Triángulo de Reuleaux

Triángulo curvo de ancho constante

El límite de un triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante basada en un triángulo equilátero. Todos los puntos de un lado son equidistantes del vértice opuesto.

Un triángulo de Reuleaux [ʁœlo] es un triángulo curvo de ancho constante , la curva de ancho constante más simple y mejor conocida aparte del círculo. ^[1] Se forma a partir de la intersección de tres discos circulares , cada uno con su centro en el límite de los otros dos. Ancho constante significa que la separación de cada dos líneas de soporte paralelas es la misma, independientemente de su orientación. Debido a que su ancho es constante, el triángulo de Reuleaux es una respuesta a la pregunta "¿Aparte de un círculo, qué forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no se caiga por el agujero?" ^[2]

Reciben su nombre en honor a Franz Reuleaux , ^[3] un ingeniero alemán del siglo XIX que fue pionero en el estudio de máquinas para traducir un tipo de movimiento en otro, y que utilizó triángulos de Reuleaux en sus diseños. ^[4] Sin embargo, estas formas eran conocidas antes de su tiempo, por ejemplo, por los diseñadores de vidrieras de iglesias góticas , por Leonardo da Vinci , que lo utilizó para una proyección de mapas , y por Leonhard Euler en su estudio de formas de ancho constante. Otras aplicaciones del triángulo de Reuleaux incluyen dar forma a púas de guitarra , tuercas de hidrantes , lápices y brocas para perforar agujeros cuadrados fileteados , así como en diseño gráfico en las formas de algunos letreros y logotipos corporativos.

Entre las formas de ancho constante con un ancho dado, el triángulo de Reuleaux tiene el área mínima y el ángulo más agudo (más pequeño) posible (120°) en sus esquinas. Según varias medidas numéricas, es el más alejado de ser simétrico centralmente . Proporciona la forma de ancho constante más grande evitando los puntos de una red de números enteros , y está estrechamente relacionado con la forma del cuadrilátero que maximiza la relación entre el perímetro y el diámetro. Puede realizar una rotación completa dentro de un cuadrado mientras toca en todo momento los cuatro lados del cuadrado, y tiene el área más pequeña posible de las formas con esta propiedad. Sin embargo, aunque cubre la mayor parte del cuadrado en este proceso de rotación, no cubre una pequeña fracción del área del cuadrado, cerca de sus esquinas. Debido a esta propiedad de rotar dentro de un cuadrado, el triángulo de Reuleaux también se conoce a veces como rotor de Reuleaux . ^[5]

El triángulo de Reuleaux es el primero de una secuencia de polígonos de Reuleaux cuyos límites son curvas de ancho constante formadas a partir de polígonos regulares con un número impar de lados. Algunas de estas curvas se han utilizado como formas de monedas . El triángulo de Reuleaux también se puede generalizar en tres dimensiones de múltiples maneras: el tetraedro de Reuleaux (la intersección de cuatro bolas cuyos centros se encuentran en un tetraedro regular ) no tiene un ancho constante, pero se puede modificar redondeando sus bordes para formar el tetraedro de Meissner , que sí lo tiene. Alternativamente, la superficie de revolución del triángulo de Reuleaux también tiene un ancho constante.

Construcción

Para construir un triángulo de Reuleaux

El triángulo de Reuleaux se puede construir directamente a partir de tres círculos o redondeando los lados de un triángulo equilátero . ^[6]

La construcción de los tres círculos se puede realizar con un solo compás , sin necesidad de una regla. Por el teorema de Mohr-Mascheroni, lo mismo es cierto de manera más general para cualquier construcción con compás y regla ^[7] , pero la construcción del triángulo de Reuleaux es particularmente simple. El primer paso es marcar dos puntos arbitrarios del plano (que eventualmente se convertirán en vértices del triángulo) y usar el compás para dibujar un círculo centrado en uno de los puntos marcados, a través del otro punto marcado. A continuación, se dibuja un segundo círculo, del mismo radio, centrado en el otro punto marcado y que pasa por el primer punto marcado. Finalmente, se dibuja un tercer círculo, nuevamente del mismo radio, con su centro en uno de los dos puntos de cruce de los dos círculos anteriores, pasando por ambos puntos marcados ^[8] . La región central en la disposición resultante de tres círculos será un triángulo de Reuleaux ^{[6] .}

Como alternativa, se puede construir un triángulo de Reuleaux a partir de un triángulo equilátero T dibujando tres arcos de círculos, cada uno centrado en un vértice de T y conectando los otros dos vértices. ^[9] O, equivalentemente, se puede construir como la intersección de tres discos centrados en los vértices de T , con un radio igual a la longitud del lado de T . ^[10]

Propiedades matemáticas

Líneas de apoyo paralelas de un triángulo de Reuleaux

La propiedad más básica del triángulo de Reuleaux es que tiene un ancho constante, lo que significa que para cada par de líneas de apoyo paralelas (dos líneas de la misma pendiente que tocan la figura sin atravesarla) las dos líneas tienen la misma distancia euclidiana entre sí, independientemente de la orientación de estas líneas. ^[9] En cualquier par de líneas de apoyo paralelas, una de las dos líneas necesariamente tocará el triángulo en uno de sus vértices. La otra línea de apoyo puede tocar el triángulo en cualquier punto del arco opuesto, y su distancia (el ancho del triángulo de Reuleaux) es igual al radio de este arco. ^[11]

El primer matemático en descubrir la existencia de curvas de ancho constante, y en observar que el triángulo de Reuleaux tiene ancho constante, pudo haber sido Leonhard Euler . ^[5] En un artículo que presentó en 1771 y publicó en 1781 titulado De curvis triangularibus , Euler estudió los triángulos curvilíneos así como las curvas de ancho constante, a las que llamó orbiformes. ^{[12] [13]}

Medidas extremas

Desde muchas perspectivas diferentes, el triángulo de Reuleaux es una de las curvas más extremas de ancho constante.

Según el teorema de Blaschke-Lebesgue , el triángulo de Reuleaux tiene el área más pequeña posible de cualquier curva de ancho constante dado. Esta área es

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.705s^{2},}$

donde s es el ancho constante. Un método para derivar esta fórmula del área es dividir el triángulo de Reuleaux en un triángulo equilátero interior y tres regiones curvilíneas entre este triángulo interior y los arcos que forman el triángulo de Reuleaux, y luego sumar las áreas de estos cuatro conjuntos. En el otro extremo, la curva de ancho constante que tiene el área máxima posible es un disco circular , que tiene un área . ^[14] ${\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.785s^{2}}$

Los ángulos formados por cada par de arcos en los vértices de un triángulo de Reuleaux son todos iguales a 120°. Este es el ángulo más agudo posible en cualquier vértice de cualquier curva de ancho constante. ^[9] Además, entre las curvas de ancho constante, el triángulo de Reuleaux es el que tiene tanto el mayor como el menor de los triángulos equiláteros inscritos. ^[15] El mayor triángulo equilátero inscrito en un triángulo de Reuleaux es el que une sus tres vértices, y el menor es el que une los tres puntos medios de sus lados. El subconjunto del triángulo de Reuleaux que consiste en puntos que pertenecen a tres o más diámetros es el interior del mayor de estos dos triángulos; tiene un área mayor que el conjunto de puntos de tres diámetros de cualquier otra curva de ancho constante. ^[16]

Formas simétricas centrales dentro y fuera de un triángulo de Reuleaux, utilizadas para medir su asimetría

Aunque el triángulo de Reuleaux tiene simetría diedra séxtuple , al igual que un triángulo equilátero , no tiene simetría central . El triángulo de Reuleaux es la curva menos simétrica de ancho constante según dos medidas diferentes de asimetría central, la medida de Kovner-Besicovitch (razón del área con la forma centralmente simétrica más grande encerrada por la curva) y la medida de Estermann (razón del área con la forma centralmente simétrica más pequeña que encierra la curva). Para el triángulo de Reuleaux, las dos formas centralmente simétricas que determinan las medidas de asimetría son ambas hexagonales , aunque la interna tiene lados curvos. ^[17] El triángulo de Reuleaux tiene diámetros que dividen su área de manera más desigual que cualquier otra curva de ancho constante. Es decir, la razón máxima de áreas a cada lado de un diámetro, otra medida de asimetría, es mayor para el triángulo de Reuleaux que para otras curvas de ancho constante. ^[18]

Entre todas las formas de ancho constante que evitan todos los puntos de una red de números enteros , la que tiene el ancho más grande es un triángulo de Reuleaux. Tiene uno de sus ejes de simetría paralelo a los ejes de coordenadas en una línea de seminúmeros enteros. Su ancho, aproximadamente 1,54, es la raíz de un polinomio de grado 6 con coeficientes enteros. ^{[17] [19] [20]}

Así como es posible que un círculo esté rodeado por seis círculos congruentes que lo toquen, también es posible disponer siete triángulos de Reuleaux congruentes de modo que todos ellos hagan contacto con un triángulo de Reuleaux central del mismo tamaño. Este es el número máximo posible para cualquier curva de ancho constante. ^[21]

Una cometa equidiagonal que maximiza la relación entre el perímetro y el diámetro, inscrita en un triángulo de Reuleaux

Entre todos los cuadriláteros , la forma que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro es una cometa equidiagonal que puede inscribirse en un triángulo de Reuleaux. ^[22]

Otras medidas

Según el teorema de Barbier, todas las curvas de la misma anchura constante, incluido el triángulo de Reuleaux, tienen perímetros iguales . En particular, este perímetro es igual al perímetro del círculo con la misma anchura, que es . ^{[23] [24] [9]} ${\displaystyle \pi s}$

Los radios del círculo inscrito más grande de un triángulo de Reuleaux con ancho s , y del círculo circunscrito del mismo triángulo, son

${\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.423s\quad {\text{and}}\quad \displaystyle {\frac {s}{\sqrt {3}}}\approx 0.577s}$

respectivamente; la suma de estos radios es igual al ancho del triángulo de Reuleaux. De manera más general, para cada curva de ancho constante, el círculo inscrito más grande y el círculo circunscrito más pequeño son concéntricos, y sus radios suman el ancho constante de la curva. ^[25]

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Qué tan densamente se pueden empaquetar los triángulos de Reuleaux en el plano?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La densidad de empaquetamiento óptima del triángulo de Reuleaux en el plano aún no se ha demostrado, pero se conjetura que es

${\displaystyle {\frac {2(\pi -{\sqrt {3}})}{{\sqrt {15}}+{\sqrt {7}}-{\sqrt {12}}}}\approx 0.923,}$

que es la densidad de un posible empaquetamiento de doble red para estas formas. El mejor límite superior probado para la densidad de empaquetamiento es aproximadamente 0,947. ^[26] También se ha conjeturado, pero no se ha demostrado, que los triángulos de Reuleaux tienen la densidad de empaquetamiento más alta de cualquier curva de ancho constante. ^[27]

Rotación dentro de un cuadrado

Rotación de un triángulo de Reuleaux dentro de un cuadrado, mostrando también la curva trazada por el centro del triángulo

Cualquier curva de ancho constante puede formar un rotor dentro de un cuadrado , una forma que puede realizar una rotación completa mientras permanece dentro del cuadrado y en todo momento tocando los cuatro lados del cuadrado. Sin embargo, el triángulo de Reuleaux es el rotor con el área mínima posible. ^[9] A medida que gira, su eje no permanece fijo en un solo punto, sino que sigue una curva formada por los trozos de cuatro elipses . ^[28] Debido a sus ángulos de 120°, el triángulo de Reuleaux giratorio no puede alcanzar algunos puntos cerca de los ángulos más agudos en los vértices del cuadrado, sino que cubre una forma con esquinas ligeramente redondeadas, también formadas por arcos elípticos. ^[9]

En cualquier punto durante esta rotación, dos de los vértices del triángulo de Reuleaux tocan dos lados adyacentes del cuadrado, mientras que el tercer vértice del triángulo traza una curva cerca del vértice opuesto del cuadrado. La forma trazada por el triángulo de Reuleaux en rotación cubre aproximadamente el 98,8% del área del cuadrado. ^[29]

Como contraejemplo

La motivación original de Reuleaux para estudiar el triángulo de Reuleaux fue como contraejemplo, mostrando que tres puntos de contacto únicos pueden no ser suficientes para fijar un objeto plano en una única posición. ^[30] La existencia de triángulos de Reuleaux y otras curvas de ancho constante muestra que las mediciones de diámetro por sí solas no pueden verificar que un objeto tenga una sección transversal circular. ^[31]

En relación con el problema del cuadrado inscrito , Eggleston (1958) observó que el triángulo de Reuleaux proporciona un ejemplo de una forma de ancho constante en la que no se puede inscribir ningún polígono regular con más de cuatro lados, excepto el hexágono regular, y describió una pequeña modificación de esta forma que conserva su ancho constante pero también evita que se inscriban en ella hexágonos regulares. Generalizó este resultado a tres dimensiones utilizando un cilindro con la misma forma que su sección transversal . ^[32]

Aplicaciones

Llegando a los rincones

Varios tipos de maquinaria adoptan la forma del triángulo de Reuleaux, basándose en su propiedad de poder girar dentro de un cuadrado.

La broca cuadrada de Watts Brothers Tool Works tiene la forma de un triángulo Reuleaux, modificado con concavidades para formar superficies de corte. Cuando se monta en un portabrocas especial que permite que la broca no tenga un centro de rotación fijo, puede perforar un orificio que es casi cuadrado. ^[33] Aunque fue patentada por Henry Watts en 1914, se utilizaron brocas similares inventadas por otros antes. ^[9] Otros polígonos Reuleaux se utilizan para perforar orificios pentagonales, hexagonales y octogonales. ^{[9] [33]}

La aspiradora robótica RULO de Panasonic tiene su forma basada en el triángulo de Reuleaux para facilitar la limpieza del polvo en las esquinas de las habitaciones. ^{[34] [35]}

Cilindros rodantes

Comparación de un rodillo cilíndrico y un rodillo triangular de Reuleaux

Otra clase de aplicaciones del triángulo de Reuleaux involucra objetos cilíndricos con una sección transversal de triángulo de Reuleaux. Varios lápices se fabrican con esta forma, en lugar de los barriles redondos o hexagonales más tradicionales. ^[36] Por lo general, se promocionan como más cómodos o que fomentan un agarre adecuado, además de tener menos probabilidades de caerse de la mesa (ya que el centro de gravedad se mueve hacia arriba y hacia abajo más que un hexágono rodante).

Un triángulo de Reuleaux (junto con todas las demás curvas de ancho constante ) puede rodar , pero es una rueda deficiente porque no gira alrededor de un centro fijo de rotación. Un objeto sobre rodillos que tienen secciones transversales de triángulos de Reuleaux rodaría de manera suave y plana, pero un eje unido a ruedas de triángulos de Reuleaux rebotaría hacia arriba y hacia abajo tres veces por revolución. ^{[9] [37]} Este concepto fue utilizado en un cuento de ciencia ficción de Poul Anderson titulado "La rueda de tres esquinas". ^{[11] [38]} Una bicicleta con ejes flotantes y un cuadro sostenido por el borde de su rueda en forma de triángulo de Reuleaux fue construida y demostrada en 2009 por el inventor chino Guan Baihua, quien se inspiró en lápices con la misma forma. ^[39]

Diseño de mecanismos

Mecanismo de avance de película en el proyector de película soviético Luch-2 de 8 mm basado en un triángulo de Reuleaux

Otra clase de aplicaciones del triángulo de Reuleaux implica su uso como parte de un enlace mecánico que puede convertir la rotación alrededor de un eje fijo en movimiento alternativo . ^[10] Estos mecanismos fueron estudiados por Franz Reuleaux. Con la ayuda de la empresa Gustav Voigt, Reuleaux construyó aproximadamente 800 modelos de mecanismos, varios de los cuales involucraban el triángulo de Reuleaux. ^[40] Reuleaux utilizó estos modelos en sus investigaciones científicas pioneras de su movimiento. ^[41] Aunque la mayoría de los modelos de Reuleaux-Voigt se han perdido, 219 de ellos se han recopilado en la Universidad de Cornell , incluidos nueve basados ​​en el triángulo de Reuleaux. ^{[40] [42]} Sin embargo, el uso de triángulos de Reuleaux en el diseño de mecanismos es anterior al trabajo de Reuleaux; por ejemplo, algunas máquinas de vapor de 1830 tenían una leva en forma de triángulo de Reuleaux. ^{[43] [44]}

Una aplicación de este principio surge en un proyector de películas . En esta aplicación, es necesario hacer avanzar la película en un movimiento espasmódico, escalonado, en el que cada fotograma de la película se detiene durante una fracción de segundo frente a la lente del proyector y luego, mucho más rápidamente, la película se mueve al siguiente fotograma. Esto se puede hacer utilizando un mecanismo en el que se utiliza la rotación de un triángulo de Reuleaux dentro de un cuadrado para crear un patrón de movimiento para un actuador que tira de la película rápidamente a cada nuevo fotograma y luego detiene el movimiento de la película mientras se proyecta el fotograma. ^[45]

El rotor del motor Wankel tiene la forma de un triángulo curvilíneo que a menudo se cita como ejemplo de un triángulo de Reuleaux. ^{[3] [5] [9] [44]} Sin embargo, sus lados curvos son algo más planos que los de un triángulo de Reuleaux y, por lo tanto, no tiene un ancho constante. ^[46]

Arquitectura

Ventana triangular de Reuleaux de la Iglesia de Nuestra Señora, Brujas , Bélgica

En la arquitectura gótica , a partir de finales del siglo XIII o principios del siglo XIV, ^[47] el triángulo de Reuleaux se convirtió en una de las varias formas curvilíneas utilizadas con frecuencia para ventanas, tracerías de ventanas y otras decoraciones arquitectónicas. ^[3] Por ejemplo, en la arquitectura gótica inglesa , esta forma se asoció con el período decorado, tanto en su estilo geométrico de 1250-1290 como en su estilo curvilíneo de 1290-1350. ^[47] También aparece en algunas de las ventanas de la Catedral de Milán . ^[48] En este contexto, la forma a veces se denomina triángulo esférico , ^{[47] [49] [50]} que no debe confundirse con triángulo esférico que significa un triángulo en la superficie de una esfera . En su uso en la arquitectura de la iglesia gótica, la forma de tres esquinas del triángulo de Reuleaux puede verse tanto como un símbolo de la Trinidad , ^[51] y como "un acto de oposición a la forma del círculo". ^[52]

El triángulo de Reuleaux también se ha utilizado en otros estilos arquitectónicos. Por ejemplo, Leonardo da Vinci dibujó esta forma como plano para una fortificación. ^[42] Entre los edificios modernos que se ha afirmado que utilizan un plano en forma de triángulo de Reuleaux se incluyen el Auditorio Kresge del MIT , el Kölntriangle , la Donauturm , la Torre de Collserola y el Museo Mercedes-Benz . ^[53] Sin embargo, en muchos casos se trata simplemente de triángulos redondeados, con una geometría diferente a la del triángulo de Reuleaux.

Elaboración de mapas

Otra aplicación temprana del triángulo de Reuleaux, el mapamundi de Da Vinci de alrededor de 1514, fue un mapamundi en el que la superficie esférica de la Tierra estaba dividida en ocho octantes, cada uno aplanado en la forma de un triángulo de Reuleaux. ^{[54] [55] [56]}

Mapamundi de Leonardo da Vinci en ocho cuadrantes del triángulo de Reuleaux

Mapas similares también basados ​​en el triángulo de Reuleaux fueron publicados por Oronce Finé en 1551 y por John Dee en 1580. ^[56]

Otros objetos

Púas de guitarra Reuleaux en forma de triángulo

Muchas púas de guitarra emplean el triángulo de Reuleaux, ya que su forma combina una punta afilada para proporcionar una articulación fuerte, con una punta ancha para producir un timbre cálido. Debido a que las tres puntas de la forma son utilizables, es más fácil de orientar y se desgasta menos rápidamente en comparación con una púa con una sola punta. ^[57]

Uso ilícito de una boca de incendios, Filadelfia, 1996, y una boca de incendios más nueva de Filadelfia con una tuerca Reuleaux en forma de triángulo para evitar dicho uso.

El triángulo de Reuleaux se ha utilizado como forma para la sección transversal de la tuerca de la válvula de una boca de incendio . El ancho constante de esta forma dificulta la apertura de la boca de incendio con llaves estándar de mordazas paralelas; en su lugar, se necesita una llave con una forma especial. Esta propiedad permite que las bocas de incendio sean abiertas únicamente por los bomberos (que tienen la llave especial) y no por otras personas que intenten utilizar la boca de incendio como fuente de agua para otras actividades. ^[58]

El Submillimeter Array , con siete de sus ocho antenas dispuestas en un triángulo Reuleaux aproximado

Siguiendo una sugerencia de Keto (1997), ^[59] las antenas del Submillimeter Array , un observatorio astronómico de ondas de radio en Mauna Kea en Hawaii , están dispuestas en cuatro triángulos de Reuleaux anidados. ^{[60] [61]} Colocar las antenas en una curva de ancho constante hace que el observatorio tenga la misma resolución espacial en todas las direcciones y proporciona un haz de observación circular. Como la curva más asimétrica de ancho constante, el triángulo de Reuleaux conduce a la cobertura más uniforme del plano para la transformada de Fourier de la señal del conjunto. ^{[59] [61]} Las antenas se pueden mover de un triángulo de Reuleaux a otro para diferentes observaciones, de acuerdo con la resolución angular deseada de cada observación. ^{[60] [61]} La colocación precisa de las antenas en estos triángulos de Reuleaux se optimizó utilizando una red neuronal . En algunos lugares, el observatorio construido se aleja de la forma preferida del triángulo de Reuleaux porque esa forma no era posible dentro del sitio dado. ^[61]

Señales y logotipos

Las formas de escudo que se utilizan en muchos carteles y logotipos corporativos presentan triángulos redondeados. Sin embargo, solo algunos de ellos son triángulos Reuleaux.

El logotipo corporativo de Petrofina (Fina), una compañía petrolera belga con importantes operaciones en Europa, América del Norte y África, utilizó un triángulo de Reuleaux con el nombre de Fina desde 1950 hasta la fusión de Petrofina con Total SA (hoy TotalEnergies ) en 2000. ^{[62] [63] Otro logotipo corporativo enmarcado en el triángulo de Reuleaux, la} brújula que apunta hacia el sur de Bavaria Brewery , fue parte de un cambio de imagen realizado por la empresa de diseño Total Identity que ganó el premio SAN 2010 Advertiser of the Year. ^[64] El triángulo de Reuleaux también se utiliza en el logotipo de Colorado School of Mines . ^[65]

En los Estados Unidos, el Sistema Nacional de Senderos y el Sistema de Rutas en Bicicleta de los Estados Unidos marcan las rutas con triángulos Reuleaux en la señalización. ^[66]

En la naturaleza

El triángulo de Reuleaux como burbuja central en un modelo matemático de un conjunto de cuatro burbujas de jabón planas

Según las leyes de Plateau , los arcos circulares de los grupos de burbujas de jabón bidimensionales se encuentran en ángulos de 120°, el mismo ángulo que se encuentra en los vértices de un triángulo de Reuleaux. En base a este hecho, es posible construir grupos en los que algunas de las burbujas toman la forma de un triángulo de Reuleaux. ^[67]

La forma se aisló por primera vez en forma de cristal en 2014 como discos de triángulo de Reuleaux. ^{[68] Los discos} de nitrato de bismuto básico con la forma de triángulo de Reuleaux se formaron a partir de la hidrólisis y precipitación de nitrato de bismuto en un sistema de etanol-agua en presencia de 2,3-bis(2-piridil)pirazina.

Generalizaciones

Se pueden obtener curvas triangulares de ancho constante con esquinas suaves en lugar de agudas como el lugar geométrico de los puntos a una distancia fija del triángulo de Reuleaux. ^[69] Otras generalizaciones del triángulo de Reuleaux incluyen superficies en tres dimensiones, curvas de ancho constante con más de tres lados y los conjuntos de Yanmouti que proporcionan ejemplos extremos de una desigualdad entre ancho, diámetro e inradio.

Versión tridimensional

Cuatro bolas se intersecan para formar un tetraedro de Reuleaux.

La intersección de cuatro bolas de radio s centradas en los vértices de un tetraedro regular con una longitud de lado s se llama tetraedro de Reuleaux , pero su superficie no es una superficie de ancho constante . ^[70] Sin embargo, se puede convertir en una superficie de ancho constante, llamada tetraedro de Meissner , reemplazando tres de sus arcos de arista por superficies curvas, las superficies de rotación de un arco circular. Alternativamente, la superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux a través de uno de sus ejes de simetría forma una superficie de ancho constante, con un volumen mínimo entre todas las superficies de revolución conocidas de ancho constante dado. ^[71]

Polígonos de Reuleaux

El triángulo de Reuleaux se puede generalizar a polígonos regulares o irregulares con un número impar de lados, lo que da como resultado un polígono de Reuleaux , una curva de ancho constante formada a partir de arcos circulares de radio constante. El ancho constante de estas formas permite su uso como monedas que se pueden utilizar en máquinas que funcionan con monedas. ^[9] Aunque las monedas de este tipo en circulación general suelen tener más de tres lados, se ha utilizado un triángulo de Reuleaux para una moneda conmemorativa de Bermudas . ^[53]

Se pueden utilizar métodos similares para encerrar un polígono simple arbitrario dentro de una curva de ancho constante, cuyo ancho es igual al diámetro del polígono dado. La forma resultante consiste en arcos circulares (como máximo tantos como lados del polígono), se puede construir algorítmicamente en tiempo lineal y se puede dibujar con compás y regla. ^[72] Aunque todos los polígonos de Reuleaux tienen un número impar de lados de arco circular, es posible construir formas de ancho constante con un número par de lados de arco circular de radios variables. ^[73]

Conjuntos de Yanmouti

Los conjuntos de Yanmouti se definen como las envolturas convexas de un triángulo equilátero junto con tres arcos circulares, centrados en los vértices del triángulo y que abarcan el mismo ángulo que el triángulo, con radios iguales que son como máximo iguales a la longitud del lado del triángulo. Por lo tanto, cuando el radio es lo suficientemente pequeño, estos conjuntos degeneran en el propio triángulo equilátero, pero cuando el radio es lo más grande posible, son iguales al triángulo de Reuleaux correspondiente. Toda forma con ancho w , diámetro d y radio interno r (el radio del círculo más grande posible contenido en la forma) obedece a la desigualdad

${\displaystyle w-r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

y esta desigualdad se convierte en una igualdad para los conjuntos Yanmouti, demostrando que no se puede mejorar. ^[74]

Cifras relacionadas

Triquetra entrelazada para formar un nudo de trébol

En la presentación clásica de un diagrama de Venn de tres conjuntos como tres círculos superpuestos, la región central (que representa elementos pertenecientes a los tres conjuntos) toma la forma de un triángulo de Reuleaux. ^[3] Los mismos tres círculos forman uno de los dibujos estándar de los anillos borromeos , tres anillos mutuamente vinculados que, sin embargo, no pueden realizarse como círculos geométricos. ^[75] Partes de estos mismos círculos se utilizan para formar la triqueta , una figura de tres semicírculos superpuestos (cada dos de los cuales forman un símbolo de vesica piscis ) que nuevamente tiene un triángulo de Reuleaux en su centro; ^[76] así como los tres círculos del diagrama de Venn pueden entrelazarse para formar los anillos borromeos, los tres arcos circulares de la triqueta pueden entrelazarse para formar un nudo de trébol . ^[77]

Los parientes del triángulo de Reuleaux surgen en el problema de encontrar la forma de perímetro mínimo que encierra una cantidad fija de área e incluye tres puntos especificados en el plano. Para una amplia gama de opciones del parámetro de área, la solución óptima para este problema será un triángulo curvo cuyos tres lados sean arcos circulares con radios iguales. En particular, cuando los tres puntos son equidistantes entre sí y el área es la del triángulo de Reuleaux, el triángulo de Reuleaux es el recinto óptimo. ^[78]

Los triángulos circulares son triángulos con aristas en forma de arco circular, entre los que se incluyen el triángulo de Reuleaux y otras formas. La curva deltoidea es otro tipo de triángulo curvilíneo, pero en el que las curvas que reemplazan cada lado de un triángulo equilátero son cóncavas en lugar de convexas. No está compuesta por arcos circulares, pero puede formarse haciendo rodar un círculo dentro de otro de tres veces el radio. ^[79] Otras formas planas con tres lados curvos incluyen el arbelos , que se forma a partir de tres semicírculos con puntos finales colineales, ^[80] y el triángulo de Bézier . ^[81]

El triángulo de Reuleaux también puede interpretarse como la proyección estereográfica de una cara triangular de un tetraedro esférico , el triángulo de Schwarz de parámetros con ángulos de medida esféricos y lados de longitud esférica ^{[67] [82]} ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {3}{2}}}$ ${\displaystyle 120^{\circ }}$ ${\displaystyle {\arccos }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{3}}}{\bigr )}.}$

Referencias

1. Gardner (2014) lo llama el más simple, mientras que Gruber (1983, p. 59) lo llama "el más notorio".
2. Klee, Victor (1971), "Formas del futuro", The Two-Year College Mathematics Journal , 2 (2): 14–27, doi :10.2307/3026963, JSTOR  3026963.
3. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), Iconos de las matemáticas: una exploración de veinte imágenes clave , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 45, Mathematical Association of America, pág. 155, ISBN 978-0-88385-352-8.
4. Moon, FC (2007), Las máquinas de Leonardo Da Vinci y Franz Reuleaux: Cinemática de las máquinas desde el Renacimiento hasta el siglo XX , Historia del mecanismo y la ciencia de las máquinas, vol. 2, Springer, ISBN 978-1-4020-5598-0.
5. Bryant, John; Sangwin, Chris (2011), ¿Qué tan redondo es tu círculo?: Donde se encuentran la ingeniería y las matemáticas , Princeton University Press, pág. 190, ISBN 978-0-691-14992-9.
6. Hann, Michael (2014), Estructura y forma en el diseño: ideas críticas para la práctica creativa, A&C Black, pág. 34, ISBN 978-1-4725-8431-1.
7. Hungerbühler, Norbert (1994), "Una breve demostración elemental del teorema de Mohr-Mascheroni", American Mathematical Monthly , 101 (8): 784–787, CiteSeerX 10.1.1.45.9902 , doi :10.2307/2974536, JSTOR  2974536, MR  1299166 .
8. Esta construcción es descrita brevemente por Maor y Jost (2014) y puede verse, por ejemplo, en el vídeo Fun with Reuleaux triangles de Alex Franke, 21 de agosto de 2011.
9. Gardner, Martin (2014), "Capítulo 18: Curvas de ancho constante", Nudos y anillos borromeos, Rep-Tiles y ocho reinas , The New Martin Gardner Mathematical Library, vol. 4, Cambridge University Press, págs. 223–245, ISBN 978-0-521-75613-6.
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Triángulo de Reuleaux", MathWorld