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No convexidad (economía)

La no convexidad (economía) está incluida en los códigos de clasificación JEL como JEL:  C65

En economía , la no convexidad se refiere a las violaciones de los supuestos de convexidad de la economía elemental . Los libros de texto básicos de economía se concentran en los consumidores con preferencias convexas (que no prefieren los extremos a los valores intermedios) y conjuntos de presupuestos convexos y en productores con conjuntos de producción convexos ; para los modelos convexos, el comportamiento económico previsto se entiende bien. [1] [2] Cuando se violan los supuestos de convexidad, muchas de las buenas propiedades de los mercados competitivos no necesitan mantenerse: Por lo tanto, la no convexidad se asocia con fallas del mercado , [3] [4] donde la oferta y la demanda difieren o donde los equilibrios del mercado pueden ser ineficientes . [1] [4] [5] [6] [7] [8] Las economías no convexas se estudian con análisis no suave , que es una generalización del análisis convexo . [8] [9] [10] [11]

Demanda con muchos consumidores

Si un conjunto de preferencias no es convexo , entonces algunos precios determinan una línea presupuestaria que admite dos canastas óptimas independientes . Por ejemplo, podemos imaginar que, para los zoológicos, un león cuesta tanto como un águila y, además, que el presupuesto de un zoológico alcanza para un águila o un león. Podemos suponer también que un cuidador del zoológico considera que ambos animales son igualmente valiosos. En este caso, el zoológico compraría un león o un águila. Por supuesto, un cuidador del zoológico contemporáneo no quiere comprar la mitad de un águila y la mitad de un león. Por lo tanto, las preferencias del cuidador del zoológico no son convexas: el cuidador del zoológico prefiere tener cualquiera de los dos animales a tener cualquier combinación estrictamente convexa de ambos.

Cuando las preferencias de los consumidores tienen concavidades, entonces los presupuestos lineales no necesitan sustentar un equilibrio : los consumidores pueden saltar entre dos asignaciones separadas (de igual utilidad ).

Cuando el conjunto de preferencias del consumidor no es convexo, entonces (para algunos precios) la demanda del consumidor no está conectada ; una demanda desconectada implica un comportamiento discontinuo por parte del consumidor, como lo analiza Harold Hotelling :

Si consideramos que las curvas de indiferencia de las compras tienen un carácter ondulado, convexo respecto del origen en algunas regiones y cóncavo en otras, nos vemos obligados a concluir que sólo las partes convexas respecto del origen pueden considerarse importantes, ya que las demás son esencialmente inobservables. Sólo pueden detectarse por las discontinuidades que pueden producirse en la demanda con la variación de las relaciones de precios, que conducen a un salto abrupto de un punto de tangencia a través de un abismo cuando se gira la línea recta. Pero, aunque tales discontinuidades pueden revelar la existencia de abismos, nunca pueden medir su profundidad. Las partes cóncavas de las curvas de indiferencia y sus generalizaciones multidimensionales, si existen, deben permanecer para siempre en una oscuridad inmensurable. [12]

Las dificultades de estudiar las preferencias no convexas fueron enfatizadas por Herman Wold [13] y nuevamente por Paul Samuelson , quien escribió que las no convexidades están "envueltas en una oscuridad eterna...", [14] según Diewert. [15]

Cuando se violan los supuestos de convexidad, muchas de las buenas propiedades de los mercados competitivos no necesariamente se cumplen: por lo tanto, la no convexidad se asocia con fallas del mercado , donde la oferta y la demanda difieren o donde los equilibrios del mercado pueden ser ineficientes . [1] Las preferencias no convexas fueron iluminadas desde 1959 a 1961 por una secuencia de artículos en The Journal of Political Economy ( JPE ). Los principales contribuyentes fueron Michael Farrell , [16] Francis Bator, [17] Tjalling Koopmans , [18] y Jerome Rothenberg. [19] En particular, el artículo de Rothenberg discutió la convexidad aproximada de sumas de conjuntos no convexos. [20] Estos artículos de JPE estimularon un artículo de Lloyd Shapley y Martin Shubik , que consideró las preferencias convexificadas del consumidor e introdujo el concepto de un "equilibrio aproximado". [21] Los artículos del JPE y el artículo de Shapley-Shubik influyeron en otra noción de "cuasi-equilibrios", debido a Robert Aumann . [22] [23]

Los conjuntos no convexos se han incorporado en las teorías de equilibrios económicos generales. [24] Estos resultados se describen en libros de texto de nivel de posgrado en microeconomía , [25] teoría del equilibrio general, [26] teoría de juegos , [27] economía matemática , [28] y matemáticas aplicadas (para economistas). [29] El lema de Shapley-Folkman establece que las no convexidades son compatibles con equilibrios aproximados en mercados con muchos consumidores; estos resultados también se aplican a economías de producción con muchas empresas pequeñas . [30]

Oferta con pocos productores

La no convexidad es importante en oligopolios y especialmente en monopolios . [8] Las preocupaciones sobre los grandes productores que explotan el poder de mercado iniciaron la literatura sobre conjuntos no convexos, cuando Piero Sraffa escribió sobre empresas con rendimientos crecientes a escala en 1926, [31] después de lo cual Harold Hotelling escribió sobre precios de costo marginal en 1938. [32] Tanto Sraffa como Hotelling iluminaron el poder de mercado de los productores sin competidores, estimulando claramente una literatura sobre el lado de la oferta de la economía. [33]

Economía contemporánea

Investigaciones recientes en economía han reconocido la no convexidad en nuevas áreas de la economía. En estas áreas, la no convexidad está asociada con fallas de mercado , donde los equilibrios no necesitan ser eficientes o donde no existe equilibrio competitivo porque la oferta y la demanda difieren. [1] [4] [5] [6] [7] [8] Los conjuntos no convexos surgen también con bienes ambientales (y otras externalidades ), [6] [7] y con fallas de mercado, [3] y economía pública . [5] [34] Las no convexidades ocurren también con economía de la información , [35] y con mercados de valores [8] (y otros mercados incompletos ). [36] [37] Tales aplicaciones continuaron motivando a los economistas a estudiar conjuntos no convexos. [1] En algunos casos, la fijación de precios no lineal o la negociación pueden superar las fallas de los mercados con precios competitivos; en otros casos, la regulación puede estar justificada.

Optimización a lo largo del tiempo

Las aplicaciones mencionadas anteriormente se refieren a no convexidades en espacios vectoriales de dimensión finita , donde los puntos representan paquetes de productos. Sin embargo, los economistas también consideran problemas dinámicos de optimización a lo largo del tiempo, utilizando las teorías de ecuaciones diferenciales , sistemas dinámicos , procesos estocásticos y análisis funcional : Los economistas utilizan los siguientes métodos de optimización:

En estas teorías, los problemas regulares involucran funciones convexas definidas en dominios convexos, y esta convexidad permite simplificaciones de técnicas e interpretaciones económicamente significativas de los resultados. [43] [44] [45] En economía, Martin Beckmann y Richard F. Muth utilizaron la programación dinámica para trabajar en la teoría de inventarios y la teoría del consumo. [46] Robert C. Merton utilizó la programación dinámica en su artículo de 1973 sobre el modelo de fijación de precios de activos de capital intertemporal . [47] (Véase también el problema de la cartera de Merton ). En el modelo de Merton, los inversores eligen entre los ingresos actuales y los ingresos futuros o las ganancias de capital, y su solución se encuentra mediante programación dinámica. Stokey, Lucas y Prescott utilizan la programación dinámica para resolver problemas de teoría económica, problemas que involucran procesos estocásticos. [48] La programación dinámica se ha utilizado en crecimiento económico óptimo , extracción de recursos , problemas de principal-agente , finanzas públicas , inversión empresarial , fijación de precios de activos , oferta de factores y organización industrial . Ljungqvist y Sargent aplican la programación dinámica para estudiar una variedad de cuestiones teóricas en política monetaria , política fiscal , impuestos , crecimiento económico, teoría de búsqueda y economía laboral . [49] Dixit y Pindyck utilizaron la programación dinámica para la presupuestación de capital . [50] Para los problemas dinámicos, las no convexidades también están asociadas con fallas del mercado, [51] tal como lo están para los problemas de tiempo fijo. [52]

Análisis no suave

Los economistas han estudiado cada vez más los conjuntos no convexos con análisis no suave , que generaliza el análisis convexo . El análisis convexo se centra en los conjuntos convexos y las funciones convexas, para los que proporciona ideas potentes y resultados claros, pero no es adecuado para el análisis de no convexidades, como los rendimientos crecientes a escala. [53] "Las no convexidades en [tanto] la producción como el consumo ... requerían herramientas matemáticas que iban más allá de la convexidad, y un mayor desarrollo tuvo que esperar la invención del cálculo no suave": Por ejemplo, el cálculo diferencial de Clarke para funciones continuas de Lipschitz , que utiliza el teorema de Rademacher y que es descrito por Rockafellar & Wets (1998) [54] y Mordukhovich (2006), [9] según Khan (2008). [10] Brown (1995, pp. 1967–1968) escribió que la "principal innovación metodológica en el análisis del equilibrio general de las empresas con reglas de fijación de precios" fue "la introducción de los métodos de análisis no uniforme, como una [síntesis] del análisis global (topología diferencial) y [del] análisis convexo". Según Brown (1995, p. 1966) , "el análisis no uniforme extiende la aproximación local de variedades por planos tangentes [y extiende] la aproximación análoga de conjuntos convexos por conos tangentes a conjuntos" que pueden ser no uniformes o no convexos. [11] [55]

Véase también

Notas

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  14. ^ Samuelson (1950, págs. 359-360):

    Cabe señalar que en un mercado competitivo no se pueden observar puntos en los que las curvas de indiferencia sean convexas en lugar de cóncavas. Estos puntos están envueltos en una oscuridad eterna, a menos que convirtamos a nuestro consumidor en un monopsonista y le permitamos elegir entre bienes que se encuentran en una "curva presupuestaria" muy convexa (a lo largo de la cual está afectando el precio de lo que compra). En este caso de monopsonio, todavía podríamos deducir la pendiente de la curva de indiferencia del hombre a partir de la pendiente de la restricción observada en el punto de equilibrio.

    Para el epígrafe de su séptimo capítulo, "Mercados con preferencias no convexas y producción", Starr (1969) , Arrow y Hahn (1971, p. 169) citan la descripción que John Milton hace del pantano serbio (no convexo) en El Paraíso Perdido (Libro II, líneas 592-594):

    Un abismo tan profundo como aquel pantano serbio

    Entre Damiata y el viejo monte Casio,

    Donde ejércitos enteros se han hundido.

  15. ^ Diewert (1982, págs. 552–553).
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    Koopmans (1961, p. 478) y otros —por ejemplo, Farrell (1959, pp. 390-391) y Farrell (1961a, p. 484), Bator (1961a, pp. 482-483), Rothenberg (1960, p. 438) y Starr (1969, p. 26) —comentaron sobre Koopmans (1957, pp. 1-126, especialmente 9-16 [1.3 Suma de conjuntos de oportunidad], 23-35 [1.6 Conjuntos convexos y las implicaciones de precio de la optimalidad], y 35-37 [1.7 El papel de los supuestos de convexidad en el análisis]):

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  23. ^ La adopción de la envoltura convexa de las preferencias no convexas ya había sido discutida anteriormente por Wold (1943b, p. 243) y por Wold & Juréen (1953, p. 146), según Diewert (1982, p. 552).

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Referencias

Enlaces externos

Heal, GM (abril de 1998). The Economics of Increasing Returns (PDF) . Serie de documentos de trabajo de PaineWebber sobre dinero, economía y finanzas. Columbia Business School. PW-97-20. Archivado desde el original (PDF) el 15 de septiembre de 2015. Consultado el 5 de marzo de 2011 .