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Convexidad en economía

La convexidad en economía está incluida en los códigos de clasificación JEL como JEL:  C65

La convexidad es una propiedad geométrica con una variedad de aplicaciones en economía . [1] Informalmente, un fenómeno económico es convexo cuando "los intermedios (o combinaciones) son mejores que los extremos". Por ejemplo, un agente económico con preferencias convexas prefiere combinaciones de bienes a tener una gran cantidad de un mismo tipo de bien; esto representa una especie de utilidad marginal decreciente de tener más del mismo bien.

La convexidad es un supuesto simplificador clave en muchos modelos económicos, ya que conduce a un comportamiento del mercado que es fácil de entender y que tiene propiedades deseables. Por ejemplo, el modelo Arrow-Debreu de equilibrio económico general postula que si las preferencias son convexas y hay competencia perfecta, entonces la oferta agregada será igual a la demanda agregada de cada bien de la economía.

Por el contrario, la no convexidad se asocia con fallas del mercado , donde la oferta y la demanda difieren o donde los equilibrios del mercado pueden ser ineficientes .

La rama de las matemáticas que proporciona las herramientas para las funciones convexas y sus propiedades se llama análisis convexo ; Los fenómenos no convexos se estudian mediante un análisis no suave .

Preliminares

La economía depende de las siguientes definiciones y resultados de la geometría convexa .

Espacios vectoriales reales

Los segmentos de línea prueban la convexidad .

A un espacio vectorial real de dos dimensiones se le puede dar un sistema de coordenadas cartesiano en el que cada punto se identifica mediante una lista de dos números reales, llamados "coordenadas", que convencionalmente se denotan por x e y . Se pueden sumar dos puntos en el plano cartesiano según las coordenadas.

( x 1 ,  y 1 ) + ( x 2 ,  y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 );

Además, un punto se puede multiplicar por cada número real λ en coordenadas.

λ ( x , y ) = ( λx , λy ).

De manera más general, cualquier espacio vectorial real de dimensión (finita) D puede verse como el conjunto de todas las listas posibles de D números reales {( v 1 , v 2 , . . . , v D )  } junto con dos operaciones : suma de vectores y multiplicación por un número real . Para espacios vectoriales de dimensión finita, las operaciones de suma de vectores y multiplicación de números reales se pueden definir cada una en forma de coordenadas, siguiendo el ejemplo del plano cartesiano.

Conjuntos convexos

Una imagen de un triángulo suavizado, como una tortilla triangular o una señal de tráfico triangular. Cada una de las tres esquinas redondeadas está dibujada con una curva roja. Los puntos interiores restantes de la forma triangular están sombreados en azul.
En el casco convexo del conjunto rojo, cada punto azul es una combinación convexa de algunos puntos rojos.

En un espacio vectorial real, un conjunto se define como convexo si, para cada par de sus puntos, cada punto del segmento de recta que los une está cubierto por el conjunto. Por ejemplo, un cubo sólido es convexo; sin embargo, cualquier cosa que sea hueca o abollada, por ejemplo una forma de media luna , no es convexa. Trivialmente , el conjunto vacío es convexo.

Más formalmente, un conjunto Q es convexo si, para todos los puntos v 0 y v 1 en Q y para cada número real λ en el intervalo unitario [0,1] , el punto

(1 −  λ )  v 0 + λv 1

es miembro de  Q .

Por inducción matemática , un conjunto Q es convexo si y sólo si toda combinación convexa de miembros de Q también pertenece a Q. Por definición, una combinación convexa de un subconjunto indexado { v 0 ,  v 1 , . . . ,  v D } de un espacio vectorial es cualquier promedio ponderado  λ 0 v 0 + λ 1 v 1 + . . . + λ D v D , para algún conjunto indexado de números reales no negativos { λ d } ​​que satisface la ecuación λ 0 + λ 1 + . . . + λD =  1.

La definición de conjunto convexo implica que la intersección de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. De manera más general, la intersección de una familia de conjuntos convexos es un conjunto convexo.

casco convexo

Para cada subconjunto Q de un espacio vectorial real, su casco convexo Conv( Q ) es el conjunto convexo mínimo que contiene Q. Por tanto, Conv( Q ) es la intersección de todos los conjuntos convexos que cubren Q . La cáscara convexa de un conjunto se puede definir de manera equivalente como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en  Q.

Dualidad: intersección de medios espacios

Un conjunto convexo (en rosa), un hiperplano de soporte de (la línea discontinua) y el medio espacio delimitado por el hiperplano que lo contiene (en celeste).

El hiperplano de soporte es un concepto en geometría . Un hiperplano divide un espacio en dos semiespacios . Se dice que un hiperplano soporta un conjunto en el espacio n real si cumple ambas de las siguientes condiciones:

Aquí, un semiespacio cerrado es el semiespacio que incluye el hiperplano.

Apoyando el teorema del hiperplano

Un conjunto convexo puede tener más de un hiperplano de soporte en un punto dado de su límite.

Este teorema establece que si es un conjunto convexo cerrado y es un punto en el límite de entonces existe un hiperplano de soporte que contiene

Es posible que el hiperplano del teorema no sea único, como se observa en la segunda imagen de la derecha. Si el conjunto cerrado no es convexo, el enunciado del teorema no es verdadero en todos los puntos en el límite de como se ilustra en la tercera imagen de la derecha.

Un hiperplano de soporte que contiene un punto dado en el límite de puede no existir si no es convexo.

Ciencias económicas

El consumidor prefiere el vector de bienes ( Q x ,  Q y ) sobre otros vectores asequibles. En este vector óptimo, la recta presupuestaria apoya la curva de indiferencia  I 2 .

Una canasta óptima de bienes ocurre cuando el conjunto de preferencias convexas del consumidor está respaldado por la restricción presupuestaria, como se muestra en el diagrama. Si el conjunto de preferencias es convexo, entonces el conjunto de decisiones óptimas del consumidor es un conjunto convexo, por ejemplo, una canasta óptima única (o incluso un segmento de línea de canastas óptimas).

Por simplicidad, asumiremos que las preferencias de un consumidor pueden describirse mediante una función de utilidad que es una función continua , lo que implica que los conjuntos de preferencias son cerrados . (El significado de "conjunto cerrado" se explica a continuación, en la subsección sobre aplicaciones de optimización).

No convexidad

Cuando las preferencias de los consumidores tienen concavidades, entonces los presupuestos lineales no necesitan sustentar equilibrios: los consumidores pueden saltar entre asignaciones.

Si un conjunto de preferencias no es convexo, entonces algunos precios producen un presupuesto que respalda dos decisiones de consumo óptimas diferentes. Por ejemplo, podemos imaginar que, en los zoológicos, un león cuesta tanto como un águila y, además, que el presupuesto de un zoológico alcanza para un águila o un león. También podemos suponer que el cuidador del zoológico considera que ambos animales son igualmente valiosos. En este caso, el zoológico compraría un león o un águila. ¡Por supuesto, un cuidador de zoológico contemporáneo no quiere comprar mitad un águila y mitad un león (o un grifo )! Por tanto, las preferencias del cuidador del zoológico contemporáneo no son convexas: el cuidador del zoológico prefiere tener cualquiera de los dos animales a tener cualquier combinación estrictamente convexa de ambos.

Los conjuntos no convexos se han incorporado en las teorías del equilibrio económico general, [2] de las fallas del mercado , [3] y de la economía pública . [4] Estos resultados se describen en libros de texto de posgrado en microeconomía , [5] teoría del equilibrio general, [6] teoría de juegos , [7] economía matemática , [8] y matemáticas aplicadas (para economistas). [9] Los resultados del lema de Shapley-Folkman establecen que las no convexidades son compatibles con equilibrios aproximados en mercados con muchos consumidores; Estos resultados también se aplican a economías de producción con muchas empresas pequeñas . [10]

En los " oligopolios " (mercados dominados por unos pocos productores), especialmente en los " monopolios " (mercados dominados por un productor), las no convexidades siguen siendo importantes. [11] Las preocupaciones con los grandes productores que explotan el poder de mercado de hecho iniciaron la literatura sobre conjuntos no convexos, cuando Piero Sraffa escribió sobre empresas con rendimientos crecientes a escala en 1926, [12] después de lo cual Harold Hotelling escribió sobre la fijación de precios de costo marginal en 1938. [13] Tanto Sraffa como Hotelling iluminaron el poder de mercado de los productores sin competidores, estimulando claramente una literatura sobre el lado de la oferta de la economía . [14] Los conjuntos no convexos surgen también con los bienes ambientales (y otras externalidades ), [15] [16] con la economía de la información , [17] y con los mercados de valores [11] (y otros mercados incompletos ). [18] [19] Estas aplicaciones continuaron motivando a los economistas a estudiar conjuntos no convexos. [20]

Análisis no fluido

Los economistas han estudiado cada vez más conjuntos no convexos con análisis no suave , que generaliza el análisis convexo . "Las no convexidades en [tanto] la producción como el consumo... requerían herramientas matemáticas que iban más allá de la convexidad, y un mayor desarrollo tuvo que esperar a la invención del cálculo no suave" (por ejemplo, el cálculo local de Lipschitz de Francis Clarke ), como lo describe Rockafellar & Wets (1998) [21] y Mordukhovich (2006), [22] según Khan (2008). [23] Brown (1991, págs. 1967-1968) escribió que la "principal innovación metodológica en el análisis del equilibrio general de empresas con reglas de fijación de precios" fue "la introducción de métodos de análisis no uniformes, como una [síntesis] de análisis global (topología diferencial) y [de] análisis convexo". Según Brown (1991, p. 1966), "el análisis no suave extiende la aproximación local de variedades por planos tangentes [y extiende] la aproximación análoga de conjuntos convexos por conos tangentes a conjuntos" que pueden ser no suaves o no suaves. convexo. [24] Los economistas también han utilizado la topología algebraica . [25]

Ver también

Notas

  1. ^ Newman (1987c)
  2. ^ Páginas 392–399 y página 188: Arrow, Kenneth J .; Hahn, Frank H. (1971). "Apéndice B: Conjuntos convexos y relacionados" . Análisis competitivo general . Textos de economía matemática [Libros de texto avanzados en economía]. San Francisco: Holden-Day, Inc. [Holanda Septentrional]. págs. 375–401. ISBN 978-0-444-85497-1. SEÑOR  0439057.
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Referencias