Combinación afín

En matemáticas, dado un espacio afín, y un número finito de puntosEn general, las operaciones producto por escalar y suma no están definidas en el conjunto, de forma que, fijado un punto auxiliarla expresión anterior se define comoEn esta expresión, las operaciones suma y producto por escalar sí que están definidas, pues se aplican a, elementos de un espacio vectorialLa expresión anterior está bien definida porque es independiente del punto auxiliarEs decir, fijado otro punto auxiliararbitrario, la combinación afín obtenida por la anterior definición es la misma:Por tanto, la definición de combinación afín de puntos no depende del punto auxiliar elegido para calcularla.El concepto de combinación afín es fundamental en geometría euclidiana y geometría afín, porque el conjunto de todas las combinaciones afines de un conjunto de puntos forman la variedad lineal más pequeña que los contiene.Es decir, si consideramos el conjunto de puntos, entonces Por tanto, solo queda ver quees una variedad lineal y que no solo contiene a, sino que es la más pequeña con esta característica.En primer lugar, veremos que si consideramos una variedad linealDe esto obtenemos que cualquier variedad lineal que contenga aes más grande o igual que, y solo quedará comprobar quees efectivamente una variedad lineal para poder afirmar el enunciado.una variedad lineal tal queSi vemos que necesariamentetendremos la inclusión que buscamos.Por tanto, utilizando la definición anterior y tomandoSolo queda ver, pues, quedenota el subespacio generado por el conjunto de vectoreses claramente una variedad lineal porque está construida como un punto más un espacio vectorial.y de combinación afín, Por tanto, hemos demostrado quees una variedad lineal y que, además, es la más pequeña que contiene a