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Representación grupal

Una representación de un grupo "actúa" sobre un objeto. Un ejemplo sencillo es cómo las simetrías de un polígono regular , que consisten en reflexiones y rotaciones, transforman el polígono.

En el campo matemático de la teoría de la representación , las representaciones de grupo describen grupos abstractos en términos de transformaciones lineales biyectivas de un espacio vectorial a sí mismo (es decir, automorfismos de espacios vectoriales ); en particular, se pueden utilizar para representar elementos de grupo como matrices invertibles de modo que la operación de grupo se pueda representar mediante la multiplicación de matrices .

En química, una representación de grupo puede relacionar elementos de un grupo matemático con rotaciones simétricas y reflexiones de moléculas.

Las representaciones de grupos permiten que muchos problemas de teoría de grupos se reduzcan a problemas de álgebra lineal . En física , describen cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de las ecuaciones que describen ese sistema.

El término representación de un grupo también se utiliza en un sentido más general para referirse a cualquier "descripción" de un grupo como un grupo de transformaciones de algún objeto matemático. Más formalmente, una "representación" significa un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismos de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial, tenemos una representación lineal . Algunas personas utilizan el término "realización" para la noción general y reservan el término "representación" para el caso especial de las representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de la representación lineal; consulte la última sección para ver las generalizaciones.

Ramas de la teoría de la representación grupal

La teoría de la representación de grupos se divide en subteorías según el tipo de grupo que se represente. Las distintas teorías difieren bastante en los detalles, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:

La teoría de la representación también depende en gran medida del tipo de espacio vectorial en el que actúa el grupo. Se distingue entre representaciones de dimensión finita y de dimensión infinita. En el caso de dimensión infinita, son importantes las estructuras adicionales (por ejemplo, si el espacio es o no un espacio de Hilbert , un espacio de Banach , etc.).

También hay que tener en cuenta el tipo de campo sobre el que se define el espacio vectorial. El caso más importante es el campo de los números complejos . Los otros casos importantes son el campo de los números reales , los campos finitos y los campos de los números p-ádicos . En general, los campos algebraicamente cerrados son más fáciles de manejar que los no algebraicamente cerrados. La característica del campo también es significativa; muchos teoremas para grupos finitos dependen de la característica del campo de no dividir el orden del grupo .

Definiciones

Una representación de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un homomorfismo de grupo de G a GL( V ), el grupo lineal general en V . Es decir, una representación es una función

de tal manera que

Aquí, V se denomina espacio de representación y la dimensión de V se denomina dimensión o grado de la representación. Es una práctica común referirse a V en sí como la representación cuando el homomorfismo resulta claro a partir del contexto.

En el caso donde V es de dimensión finita n es común elegir una base para V e identificar GL( V ) con GL( n , K ) , el grupo de matrices invertibles en el cuerpo K .

Una representación fiel es aquella en la que el homomorfismo G → GL( V ) es inyectivo ; en otras palabras, aquel cuyo núcleo es el subgrupo trivial { e } que consiste únicamente en el elemento identidad del grupo.

Ejemplos

Consideremos el número complejo u = e 2πi / 3 que tiene la propiedad u 3 = 1. El conjunto C 3 = {1, u , u 2 } forma un grupo cíclico bajo la multiplicación. Este grupo tiene una representación ρ en dada por:

Esta representación es fiel porque ρ es una función biunívoca .

Otra representación para C 3 en , isomorfa a la anterior, es σ dada por:

El grupo C 3 también puede representarse fielmente por τ dado por:

dónde

Otro ejemplo:

Sea el espacio de polinomios homogéneos de grado 3 sobre los números complejos en variables

Luego actúa mediante permutación de las tres variables.

Por ejemplo, envía a .

Reducibilidad

Un subespacio W de V que es invariante bajo la acción del grupo se llama subrepresentación . Si V tiene exactamente dos subrepresentaciones, a saber, el subespacio de dimensión cero y V mismo, entonces se dice que la representación es irreducible ; si tiene una subrepresentación propia de dimensión distinta de cero, se dice que la representación es reducible . La representación de dimensión cero se considera ni reducible ni irreducible, [1] así como el número 1 se considera ni compuesto ni primo .

Suponiendo que la característica del cuerpo K no divide el tamaño del grupo, las representaciones de grupos finitos pueden descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles (véase el teorema de Maschke ). Esto es válido en particular para cualquier representación de un grupo finito sobre los números complejos , ya que la característica de los números complejos es cero, que nunca divide el tamaño de un grupo.

En el ejemplo anterior, las dos primeras representaciones dadas (ρ y σ) son ambas descomponibles en dos subrepresentaciones unidimensionales (dadas por span{(1,0)} y span{(0,1)}), mientras que la tercera representación (τ) es irreducible.

Generalizaciones

Representaciones de teoría de conjuntos

Una representación teórica de conjuntos (también conocida como representación de acción de grupo o de permutación ) de un grupo G en un conjunto X está dada por una función ρ : GX X , el conjunto de funciones de X a X , tales que para todos los g 1 , g 2 en G y todos los x en X :

donde es el elemento identidad de G . Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ( g ) es una biyección (o permutación ) para todo g en G . Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente una representación de permutación como un homomorfismo de grupo de G al grupo simétrico S X de X .

Para obtener más información sobre este tema, consulte el artículo sobre acción grupal .

Representaciones en otras categorías

Cada grupo G puede considerarse como una categoría con un único objeto; los morfismos en esta categoría son simplemente los elementos de G. Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en C es un funtor de G a C. Tal funtor selecciona un objeto X en C y un homomorfismo de grupo de G a Aut( X ) , el grupo de automorfismos de X.

En el caso en que C sea Vect K , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo K , esta definición es equivalente a una representación lineal. De la misma manera, una representación de teoría de conjuntos es simplemente una representación de G en la categoría de conjuntos .

Cuando C es Ab , la categoría de los grupos abelianos , los objetos obtenidos se denominan G -módulos .

Como otro ejemplo , considere la categoría de espacios topológicos Top . Las representaciones en Top son homomorfismos desde G hasta el grupo de homeomorfismos de un espacio topológico X.

Dos tipos de representaciones estrechamente relacionadas con las representaciones lineales son:

Véase también

Notas

  1. ^ "1.4: Representaciones". Chemistry LibreTexts . 2019-09-04 . Consultado el 2021-06-23 .

Referencias