tetraedro de Reuleaux

Forma formada por la intersección de cuatro bolas.

Animación de un tetraedro de Reuleaux, que muestra también el tetraedro a partir del cual se forma.

Cuatro bolas se cruzan para formar un tetraedro de Reuleaux.

Tetraedro de Reuleaux

El tetraedro de Reuleaux es la intersección de cuatro bolas de radio s centradas en los vértices de un tetraedro regular con longitud de lado s . ^[1] La superficie esférica de la bola centrada en cada vértice pasa por los otros tres vértices, que también forman vértices del tetraedro de Reuleaux. Así, el centro de cada bola está en las superficies de las otras tres bolas. El tetraedro de Reuleaux tiene la misma estructura de caras que un tetraedro regular, pero con caras curvas: cuatro vértices y cuatro caras curvas, conectadas por seis aristas de arco circular.

Esta forma se define y nombra por analogía con el triángulo de Reuleaux , una curva bidimensional de ancho constante ; Ambas formas llevan el nombre de Franz Reuleaux , un ingeniero alemán del siglo XIX que realizó un trabajo pionero sobre las formas en que las máquinas traducen un tipo de movimiento en otro. Se pueden encontrar repetidas afirmaciones en la literatura matemática de que el tetraedro de Reuleaux es análogamente una superficie de ancho constante , pero no es cierto: los dos puntos medios de arcos de borde opuestos están separados por una distancia mayor,

${\displaystyle \left({\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\cdot s\approx 1.0249s.}$

Volumen y superficie

El volumen de un tetraedro de Reuleaux es ^[1]

${\displaystyle {\frac {s^{3}}{12}}(3{\sqrt {2}}-49\pi +162\tan ^{-1}{\sqrt {2}}\;\!)={\frac {s^{3}}{12}}\left(32\pi -81\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)+3{\sqrt {2}}\right)\approx 0.422s^{3}.}$

El área de la superficie es ^[1]

${\displaystyle \left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2.975s^{2}.}$

Cuerpos Meissner

Ernst Meissner y Friedrich Schilling ^[2] mostraron cómo modificar el tetraedro de Reuleaux para formar una superficie de ancho constante , reemplazando tres de sus arcos de borde por parches curvos formados como las superficies de rotación de un arco circular. Según que se reemplazan tres arcos de arista (tres que tienen un vértice común o tres que forman un triángulo) resultan dos formas no congruentes que a veces se denominan cuerpos de Meissner o tetraedros de Meissner . ^[3]

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Son los dos tetraedros de Meissner formas tridimensionales de volumen mínimo y ancho constante?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Bonnesen y Fenchel ^[4] conjeturaron que los tetraedros de Meissner son formas tridimensionales de volumen mínimo y ancho constante, una conjetura que aún está abierta. ^[5] En relación con este problema, Campi, Colesanti y Gronchi ^[6] demostraron que la superficie de revolución de volumen mínimo con ancho constante es la superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux a través de uno de sus ejes de simetría.

Una de las pinturas de Man Ray , Hamlet , se basó en una fotografía que tomó de un tetraedro de Meissner, ^[7] que pensaba que se parecía tanto al cráneo de Yorick como al pecho de Ofelia de Hamlet de Shakespeare . ^[8]

Referencias

1. Weisstein, Eric W (2008), Reuleaux Tetrahedron, MathWorld: un recurso web de Wolfram
2. Meissner, Ernst; Schilling, Friedrich (1912), "Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite", Z. Math. Física. , 60 : 92–94
3. Weber, Christof (2009). "¿Qué tiene que ver este sólido con una pelota?" (PDF) .
4. Bonnesen, Tommy; Fenchel, Werner (1934), Theorie der konvexen Körper , Springer-Verlag, págs. 127-139
5. Kawohl, Bernd; Weber, Christof (2011), "Los cuerpos misteriosos de Meissner" (PDF) , Mathematical Intelligencer , 33 (3): 94–101, doi :10.1007/s00283-011-9239-y, S2CID  120570093
6. Campi, Stefano; Colesanti, Andrea; Gronchi, Paolo (1996), "Problemas mínimos para volúmenes de cuerpos convexos", Ecuaciones y aplicaciones en derivadas parciales: artículos recopilados en honor a Carlo Pucci , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, no. 177, Marcel Dekker, págs. 43–55, doi :10.1201/9780203744369-7
7. Swift, Sara (20 de abril de 2015), "Significado en Hamlet de Man Ray", Experiment Station , The Phillips Collection.
8. Dorfman, John (marzo de 2015), "Fórmulas secretas: Shakespeare y las matemáticas superiores se encuentran en la gran serie de pinturas tardía de Man Ray, Ecuaciones de Shakespeare", Arte y antigüedades , y en cuanto a Hamlet , el propio Man Ray rompió su regla y ofreció una pequeño comentario: "La forma abultada y triangular blanca que ves en Hamlet me recordó una calavera blanca" (sin duda refiriéndose a la calavera de Yorick que Hamlet interroga en el juego), "una calavera geométrica que también se parecía al pecho de Ofelia". Así que agregué un pequeño punto rosa en una de las tres esquinas: ¡un pequeño toque erótico, por así decirlo!'

enlaces externos

• Lachand-Robert, Thomas; Oudet, Édouard. "Esferoformas". Archivado desde el original el 2 de octubre de 2006 . Consultado el 12 de septiembre de 2006 .
• Weber, Christof. "Cuerpos de ancho constante".También hay películas e incluso imágenes interactivas de ambos cuerpos de Meissner.
• Roberts, Patricio. "Esferoforma con simetría tetraédrica".Incluye imágenes en 3D y un enlace a un artículo matemático que muestra una prueba de ancho constante.