fundamental en geometría euclidiana y geometría afín, porque el conjunto de todas las combinaciones afines de un conjunto de puntos forman la variedad lineal más pequeña que los contiene.

Es decir, si consideramos el conjunto de puntos

, entonces Por tanto, solo queda ver que

es una variedad lineal y que no solo contiene a

, sino que es la más pequeña con esta característica.

En primer lugar, veremos que si consideramos una variedad lineal

De esto obtenemos que cualquier variedad lineal que contenga a

es más grande o igual que

, y solo quedará comprobar que

es efectivamente una variedad lineal para poder afirmar el enunciado.

una variedad lineal tal que

Si vemos que necesariamente

tendremos la inclusión que buscamos.

Por tanto, utilizando la definición anterior y tomando

Solo queda ver, pues, que

denota el subespacio generado por el conjunto de vectores

es claramente una variedad lineal porque está construida como un punto más un espacio vectorial.

y de combinación afín, Por tanto, hemos demostrado que

es una variedad lineal y que, además, es la más pequeña que contiene a