vesica piscis

Figura que es la intersección de dos círculos con el mismo radio.

La vesica piscis es la intersección de dos discos congruentes, cada uno centrado en el perímetro del otro.

La vesica piscis es un tipo de lente , una forma matemática formada por la intersección de dos discos del mismo radio, intersectándose de tal forma que el centro de cada disco queda en el perímetro del otro. ^[1] En latín, " vesica piscis " significa literalmente "vejiga de un pez", lo que refleja la semejanza de la forma con las vejigas de aire duales unidas ( vejiga natatoria ) que se encuentran en la mayoría de los peces. ^[2] En italiano, el nombre de la forma es mandorla (" almendra "). ^[3] Una forma similar en tres dimensiones es el limón .

La vesica piscis en los Elementos de Euclides

Esta figura aparece en la primera proposición de los Elementos de Euclides , donde constituye el primer paso para construir un triángulo equilátero utilizando compás y regla . El triángulo tiene como vértices los dos centros del disco y una de las dos esquinas afiladas de la vesica piscis. ^[4]

Descripción matemática

Matemáticamente, la vesica piscis es un caso especial de lente , la forma formada por la intersección de dos discos.

La relación matemática entre la altura de la vesica piscis y el ancho de su centro es la raíz cuadrada de 3 , o 1,7320508... (ya que si se dibujan líneas rectas que conectan los centros de los dos círculos entre sí y con los dos puntos donde los círculos se cruzan, dos triángulos equiláteros se unen a lo largo de una arista). Las razones 265:153 = 1,7320261... y 1351:780 = 1,7320513... son dos de una serie de aproximaciones a este valor, cada una con la propiedad de que no se puede obtener una mejor aproximación con números enteros más pequeños. Arquímedes de Siracusa , en su Medida de un círculo , utiliza estas proporciones como límites superior e inferior: ^[5]

${\displaystyle {\frac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\frac {265}{153}}\,.}$

Área

Las áreas en azul (un triángulo equilátero y un segmento) forman juntas un sector de una sexta parte del círculo (60°).

La zona de la vesica piscis está formada por dos triángulos equiláteros y cuatro segmentos circulares iguales . En el dibujo aparecen en azul un triángulo y un segmento.

Un triángulo y un segmento forman un sector de una sexta parte del círculo (60°). El área del sector entonces es: . ${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}}$

Como el lado del triángulo equilátero tiene longitud r , su área es . ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

El área del segmento es la diferencia entre esas dos áreas:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

Sumando las áreas de dos triángulos y cuatro segmentos, obtenemos el área de la vesica piscis:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(4\pi -3{\sqrt {3}}\right)r^{2}\approx 1.2284r^{2}}$

Aplicaciones

La portada moderna del Pozo del Cáliz con una representación artística de la vesica piscis.

Los dos círculos de la vesica piscis, o tres círculos que forman en pares tres vesicas, se utilizan habitualmente en los diagramas de Venn . También se pueden utilizar arcos de los mismos tres círculos para formar el símbolo de la triquetra y el triángulo de Reuleaux . ^[3]

En el arte cristiano , algunas aureolas tienen la forma de una vesica piscis orientada verticalmente, y los sellos de las organizaciones eclesiásticas pueden encerrarse dentro de una vesica piscis orientada verticalmente (en lugar del recinto circular más habitual). Además, el símbolo ichthys incorpora la forma de vesica piscis. La heráldica eclesiástica de la Iglesia católica apareció por primera vez en sellos, casi todos con forma de vesica. ^{[6] [7]} La ​​vesica piscis se ha utilizado dentro de la masonería , sobre todo en las formas de los collares usados ​​por los oficiantes de los rituales masónicos. ^[8] También se consideró la forma adecuada para el recinto de los sellos de las logias masónicas. ^{[9] [10]}

La vesica piscis también se utiliza como sistema de proporciones en la arquitectura, en particular en la arquitectura gótica . El sistema fue ilustrado en la versión de 1521 de Cesare Cesariano de De Architectura de Vitruvio , a la que llamó "el gobierno de los arquitectos alemanes". La vesica piscis fue un leitmotiv del arquitecto Carlo Scarpa y se utiliza como "dispositivo de observación" en Tomba Brion ( Cementerio de Brion ) en San Vito d'Altivole , Italia. ^[11]

Varias otras obras de arte o diseños también han presentado esta forma:

• La portada del Pozo del Cáliz en Glastonbury (Reino Unido) muestra una versión estilizada del diseño de la vesica piscis.
• Varias esculturas matemáticas de Susan Latham utilizan una forma tridimensional obtenida a partir de la representación plana de dos círculos que forman la vesica piscis, deformados como una superficie curva con pliegues a lo largo de los arcos internos de la vesica y con los dos arcos externos reunidos en un solo curva. Su forma se puede analizar utilizando las matemáticas de superficies desarrollables . ^[12]

Simbolismo

Se han asociado varios significados simbólicos con la vesica piscis:

• Cuando se dispone de manera que la lente esté horizontal, con sus dos círculos superpuestos colocados uno encima del otro, simboliza la interfaz entre los mundos espiritual y físico, representados por los dos círculos. ^{[13] [14]} En esta disposición, también se asemeja al símbolo icthys (pez) de Cristo , ^[14] y también se ha dicho que es un símbolo de vida, de "la materialización del espíritu", de la mediación de Cristo entre cielo y tierra, y de la eucaristía . ^[15]
• Cuando se dispone de manera que la lente quede colocada verticalmente y se usa para representar un halo o aureola, representa la gloria divina . ^[dieciséis]
• Cuando se dispone de manera que la lente quede colocada verticalmente, también se dice que es una representación de la vulva y, por lo tanto, un símbolo de feminidad y fertilidad. ^{[3] [17]}
• Se ha dicho que un diagrama del uso que Euclides hizo de este diagrama para construir un triángulo equilátero, que aparece con la colocación vertical de la lente en Finnegans Wake de James Joyce , es "emblemático del hombre racional", pero superpuesto a un triángulo vaginal que nuevamente simboliza feminidad. ^[18]

Galería

• 
  Cristo en Majestad dentro de una aureola en forma de mandorla en un manuscrito iluminado medieval
• 
  Escudo de armas de Guam
• 
  Los dos centros isogónicos de un triángulo son las intersecciones de tres vesicae piscis cuyos vértices pares son los vértices del triángulo.

Ver también

• Flor de la Vida , una figura basada en este principio
• Círculos de Villarceau , un par de círculos congruentes derivados de un toro que, sin embargo, no suelen estar centrados entre sí en el perímetro del otro.
• Limón (geometría) , una forma tridimensional similar

Referencias

1. Fletcher, Rachel (2004), "Reflexiones sobre Vesica Piscis", Nexus Network Journal , 6 (2): 95–110, doi : 10.1007/s00004-004-0021-8.
2. Norwood, JW (1912), "Símbolos de peces y agua", The Open Court , 1912 (11): 662–672
3. Barrallo, Javier; González-Quintial, Francisco; Sánchez-Beitia, Santiago (mayo de 2015), "Una introducción a la Vesica Piscis, el triángulo de Reuleaux y construcciones geométricas relacionadas en la arquitectura moderna", Nexus Network Journal , 17 (2): 671–684, doi : 10.1007/s00004-015 -0253-9 , S2CID  122824246
4. Brezo, señor Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2 ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs.241. ISBN 0486600904.
5. Heath, Thomas Little (1897), Las obras de Arquímedes, Universidad de Cambridge: Cambridge University Press., págs.  lxxvii , 50 , consultado el 30 de enero de 2010
6. Arthur Charles Fox-Davies "Héráldica eclesiástica"  . Enciclopedia católica . 1913.
7. Reproducción escaneada del artículo, con ilustraciones Archivado el 24 de febrero de 2014 en Wayback Machine.
8. JSM Ward, Una interpretación de nuestros símbolos masónicos , 1924, págs.
9. Albert G. Mackey, Enciclopedia de la masonería , ed. 1921, vol. 2, pág. 827.
10. Shawn Eyer, "La Vesica Piscis y la masonería". Recuperado el 18 de abril de 2009.
11. Cannata, Mark (2007). "Carlo Scarpa y Japón: La influencia del arte y la arquitectura japoneses en la obra de Carlo Scarpa" (PDF) . Universidad de Lincoln . Archivado desde el original (PDF) el 1 de abril de 2010 . Consultado el 14 de febrero de 2010 .
12. Mundilova, Klara; Wills, Tony (2018), "Plegando la Vesica Piscis", en Torrence, Eve ; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo; Fenyvesi, Kristóf (eds.), Actas de Bridges 2018: Matemáticas, Arte, Música, Arquitectura, Educación, Cultura, Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, págs. 535–538, ISBN 978-1-938664-27-4
13. Fletcher, Rachel (octubre de 2004), "Reflexiones sobre Vesica Piscis", Nexus Network Journal , 6 (2): 95–110, doi : 10.1007/s00004-004-0021-8 , S2CID  122154094
14. Houston, Madeleine Claire (2005), Co-respuesta: presencia y praxis en la tierra, la vida, el mito (tesis doctoral), Pacifica Graduate Institute, ProQuest  305360245
15. Williams, Kim; Ostwald, Michael J. (2015), Williams, Kim; Ostwald, Michael J (eds.), Arquitectura y matemáticas desde la antigüedad hasta el futuro , Springer International Publishing, págs. 68–69, 679, doi :10.1007/978-3-319-00137-1, ISBN 978-3-319-00136-4
16. Todorova, Rostislava (enero de 2013), "Visualizar lo divino: Mandorla como una visión de Dios en la iconografía bizantina", IKON , 6 : 287–296, doi :10.1484/j.ikon.5.102956
17. Pearson, E. Ann. (2002), Revelar y ocultar: la persistencia de la iconografía vaginal en la imaginería medieval. La mandorla, la vesica piscis, la rosa, Sheela-na-gigs y la sirena de doble cola (tesis doctoral), Universidad de Ottawa, doi :10.20381/ruor-14701, hdl :10393/6133
18. Bloomer, Jennifer (febrero de 1988), "En la sala de museo", Ensamblaje (5): 58–65, doi :10.2307/3171026, JSTOR  3171026

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Vesica Piscis". MundoMatemático .