En geometría , una superficie de ancho constante es una forma convexa cuyo ancho, medido por la distancia entre dos planos paralelos opuestos que tocan su límite , es el mismo independientemente de la dirección de esos dos planos paralelos. Se define el ancho de la superficie en una dirección dada como la distancia perpendicular entre los paralelos perpendiculares a esa dirección. Así, una superficie de ancho constante es el análogo tridimensional de una curva de ancho constante , una forma bidimensional con una distancia constante entre pares de líneas tangentes paralelas .
De manera más general, cualquier cuerpo compacto convexo D tiene un par de planos de soporte paralelos en una dirección determinada. Un plano de apoyo es un plano que interseca el límite de D pero no el interior de D. Se define el ancho del cuerpo como antes. Si el ancho de D es el mismo en todas las direcciones, entonces se dice que el cuerpo tiene un ancho constante y se llama a su límite una superficie de ancho constante, y al cuerpo mismo se le llama esferoforma .
Una esfera , una superficie de radio y por tanto de diámetro constante, es una superficie de ancho constante.
Contrariamente a la creencia común, el tetraedro de Reuleaux no es una superficie de ancho constante. Sin embargo, hay dos formas diferentes de suavizar subconjuntos de las aristas del tetraedro de Reuleaux para formar tetraedros de Meissner , superficies de ancho constante. Bonnesen y Fenchel (1934) conjeturaron que estas formas tenían el volumen mínimo entre todas las formas con el mismo ancho constante, pero esta conjetura permanece sin resolver.
Entre todas las superficies de revolución con el mismo ancho constante, la de mínimo volumen es la forma barrida por un triángulo de Reuleaux que gira alrededor de uno de sus ejes de simetría, [1] mientras que la de máximo volumen es la esfera.
Cada proyección paralela de una superficie de ancho constante es una curva de ancho constante . Según el teorema de Barbier , el perímetro de esta proyección es π veces el ancho, independientemente de la dirección de la proyección. Se deduce que toda superficie de ancho constante es también una superficie de circunferencia constante , donde la circunferencia de una forma es el perímetro de una de sus proyecciones paralelas. Por el contrario , Hermann Minkowski demostró que toda superficie de circunferencia constante es también una superficie de anchura constante. [2]
Las formas cuyas proyecciones paralelas tienen área constante (en lugar de perímetro constante) se denominan cuerpos de brillo constante .