Módulo (matemáticas)

En matemáticas , un módulo es una generalización de la noción de espacio vectorial en la que el cuerpo de escalares se reemplaza por un anillo (no necesariamente conmutativo ) . El concepto de módulo también generaliza la noción de grupo abeliano , ya que los grupos abelianos son exactamente los módulos sobre el anillo de números enteros . ^[1]

Como un espacio vectorial, un módulo es un grupo abeliano aditivo, y la multiplicación escalar es distributiva sobre las operaciones de adición entre elementos del anillo o módulo y es compatible con la multiplicación del anillo.

Los módulos están estrechamente relacionados con la teoría de la representación de grupos . También son una de las nociones centrales del álgebra conmutativa y del álgebra homológica , y se utilizan ampliamente en la geometría algebraica y la topología algebraica .

Introducción y definición

Motivación

En un espacio vectorial, el conjunto de escalares es un cuerpo y actúa sobre los vectores mediante multiplicación escalar, sujeto a ciertos axiomas como la ley distributiva . En un módulo, los escalares solo necesitan ser un anillo , por lo que el concepto de módulo representa una generalización significativa. En álgebra conmutativa, tanto los ideales como los anillos de cocientes son módulos, de modo que muchos argumentos sobre ideales o anillos de cocientes se pueden combinar en un solo argumento sobre módulos. En álgebra no conmutativa, la distinción entre ideales izquierdos, ideales y módulos se vuelve más pronunciada, aunque algunas condiciones de teoría de anillos se pueden expresar sobre ideales izquierdos o módulos izquierdos.

Gran parte de la teoría de módulos consiste en extender tantas propiedades deseables de los espacios vectoriales como sea posible al reino de los módulos sobre un anillo " de buen comportamiento ", como un dominio de ideales principales . Sin embargo, los módulos pueden ser bastante más complicados que los espacios vectoriales; por ejemplo, no todos los módulos tienen una base , e incluso para aquellos que la tienen ( módulos libres ), el número de elementos en una base no necesita ser el mismo para todas las bases (es decir, no pueden tener un rango único ) si el anillo subyacente no satisface la condición de número de base invariante , a diferencia de los espacios vectoriales, que siempre tienen una base (posiblemente infinita) cuya cardinalidad es entonces única. (Estas dos últimas afirmaciones requieren el axioma de elección en general, pero no en el caso de espacios vectoriales de dimensión finita , o ciertos espacios vectoriales de dimensión infinita de buen comportamiento como los espacios L p ).

Definición formal

Supóngase que R es un anillo y 1 es su identidad multiplicativa. Un R -módulo izquierdo M consiste en un grupo abeliano ( M , +) y una operación · : R × M → M tal que para todo r , s en R y x , y en M , tenemos

$r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$ ,
$(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$ ,
$(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$ ,
$1\cdot x=x.$

La operación · se llama multiplicación escalar . A menudo se omite el símbolo ·, pero en este artículo lo usamos y reservamos la yuxtaposición para la multiplicación en R. Se puede escribir _R M para enfatizar que M es un R -módulo izquierdo. Un R -módulo derecho M _R se define de manera similar en términos de una operación · : M × R → M .

Los autores que no exigen que los anillos sean unitarios omiten la condición 4 en la definición anterior; denominarían a las estructuras definidas anteriormente " módulos R izquierdos unitarios ". En este artículo, de acuerdo con el glosario de la teoría de anillos , se supone que todos los anillos y módulos son unitarios. ^[2]

Un ( R , S ) -bimódulo es un grupo abeliano junto con una multiplicación escalar izquierda · por elementos de R y una multiplicación escalar derecha ∗ por elementos de S , lo que lo convierte simultáneamente en un R -módulo izquierdo y un S -módulo derecho, satisfaciendo la condición adicional ( r · x ) ∗ s = r ⋅ ( x ∗ s ) para todo r en R , x en M y s en S .

Si R es conmutativo , entonces los módulos R izquierdos son los mismos que los módulos R derechos y simplemente se llaman módulos R.

Ejemplos

Si K es un campo , entonces los K -módulos se denominan K - espacios vectoriales (espacios vectoriales sobre K ).
Si K es un cuerpo y K [ x ] un anillo polinomial univariado , entonces un K [ x ]-módulo M es un K -módulo con una acción adicional de x sobre M por un homomorfismo de grupo que conmuta con la acción de K sobre M . En otras palabras, un K [ x ]-módulo es un K -espacio vectorial M combinado con una función lineal de M a M . La aplicación del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal a este ejemplo muestra la existencia de las formas racional y canónica de Jordan .
El concepto de Z -módulo concuerda con la noción de grupo abeliano. Es decir, cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de números enteros Z de una manera única. Para n > 0 , sea n ⋅ x = x + x + ... + x ( n sumandos), 0 ⋅ x = 0 y (− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x ) . Un módulo de este tipo no necesita tener una base ; los grupos que contienen elementos de torsión no la tienen. (Por ejemplo, en el grupo de números enteros módulo 3, no se puede encontrar ni un solo elemento que satisfaga la definición de un conjunto linealmente independiente , ya que cuando un número entero como 3 o 6 multiplica un elemento, el resultado es 0. Sin embargo, si un cuerpo finito se considera como un módulo sobre el mismo cuerpo finito tomado como un anillo, es un espacio vectorial y tiene una base.)
Las fracciones decimales (incluidas las negativas) forman un módulo sobre los números enteros. Sólo los singletons son conjuntos linealmente independientes, pero no hay ningún singleton que pueda servir de base, por lo que el módulo no tiene base ni rango.
Si R es un anillo cualquiera y n un número natural , entonces el producto cartesiano R ⁿ es un módulo R tanto izquierdo como derecho sobre R si usamos las operaciones componente por componente. Por lo tanto, cuando n = 1 , R es un módulo R , donde la multiplicación escalar es simplemente la multiplicación del anillo. El caso n = 0 produce el módulo R trivial {0} que consiste solo en su elemento identidad. Los módulos de este tipo se denominan libres y si R tiene un número base invariante (por ejemplo, cualquier anillo o cuerpo conmutativo), el número n es entonces el rango del módulo libre.
Si M _n ( R ) es el anillo de matrices n × n sobre un anillo R , M es un M _n ( R )-módulo, y e _i es la matriz n × n con 1 en la entrada ( i , i ) (y ceros en el resto), entonces e _i M es un R -módulo, puesto que re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Por lo tanto, M se descompone como la suma directa de R -módulos, M = e ₁M ⊕ ... ⊕ e _n M . A la inversa, dado un R -módulo M ₀ , entonces M ₀^⊕ⁿ es un M _n ( R )-módulo. De hecho, la categoría de R -módulos y la categoría de M _n ( R )-módulos son equivalentes . El caso especial es que el módulo M es simplemente R como un módulo sobre sí mismo, entonces R ⁿ es un M _n ( R )-módulo.
Si S es un conjunto no vacío , M es un R -módulo izquierdo y M ^S es la colección de todas las funciones f : S → M , entonces con adición y multiplicación escalar en M ^S definidas puntualmente por ( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s ) y ( rf )( s ) = rf ( s ) , M ^S es un R -módulo izquierdo. El caso del R -módulo derecho es análogo. En particular, si R es conmutativo, entonces la colección de homomorfismos de R-módulo h : M → N (ver abajo) es un R -módulo (y de hecho un submódulo de N ^M ).
Si X es una variedad suavizada , entonces las funciones suavizadas desde X hasta los números reales forman un anillo C ^∞ ( X ). El conjunto de todos los campos vectoriales suavizados definidos en X forman un módulo sobre C ^∞ ( X ), y lo mismo hacen los campos tensoriales y las formas diferenciales sobre X . De manera más general, las secciones de cualquier fibrado vectorial forman un módulo proyectivo sobre C ^∞ ( X ), y por el teorema de Swan , cada módulo proyectivo es isomorfo al módulo de las secciones de algún fibrado vectorial; la categoría de C ^∞ ( X )-módulos y la categoría de fibrados vectoriales sobre X son equivalentes .
Si R es cualquier anillo e I es cualquier ideal izquierdo en R , entonces I es un R -módulo izquierdo, y análogamente los ideales derechos en R son R -módulos derechos.
Si R es un anillo, podemos definir el anillo opuesto R ^op , que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma operación de adición, pero la multiplicación opuesta: si ab = c en R , entonces ba = c en R ^op . Cualquier R -módulo izquierdo M puede verse entonces como un módulo derecho sobre R ^op , y cualquier módulo derecho sobre R puede considerarse un módulo izquierdo sobre R ^op .
Los módulos sobre un álgebra de Lie son módulos (álgebra asociativa) sobre su álgebra envolvente universal .
Si R y S son anillos con un homomorfismo de anillo φ : R → S , entonces cada S -módulo M es un R -módulo definiendo rm = φ ( r ) m . En particular, S en sí mismo es un R -módulo.

Submódulos y homomorfismos

Supóngase que M es un R -módulo izquierdo y N es un subgrupo de M. Entonces N es un submódulo (o más explícitamente un R -submódulo) si para cualquier n en N y cualquier r en R , el producto r ⋅ n (o n ⋅ r para un R -módulo derecho ) está en N.

Si X es cualquier subconjunto de un R -módulo M , entonces el submódulo abarcado por X se define como donde N se extiende sobre los submódulos de M que contienen a X , o explícitamente , lo cual es importante en la definición de productos tensoriales de módulos . ^[3] ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$

El conjunto de submódulos de un módulo dado M , junto con las dos operaciones binarias + (el módulo generado por la unión de los argumentos) y ∩, forma una red que satisface la ley modular : Dados los submódulos U , N ₁ , N ₂ de M tales que N ₁ ⊆ N ₂ , entonces los dos submódulos siguientes son iguales: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Si M y N son R -módulos restantes , entonces una función f : M → N es un homomorfismo de R -módulos si para cualquier m , n en M y r , s en R ,

f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)

Este, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es simplemente una aplicación que preserva la estructura de los objetos. Otro nombre para un homomorfismo de R -módulos es una aplicación R - lineal .

Un homomorfismo de módulo biyectivo f : M → N se denomina isomorfismo de módulo y los dos módulos M y N se denominan isomorfos . Dos módulos isomorfos son idénticos a todos los efectos prácticos y difieren únicamente en la notación de sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulo f : M → N es el submódulo de M que consiste en todos los elementos que son enviados a cero por f , y la imagen de f es el submódulo de N que consiste en los valores f ( m ) para todos los elementos m de M . ^[4] Los teoremas de isomorfismo familiares de los grupos y espacios vectoriales también son válidos para los R -módulos.

Dado un anillo R , el conjunto de todos los R -módulos izquierdos junto con sus homomorfismos de módulos forma una categoría abeliana , denotada por R - Mod (ver categoría de módulos ).

Tipos de módulos

Finitamente generado: Un módulo R M se genera finitamente si existen finitos elementos x ₁ , ..., x _n en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de aquellos elementos con coeficientes del anillo R .
Cíclico: Un módulo se denomina módulo cíclico si es generado por un elemento.
Gratis: Un módulo R libre es un módulo que tiene una base o, equivalentemente, uno que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo R. Estos son los módulos que se comportan de manera muy similar a los espacios vectoriales.
Descriptivo: Los módulos proyectivos son sumas directas de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.
Inyectivo: Los módulos inyectivos se definen de forma dual con respecto a los módulos proyectivos.
Departamento: Un módulo se llama plano si al tomar su producto tensorial con cualquier secuencia exacta de R -módulos se conserva la exactitud.
Sin torsión: Un módulo se llama sin torsión si se incrusta en su dual algebraico .
Simple: Un módulo simple S es un módulo que no es {0} y cuyos únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se denominan irreducibles . ^[5]
Semisimple: Un módulo semisimple es una suma directa (finita o no) de módulos simples. Históricamente, estos módulos también se denominan completamente reducibles .
Indecomponible: Un módulo indescomponible es un módulo distinto de cero que no se puede escribir como suma directa de dos submódulos distintos de cero. Todo módulo simple es indescomponible, pero hay módulos indescomponibles que no son simples (por ejemplo, los módulos uniformes ).
Fiel: Un módulo fiel M es aquel en el que la acción de cada r ≠ 0 en R sobre M no es trivial (es decir, r ⋅ x ≠ 0 para algún x en M ). De manera equivalente, el aniquilador de M es el ideal cero .
Sin torsión: Un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo tal que 0 es el único elemento aniquilado por un elemento regular (distinto del divisor de cero ) del anillo, equivalentemente rm = 0 implica r = 0 o m = 0 .
Noetheriano: Un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente de submódulos, es decir, cada cadena creciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos. De manera equivalente, cada submódulo se genera de manera finita.
Artiniano: Un módulo artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en submódulos, es decir, cada cadena decreciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos.
Calificado: Un módulo graduado es un módulo con una descomposición como suma directa M = ⨁ _x M _x sobre un anillo graduado R = ⨁ _x R _x tal que R _x M _y ⊆ M _{x + y} para todo x e y .
Uniforme: Un módulo uniforme es un módulo en el que todos los pares de submódulos distintos de cero tienen intersección distinta de cero.

Otras nociones

Relación con la teoría de la representación

Una representación de un grupo G sobre un campo k es un módulo sobre el anillo de grupo k [ G ].

Si M es un R -módulo izquierdo , entonces la acción de un elemento r en R se define como la función M → M que envía cada x a rx (o xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano ( M , +) . El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M se denota Extremo _Z ( M ) y forma un anillo bajo adición y composición , y enviar un elemento de anillo r de R a su acción en realidad define un homomorfismo de anillo de R a Extremo _Z ( M ).

Un homomorfismo de anillo de este tipo R → End _Z ( M ) se denomina representación de R sobre el grupo abeliano M ; una forma alternativa y equivalente de definir R -módulos izquierdos es decir que un R -módulo izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R sobre él. Una representación de este tipo R → End _Z ( M ) también puede denominarse acción de anillo de R sobre M .

Una representación se llama fiel si y solo si la función R → End _Z ( M ) es inyectiva . En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M , entonces r = 0 . Todo grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre algún anillo de números enteros módulo n , Z / n Z .

Generalizaciones

Un anillo R corresponde a una categoría preaditiva R con un único objeto . Con esta comprensión, un R -módulo izquierdo es simplemente un funtor aditivo covariante de R a la categoría Ab de grupos abelianos , y los R -módulos derechos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es cualquier categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab debe considerarse un módulo izquierdo generalizado sobre C . Estos funtores forman una categoría de funtores C - Mod , que es la generalización natural de la categoría de módulo R - Mod .

Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección diferente: tomemos un espacio anillado ( X , O _X ) y consideremos los haces de O _X -módulos (ver haz de módulos ). Estos forman una categoría O _X - Mod , y juegan un papel importante en la geometría algebraica moderna . Si X tiene un solo punto, entonces esta es una categoría de módulo en el sentido antiguo sobre el anillo conmutativo O _X ( X ).

También se pueden considerar módulos sobre un semianillo . Los módulos sobre anillos son grupos abelianos, pero los módulos sobre semianillos son solo monoides conmutativos . La mayoría de las aplicaciones de módulos aún son posibles. En particular, para cualquier semianillo S , las matrices sobre S forman un semianillo sobre el cual las tuplas de elementos de S son un módulo (solo en este sentido generalizado). Esto permite una generalización adicional del concepto de espacio vectorial que incorpora los semianillos de la informática teórica.

Sobre anillos cercanos , se pueden considerar módulos de anillos cercanos, una generalización no abeliana de módulos. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

Notas

^ Hungerford (1974) Álgebra , Springer, pág. 169: "Los módulos sobre un anillo son una generalización de los grupos abelianos (que son módulos sobre Z)".
^ Dummit, David S. y Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7.
^ Mcgerty, Kevin (2016). "ÁLGEBRA II: ANILLOS Y MÓDULOS" (PDF) .
^ Ash, Robert. "Fundamentos del módulo" (PDF) . Álgebra abstracta: el año básico de posgrado .
^ Jacobson (1964), pág. 4, definición 1

Referencias

FW Anderson y KR Fuller: Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 13, 2.ª ed., Springer-Verlag, Nueva York, 1992, ISBN 0-387-97845-3 , ISBN 3-540-97845-3
Nathan Jacobson . Estructura de los anillos . Colloquium publications, vol. 37, 2.ª ed., AMS Bookstore, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

Enlaces externos

"Módulo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Módulo en el laboratorio n