Teorema de Peter-Weyl

Resultado básico en análisis armónico sobre grupos topológicos compactos

En matemáticas , el teorema de Peter-Weyl es un resultado básico en la teoría del análisis armónico , que se aplica a grupos topológicos que son compactos , pero no necesariamente abelianos . Fue demostrado inicialmente por Hermann Weyl , con su alumno Fritz Peter , en el contexto de un grupo topológico compacto G (Peter y Weyl 1927). El teorema es una colección de resultados que generalizan los hechos significativos sobre la descomposición de la representación regular de cualquier grupo finito , como lo descubrieron Ferdinand Georg Frobenius e Issai Schur .

Sea G un grupo compacto. El teorema tiene tres partes. La primera parte establece que los coeficientes matriciales de las representaciones irreducibles de G son densos en el espacio C ( G ) de funciones complejas continuas en G , y por tanto también en el espacio L ² ( G ) de funciones integrables al cuadrado . La segunda parte afirma la reducibilidad completa de las representaciones unitarias de G . La tercera parte afirma entonces que la representación regular de G en L ² ( G ) se descompone como la suma directa de todas las representaciones unitarias irreducibles. Además, los coeficientes matriciales de las representaciones unitarias irreducibles forman una base ortonormal de L ² ( G ). En el caso de que G sea el grupo de números complejos unitarios, este último resultado es simplemente un resultado estándar de las series de Fourier .

Coeficientes de matriz

Un coeficiente matricial del grupo G es una función de valor complejo en G dada como la composición ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =L\circ \pi }$

donde π :  G  → GL( V ) es una representación de grupo ( continua ) de dimensión finita de G , y L es un funcional lineal en el espacio vectorial de endomorfismos de V (por ejemplo, trace), que contiene GL( V ) como un subconjunto abierto. Los coeficientes matriciales son continuos, ya que las representaciones son por definición continuas, y los funcionales lineales en espacios de dimensión finita también son continuos.

La primera parte del teorema de Peter-Weyl afirma (Bump 2004, §4.1; Knapp 1986, Teorema 1.12):

Teorema de Peter-Weyl (Parte I). El conjunto de coeficientes matriciales de G es denso en el espacio de funciones complejas continuas C( G ) en G , dotado de la norma uniforme .

Este primer resultado se asemeja al teorema de Stone-Weierstrass en que indica la densidad de un conjunto de funciones en el espacio de todas las funciones continuas, sujetas únicamente a una caracterización algebraica . De hecho, los coeficientes matriciales forman un invariante algebraico unitario bajo conjugación compleja porque el producto de dos coeficientes matriciales es un coeficiente matricial de la representación del producto tensorial, y el conjugado complejo es un coeficiente matricial de la representación dual. Por lo tanto, el teorema se sigue directamente del teorema de Stone-Weierstrass si los coeficientes matriciales separan puntos, lo cual es obvio si G es un grupo matricial (Knapp 1986, p. 17). A la inversa, es una consecuencia del teorema que cualquier grupo de Lie compacto es isomorfo a un grupo matricial (Knapp 1986, Teorema 1.15).

Un corolario de este resultado es que los coeficientes matriciales de G son densos en L ² ( G ).

Descomposición de una representación unitaria

La segunda parte del teorema establece la existencia de una descomposición de una representación unitaria de G en representaciones de dimensión finita. Ahora bien, intuitivamente los grupos se concibieron como rotaciones sobre objetos geométricos, por lo que es natural estudiar representaciones que surgen esencialmente de acciones continuas sobre espacios de Hilbert. (Para quienes conocieron por primera vez los grupos duales que consisten en caracteres que son los homomorfismos continuos en el grupo del círculo , este enfoque es similar excepto que el grupo del círculo se generaliza (en última instancia) al grupo de operadores unitarios sobre un espacio de Hilbert dado).

Sea G un grupo topológico y H un espacio de Hilbert complejo.

Una acción lineal continua ∗ : G × H → H , da lugar a una función continua ρ _∗  : G → H ^H (funciones de H a H con la topología fuerte ) definida por: ρ _∗ ( g )( v ) = ∗(g,v) . Esta función es claramente un homomorfismo de G en GL( H ), los operadores lineales acotados en H . A la inversa, dada una función de este tipo, podemos recuperar de forma única la acción de la forma obvia.

Así, definimos las representaciones de G en un espacio de Hilbert H como aquellos homomorfismos de grupo , ρ, que surgen de acciones continuas de G sobre H. Decimos que una representación ρ es unitaria si ρ( g ) es un operador unitario para todo g  ∈  G ; es decir, para todo v , w  ∈  H . (Es decir, es unitaria si ρ : G → U( H ). Nótese cómo esto generaliza el caso especial del espacio de Hilbert unidimensional, donde U( C ) es simplemente el grupo circular). ${\displaystyle \langle \rho (g)v,\rho (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$

Dadas estas definiciones, podemos enunciar la segunda parte del teorema de Peter-Weyl (Knapp 1986, Teorema 1.12):

Teorema de Peter-Weyl (Parte II). Sea ρ una representación unitaria de un grupo compacto G en un espacio de Hilbert complejo H . Entonces H se descompone en una suma directa ortogonal de representaciones unitarias de dimensión finita irreducibles de G .

Descomposición de funciones integrables al cuadrado

Para enunciar la tercera y última parte del teorema, existe un espacio de Hilbert natural sobre G que consiste en funciones integrables al cuadrado , ; esto tiene sentido porque la medida de Haar existe en G . El grupo G tiene una representación unitaria ρ en dada por actuando sobre la izquierda, a través de ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

${\displaystyle \rho (h)f(g)=f(h^{-1}g).}$

El enunciado final del teorema de Peter-Weyl (Knapp 1986, Teorema 1.12) proporciona una base ortonormal explícita de . A grandes rasgos, afirma que los coeficientes matriciales de G , adecuadamente renormalizados, son una base ortonormal de L ² ( G ). En particular, se descompone en una suma directa ortogonal de todas las representaciones unitarias irreducibles, en la que la multiplicidad de cada representación irreducible es igual a su grado (es decir, la dimensión del espacio subyacente de la representación). Por lo tanto, ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }^{\oplus \dim E_{\pi }}}$

donde Σ denota el conjunto de (clases de isomorfismo de) representaciones unitarias irreducibles de G , y la suma denota el cierre de la suma directa de los espacios totales E _π de las representaciones π.

También podemos considerar como una representación del grupo de productos directos , con los dos factores actuando por traslación a la izquierda y a la derecha, respectivamente. Fijemos una representación de . El espacio de coeficientes matriciales para la representación puede identificarse con , el espacio de aplicaciones lineales de a sí mismo. La acción izquierda y derecha natural de sobre los coeficientes matriciales corresponde a la acción sobre dada por ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G\times G}$ ${\displaystyle (\pi ,E_{\pi })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$ ${\displaystyle E_{\pi }}$ ${\displaystyle G\times G}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$

${\displaystyle (g,h)\cdot A=\pi (g)A\pi (h)^{-1}.}$

Luego podemos descomponer como representación unitaria de en la forma ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G\times G}$

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }\otimes E_{\pi }^{*}.}$

Finalmente, podemos formar una base ortonormal de la siguiente manera. Supongamos que se elige un π representativo para cada clase de isomorfismo de representación unitaria irreducible, y denotamos la colección de todos esos π por Σ. Sean los coeficientes matriciales de π en una base ortonormal, en otras palabras ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {u_{ij}^{(\pi )}}}$

${\displaystyle u_{ij}^{(\pi )}(g)=\langle \pi (g)e_{j},e_{i}\rangle .}$

para cada g  ∈  G . Finalmente, sea d ^(π) el grado de la representación π. El teorema ahora afirma que el conjunto de funciones

${\displaystyle \left\{{\sqrt {d^{(\pi )}}}u_{ij}^{(\pi )}\mid \,\pi \in \Sigma ,\,\,1\leq i,j\leq d^{(\pi )}\right\}}$

es una base ortonormal de ${\displaystyle L^{2}(G).}$

Restricción a funciones de clase

Una función en G se denomina función de clase si para todos y en G . El espacio de funciones de clase integrables al cuadrado forma un subespacio cerrado de , y por lo tanto un espacio de Hilbert por derecho propio. Dentro del espacio de coeficientes matriciales para una representación fija se encuentra el carácter de , definido por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(hgh^{-1})=f(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \chi _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \chi _{\pi }(g)=\operatorname {trace} (\pi (g)).}$

En la notación anterior, el carácter es la suma de los coeficientes de la matriz diagonal:

${\displaystyle \chi _{\pi }=\sum _{i=1}^{d^{(\pi )}}u_{ii}^{(\pi )}.}$

Una consecuencia importante del resultado anterior es la siguiente:

Teorema : Los caracteres de las representaciones irreducibles de G forman una base de Hilbert para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado en G.

Este resultado juega un papel importante en la clasificación de Weyl de las representaciones de un grupo de Lie compacto conexo . ^[1]

Un ejemplo: U(1)

Un ejemplo sencillo pero útil es el caso del grupo de números complejos de magnitud 1, . En este caso, las representaciones irreducibles son unidimensionales y están dadas por ${\displaystyle G=S^{1}}$

${\displaystyle \pi _{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.}$

Hay entonces un único coeficiente matricial para cada representación, la función

${\displaystyle u_{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.}$

La última parte del teorema de Peter-Weyl afirma entonces en este caso que estas funciones forman una base ortonormal para . En este caso, el teorema es simplemente un resultado estándar de la teoría de series de Fourier. ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$

Para cualquier grupo compacto G , podemos considerar la descomposición de en términos de coeficientes matriciales como una generalización de la teoría de series de Fourier. De hecho, esta descomposición se conoce a menudo como serie de Fourier. ${\displaystyle L^{2}(G)}$

Un ejemplo: SU(2)

Utilizamos la representación estándar del grupo SU(2) como

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

Por lo tanto, SU(2) se representa como la 3-esfera que se encuentra dentro de . Las representaciones irreducibles de SU(2), por su parte, están etiquetadas por un entero no negativo y se pueden realizar como la acción natural de SU(2) en el espacio de polinomios homogéneos de grado en dos variables complejas. ^[2] Los coeficientes matriciales de la representación th son armónicos hiperesféricos de grado , es decir, las restricciones a de polinomios armónicos homogéneos de grado en y . La clave para verificar esta afirmación es calcular que para dos números complejos cualesquiera y , la función ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )\mapsto (z_{1}\alpha +z_{2}\beta )^{m}}$

es armónico como función de . ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\in \mathbb {C} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}}$

En este caso, encontrar una base ortonormal compuesta de coeficientes matriciales equivale a encontrar una base ortonormal compuesta de armónicos hiperesféricos, que es una construcción estándar en el análisis de esferas. ${\displaystyle L^{2}(\operatorname {SU} (2))=L^{2}(S^{3})}$

Consecuencias

Teoría de la representación de grupos de Lie compactos conexos

El teorema de Peter-Weyl (específicamente la afirmación de que los caracteres forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado) juega un papel clave en la clasificación de las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto conexo. ^[3] El argumento también depende de la fórmula integral de Weyl (para funciones de clase) y de la fórmula de caracteres de Weyl .

Un resumen del argumento se puede encontrar aquí .

Linealidad de grupos de Lie compactos

Una consecuencia importante del teorema de Peter-Weyl es la siguiente: ^[4]

Teorema : Todo grupo de Lie compacto tiene una representación fiel de dimensión finita y, por lo tanto, es isomorfo a un subgrupo cerrado de para algún . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$

Estructura de grupos topológicos compactos

Del teorema de Peter-Weyl se puede deducir un teorema general de estructura significativo. Sea G un grupo topológico compacto, que suponemos Hausdorff . Para cualquier subespacio G -invariante de dimensión finita V en L ² ( G ), donde G actúa a la izquierda, consideramos la imagen de G en GL( V ). Es cerrada, ya que G es compacta, y un subgrupo del grupo de Lie GL( V ). Se sigue por un teorema de Élie Cartan que la imagen de G es también un grupo de Lie.

Si ahora tomamos el límite (en el sentido de la teoría de categorías ) sobre todos esos espacios V , obtenemos un resultado sobre G : Como G actúa fielmente sobre L ² ( G ), G es un límite inverso de los grupos de Lie . Por supuesto, puede que no sea en sí mismo un grupo de Lie: puede ser, por ejemplo, un grupo profinito .

Véase también

• Dualidad de Pontryagin

Referencias

• Pedro, F.; Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit derprimitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Ana. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892.
• Bump, Daniel (2004), Grupos de Lie , Springer, ISBN 0-387-21154-3.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• "Teorema de Peter-Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Knapp, Anthony (1986), Teoría de la representación de grupos semisimples , Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0.
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de Lie más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140 (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.
• Mostow, George D. (1961), "Cohomología de grupos topológicos y variedades solv", Annals of Mathematics , 73 (1), Princeton University Press: 20–48, doi :10.2307/1970281, JSTOR  1970281
• Palais, Richard S. ; Stewart, TE (1961), "La cohomología de los grupos de transformación diferenciables", American Journal of Mathematics , 83 (4), The Johns Hopkins University Press: 623–644, doi :10.2307/2372901, JSTOR  2372901.

Específico

1. Hall 2015 Capítulo 12
2. Hall 2015 Ejemplo 4.10
3. Sala 2015 Sección 12.5
4. Knapp 2002, Corolario IV.4.22