matrices de pauli

Matrices importantes en la mecánica cuántica y el estudio del espín

Wolfgang Pauli (1900-1958), c. 1924. Pauli recibe el Premio Nobel de Física en 1945, nominado por Albert Einstein , por el principio de exclusión de Pauli .

En física matemática y matemáticas , las matrices de Pauli son un conjunto de tres matrices complejas de 2 × 2 que son hermitianas , involutorias y unitarias . Generalmente indicados por la letra griega sigma ( σ ), ocasionalmente se denotan por tau ( τ ) cuando se usan en conexión con simetrías de isospin .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {x} }&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {y} }&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{3}=\sigma _{\mathrm {z} }&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Estas matrices llevan el nombre del físico Wolfgang Pauli . En mecánica cuántica , ocurren en la ecuación de Pauli , que tiene en cuenta la interacción del espín de una partícula con un campo electromagnético externo . También representan los estados de interacción de dos filtros de polarización para polarización horizontal/vertical, polarización de 45 grados (derecha/izquierda) y polarización circular (derecha/izquierda).

Cada matriz de Pauli es hermitiana , y junto con la matriz identidad I (a veces considerada como la matriz cero de Pauli σ ₀ ), las matrices de Pauli forman una base para el espacio vectorial real de matrices hermitianas de 2 × 2 . Esto significa que cualquier matriz hermitiana de 2 × 2 se puede escribir de forma única como una combinación lineal de matrices de Pauli, siendo todos los coeficientes números reales.

Los operadores hermitianos representan observables en mecánica cuántica, por lo que las matrices de Pauli abarcan el espacio de observables del complejo espacio de Hilbert bidimensional . En el contexto del trabajo de Pauli, σ _k representa el observable correspondiente al giro a lo largo del k -ésimo eje de coordenadas en el espacio euclidiano tridimensional. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Las matrices de Pauli (después de la multiplicación por i para hacerlas antihermitianas ) también generan transformaciones en el sentido de las álgebras de Lie : las matrices iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ forman una base para el álgebra de Lie real , que exponencia al unitario especial. grupo SU(2) . ^[a] El álgebra generada por las tres matrices σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ es isomorfa al álgebra de Clifford de ^[1] y el álgebra asociativa (unital) generada por iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ funciona de manera idéntica ( es isomorfa ) al de cuaterniones ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Propiedades algebraicas

Las tres matrices de Pauli se pueden compactar en una sola expresión:

${\displaystyle \sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}}}$

donde la solución de i ² = −1 es la " unidad imaginaria " y δ _jk es el delta de Kronecker , que es igual a +1 si j = k y 0 en caso contrario. Esta expresión es útil para "seleccionar" cualquiera de las matrices numéricamente sustituyendo valores de j = 1, 2, 3, a su vez útil cuando cualquiera de las matrices (pero ninguna en particular) se va a utilizar en manipulaciones algebraicas.

Las matrices son involutivas :

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$

donde I es la matriz identidad .

Los determinantes y trazas de las matrices de Pauli son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{j}&~=\ -1,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&~=~~~\;0.\end{aligned}}}$

De lo cual podemos deducir que cada matriz σ _j tiene valores propios +1 y −1.

Con la inclusión de la matriz identidad, I (a veces denotada como σ ₀ ), las matrices de Pauli forman una base ortogonal (en el sentido de Hilbert-Schmidt ) del espacio de Hilbert de matrices hermitianas 2 × 2 , , sobre y el espacio de Hilbert. de todas las matrices complejas de 2 × 2 , , sobre . ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Relaciones de conmutación y anti-conmutación

Relaciones de conmutación

Las matrices de Pauli obedecen a las siguientes relaciones de conmutación :

${\displaystyle [\sigma _{j},\sigma _{k}]=2i\varepsilon _{jkl}\,\sigma _{l},}$

donde la constante de estructura ε _jkl es el símbolo de Levi-Civita y se utiliza la notación de suma de Einstein.

Estas relaciones de conmutación convierten a las matrices de Pauli en las generadoras de una representación del álgebra de Lie. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )\cong {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3).}$

Relaciones anticonmutación

También satisfacen las relaciones anticonmutación :

${\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\delta _{jk}\,I,}$

donde se define como y δ _jk es el delta de Kronecker . I denota la matriz identidad 2 × 2 . ${\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j},}$

Estas relaciones anti-conmutación hacen de las matrices de Pauli las generadoras de una representación del álgebra de Clifford para denotado ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R} ).}$

La construcción habitual de generadores utilizando el álgebra de Clifford recupera las relaciones de conmutación anteriores, hasta factores numéricos sin importancia. ${\textstyle \sigma _{jk}={\tfrac {1}{4}}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right],}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

A continuación se dan como ejemplos algunos conmutadores y anticonmutadores explícitos:

Vectores propios y valores propios

Cada una de las matrices de Pauli ( hermitianas ) tiene dos valores propios , +1 y −1 . Los vectores propios normalizados correspondientes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}&{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\;,&\psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}&{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\;,\\\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}&{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}\;,&\psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}&{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\;,\\\psi _{z+}={}&{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\;,&\psi _{z-}={}&{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Pauli vectores

El vector de Pauli está definido por ^[b]

$${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3}\ ,}$$

${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{3}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

El vector de Pauli proporciona un mecanismo de mapeo desde una base vectorial a una base matricial de Pauli ^[2] de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=\left(a_{k}\ {\hat {x}}_{k}\right)\cdot \left(\sigma _{\ell }\ {\hat {x}}_{\ell }\right)=a_{k}\ \sigma _{\ell }\;{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=a_{k}\ \sigma _{\ell }\ \delta _{k\ell }=a_{k}\ \sigma _{k}\\[4pt]&=~a_{1}\;{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~+~a_{2}\;{\begin{pmatrix}0&-i\\i&\;\;0\end{pmatrix}}~+~a_{3}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

la convención de suma de Einstein

Más formalmente, esto define un mapa desde el espacio vectorial de matrices hermitianas sin rastro. Este mapa codifica estructuras como un espacio vectorial normado y como un álgebra de Lie (con el producto cruzado como su paréntesis de Lie) a través de funciones de matrices, lo que convierte al mapa en un isomorfismo de las álgebras de Lie. Esto hace que las matrices de Pauli se entrelacen desde el punto de vista de la teoría de la representación. ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }$

Otra forma de ver el vector de Pauli es como un vector dual hermitiano con valores matriciales y sin trazas, es decir, un elemento de ese mapa. ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \ {\text{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}.}$

Relación de integridad

Cada componente de se puede recuperar de la matriz (consulte la relación de integridad a continuación) ${\displaystyle \ {\vec {a}}\ }$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}{\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\vec {a}}.}$$

Esto constituye una inversa del mapa , poniendo de manifiesto que el mapa es una biyección. ${\displaystyle {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

Determinante

La norma está dada por el determinante (hasta un signo menos)

$${\displaystyle \det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-\left|{\vec {a}}\right|^{2}.}$$

Entonces considerando la acción de conjugación de una matriz en este espacio de matrices, ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}:=U\;{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}~U^{-1}\ ,}$

encontramos y eso es hermitiano y no deja huellas. Entonces tiene sentido definir dónde tiene la misma norma y, por lo tanto, interpretarlo como una rotación del espacio tridimensional. De hecho, resulta que la restricción especial implica que la rotación preserva la orientación. Esto permite la definición de un mapa dado por ${\displaystyle \ \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ ,}$ ${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}'\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\ ,}$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ R:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\ }$

${\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}=:(R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$

donde Este mapa es la realización concreta de la doble cobertura de by y por lo tanto muestra que los componentes de se pueden recuperar utilizando el proceso de rastreo anterior: ${\displaystyle \ R(U)\in \mathrm {SO} (3).}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SO} (3)\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ ,}$ ${\displaystyle \ {\text{SU}}(2)\cong \mathrm {Spin} (3).}$ ${\displaystyle R(U)}$

${\displaystyle R(U)_{ij}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\right)}$

Producto cruzado

El producto cruzado está dado por el conmutador matricial (hasta un factor de ) ${\displaystyle 2i}$

$${\displaystyle \left[{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]=2i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}.}$$

De hecho, la existencia de una norma se deriva del hecho de que es un álgebra de Lie: ver Forma asesina . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Este producto cruzado se puede utilizar para demostrar la propiedad de conservación de la orientación del mapa anterior.

Valores propios y vectores propios

Los valores propios de son Esto se deriva inmediatamente de la falta de rastro y del cálculo explícito del determinante. ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}$

De manera más abstracta, sin calcular el determinante, que requiere propiedades explícitas de las matrices de Pauli, esto se deduce de que esto se puede factorizar en Un resultado estándar en álgebra lineal (una aplicación lineal que satisface una ecuación polinómica escrita en distintos factores lineales es diagonal) significa esto implica que es una diagonal con posibles valores propios. La falta de rastro significa que tiene exactamente uno de cada valor propio. ${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}$ ${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0.}$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$ ${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}$ ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$

Sus vectores propios normalizados son

$${\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{{\sqrt {2\left|{\vec {a}}\right|\ (a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|)\ }}\ }}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.}$$

${\displaystyle a_{3}\to -1}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=(\epsilon ,0,-(1-\epsilon ^{2}/2))}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

Alternativamente, se pueden usar coordenadas esféricas para obtener los vectores propios y . ${\displaystyle {\vec {a}}=a(\sin \vartheta \cos \varphi ,\sin \vartheta \sin \varphi ,\cos \vartheta )}$ ${\displaystyle \psi _{+}=(\cos(\vartheta /2),\sin(\vartheta /2)\exp(i\varphi ))}$ ${\displaystyle \psi _{-}=(-\sin(\vartheta /2)\exp(-i\varphi ),\cos(\vartheta /2))}$

Pauli 4 vectores

El 4 vector de Pauli, utilizado en la teoría del espinor, está escrito con componentes ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }}).}$

Esto define un mapa desde el espacio vectorial de matrices hermitianas, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

${\displaystyle x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}$

que también codifica la métrica de Minkowski (con convención mayoritariamente negativa ) en su determinante:

${\displaystyle \det(x_{\mu }\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}$

Este 4 vectores también tiene una relación de completitud. Es conveniente definir un segundo vector de 4 Pauli

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }}).}$

y permitir subir y bajar usando el tensor métrico de Minkowski. Entonces la relación se puede escribir

$${\displaystyle x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}{\Bigr )}.}$$

De manera similar al caso de 3 vectores de Pauli, podemos encontrar un grupo de matrices que actúa como isometrías; en este caso, el grupo de matrices es y esto se muestra. De manera similar a lo anterior, esto se puede realizar explícitamente con componentes. ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\cong \mathrm {Spin} (1,3).}$ ${\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }$

${\displaystyle \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\bar {\sigma }}_{\nu }S\sigma ^{\mu }S^{\dagger }\right).}$

De hecho, la propiedad determinante se deriva de manera abstracta de las propiedades traza de las matrices. Para las matrices, se cumple la siguiente identidad: ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }.}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ }$

${\displaystyle \det(A+B)=\det(A)+\det(B)+\operatorname {tr} (A)\operatorname {tr} (B)-\operatorname {tr} (AB).}$

Es decir, los 'términos cruzados' pueden escribirse como trazas. Cuando se elige que sean diferentes, los términos cruzados desaparecen. Luego se sigue, ahora mostrando la suma explícitamente, Dado que las matrices son, esto es igual a ${\displaystyle \ A,B\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}$ ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ ,}$ ${\textstyle \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}$

Relación con el producto punto y cruz

Los vectores de Pauli asignan elegantemente estas relaciones de conmutación y anticonmutación a los productos vectoriales correspondientes. Agregar el conmutador al anticonmutador da

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}$

de modo que,

${\displaystyle ~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~}$

Contrayendo cada lado de la ecuación con componentes de dos 3 vectores a _p y b _q (que conmutan con las matrices de Pauli, es decir, a _p σ _q = σ _q a _p ) para cada matriz σ _q y componente del vector a _p (y lo mismo con b _q ) produce

${\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}.~}$

Finalmente, traducir la notación de índice para el producto escalar y el producto cruzado da como resultado

Si i se identifica con el pseudoescalar σ _x σ _y σ _z entonces el lado derecho se convierte en , que también es la definición del producto de dos vectores en álgebra geométrica. ${\displaystyle a\cdot b+a\wedge b}$

Si definimos el operador de giro como J =ħ/2σ , entonces J satisface la relación de conmutación:

$${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\hbar \mathbf {J} }$$

$${\displaystyle {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i{\frac {\vec {\sigma }}{2}}}$$

Algunas relaciones de rastro

Las siguientes trazas se pueden derivar utilizando las relaciones de conmutación y anticonmutación.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}}$

Si también se considera la matriz σ ₀ = I , estas relaciones quedan

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}}$$

donde los índices griegos α , β , γ y μ asumen valores de {0, x , y , z } y la notación se utiliza para denotar la suma de la permutación cíclica de los índices incluidos. ${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$

Exponencial de un vector de Pauli

Para

${\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}},\quad |{\hat {n}}|=1,}$

se tiene, para potencias pares, 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I,}$

que se puede mostrar primero para el caso p = 1 usando las relaciones de anticonmutación. Por conveniencia, el caso p = 0 se toma como I por convención.

Para potencias impares, 2 q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,.}$

Exponenciando matrices y usando la serie de Taylor para seno y coseno ,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}}$.

En la última línea, la primera suma es el coseno, mientras que la segunda suma es el seno; así que finalmente,

que es análoga a la fórmula de Euler , extendida a cuaterniones .

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \det[ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]=a^{2}}$,

mientras que el determinante del exponencial en sí es solo 1 , lo que lo convierte en el elemento de grupo genérico de SU(2) .

Puede encontrar una versión más abstracta de la fórmula (2) para una matriz general de 2 × 2 en el artículo sobre matrices exponenciales . Se proporciona una versión general de (2) para una función analítica (en a y − a ) mediante la aplicación de la fórmula de Sylvester , ^[3]

${\displaystyle f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}.}$

La ley de composición de grupos de SU (2)

Una aplicación sencilla de la fórmula (2) proporciona una parametrización de la ley de composición del grupo SU(2) . ^[c] Se puede resolver directamente c en

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b\right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)},\end{aligned}}}$$

que especifica la multiplicación genérica del grupo, donde, manifiestamente,

$${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,}$$

ley esférica de los cosenosc

$${\displaystyle {\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right).}$$

En consecuencia, los parámetros de rotación compuestos en este elemento de grupo (una forma cerrada de la expansión BCH respectiva en este caso) simplemente ascienden a ^[4]

$${\displaystyle e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right).}$$

(Por supuesto, cuando es paralelo a , también lo es y c = a + b .) ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {m}}}$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$

Acción conjunta

También es sencillo calcular la acción adjunta sobre el vector de Pauli, es decir, la rotación de cualquier ángulo a lo largo de cualquier eje : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}$$

Tomar el producto escalar de cualquier vector unitario con la fórmula anterior genera la expresión de cualquier operador de qubit único bajo cualquier rotación. Por ejemplo, se puede demostrar que . ${\textstyle R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}}$

Relación de integridad

Una notación alternativa que se usa comúnmente para las matrices de Pauli es escribir el índice vectorial k en el superíndice y los índices de la matriz como subíndices, de modo que el elemento en la fila α y la columna β de la k -ésima matriz de Pauli sea σ ^k _αβ .

En esta notación, la relación de completitud de las matrices de Pauli se puede escribir

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\,\delta _{\gamma \delta }.}$

Prueba

El hecho de que las matrices de Pauli, junto con la matriz identidad I , formen una base ortogonal para el espacio de Hilbert de todas las matrices hermitianas complejas 2 × 2 significa que podemos expresar cualquier matriz hermitiana M como

$${\displaystyle M=c\,I+\sum _{k}a_{k}\,\sigma ^{k}}$$

donde c es un número complejo y a es un vector complejo de 3 componentes. Es sencillo demostrar, utilizando las propiedades enumeradas anteriormente, que

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\,\delta _{jk}}$$

donde " tr " denota la traza , y por lo tanto que

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M.\end{aligned}}\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{aligned}}}$$

que se puede reescribir en términos de índices matriciales como

$${\displaystyle 2\,M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\,M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}\,M_{\delta \gamma }~,}$$

donde se implica la suma de los índices repetidos γ y δ . Dado que esto es cierto para cualquier elección de la matriz M , la relación de completitud se sigue como se indicó anteriormente. QED

Como se señaló anteriormente, es común denotar la matriz unitaria de 2 × 2 por σ ₀ , por lo que σ ⁰ _αβ = δ _αβ . La relación de completitud también se puede expresar como

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }~.}$$

El hecho de que cualquier matriz hermitiana compleja de 2 × 2 pueda expresarse en términos de la matriz identidad y las matrices de Pauli también conduce a la representación de la esfera de Bloch de la matriz de densidad de estados mixtos 2 × 2 (matrices semidefinidas positivas de 2 × 2 con traza unitaria Esto se puede ver expresando primero una matriz hermitiana arbitraria como una combinación lineal real de { σ ₀ , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ } como arriba, y luego imponiendo las condiciones semidefinida positiva y traza 1 .

Para un estado puro, en coordenadas polares,

$${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$

idempotente

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$$

actúa sobre el vector propio de estado con valor propio +1, por lo que actúa como un operador de proyección . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{+i\phi }\,\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$

Relación con el operador de permutación

Sea P _jk la transposición (también conocida como permutación) entre dos espines σ _j y σ _k que viven en el espacio del producto tensorial , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}$

Este operador también se puede escribir más explícitamente como operador de intercambio de espín de Dirac ,

${\displaystyle P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.}$

Por tanto, sus valores propios son ^[d] 1 o −1. Por tanto, puede utilizarse como término de interacción en un hamiltoniano, dividiendo los valores propios de energía de sus estados propios simétricos y antisimétricos.

SU(2)

El grupo SU(2) es el grupo de Lie de matrices unitarias de 2 × 2 con determinante unitario; su álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices antihermitianas 2 × 2 con traza 0. El cálculo directo, como el anterior, muestra que el álgebra de Lie es el álgebra real tridimensional abarcada por el conjunto { iσ _k } . En notación compacta, ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}$

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}.}$

Como resultado, cada iσ _j puede verse como un generador infinitesimal de SU(2). Los elementos de SU(2) son exponenciales de combinaciones lineales de estos tres generadores y se multiplican como se indicó anteriormente al analizar el vector de Pauli. Aunque esto es suficiente para generar SU(2), no es una representación adecuada de su(2) , ya que los valores propios de Pauli se escalan de manera poco convencional. La normalización convencional es λ =1/2, de modo que

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma _{1}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{3}\,}{2}}\right\}.}$

Como SU(2) es un grupo compacto, su descomposición de Cartan es trivial.

Entonces(3)

El álgebra de Lie es isomorfa al álgebra de Lie , que corresponde al grupo de Lie SO(3) , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional. En otras palabras, se puede decir que los iσ _j son una realización (y, de hecho, la realización de menor dimensión) de rotaciones infinitesimales en un espacio tridimensional. Sin embargo, aunque y son isomorfos como álgebras de Lie, SU(2) y SO(3) no son isomorfos como grupos de Lie. SU(2) es en realidad una doble cobertura de SO(3) , lo que significa que hay un homomorfismo de grupo de dos a uno de SU(2) a SO(3) , consulte la relación entre SO(3) y SU(2). . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Cuaterniones

El intervalo lineal real de { I , iσ ₁ , iσ ₂ , iσ ₃ } es isomorfo al álgebra real de cuaterniones , representado por el intervalo de los vectores base. El isomorfismo de a este conjunto viene dado por el siguiente mapa (observe el signos invertidos para las matrices de Pauli): ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \left\{\;\mathbf {1} ,\,\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \;\right\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

$${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}.}$$

Alternativamente, el isomorfismo se puede lograr mediante un mapa que utilice las matrices de Pauli en orden inverso, ^[5]

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}$

Como el conjunto de versores U ⊂ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ forma un grupo isomorfo a SU(2) , U ofrece otra forma de describir SU(2) . El homomorfismo dos a uno de SU(2) a SO(3) puede darse en términos de las matrices de Pauli en esta formulación.

Física

Mecanica clasica

En mecánica clásica , las matrices de Pauli son útiles en el contexto de los parámetros de Cayley-Klein. ^[6] La matriz P correspondiente a la posición de un punto en el espacio se define en términos de la matriz vectorial de Pauli anterior, ${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}.}$

En consecuencia, la matriz de transformación Q _θ para rotaciones alrededor del eje x a través de un ángulo θ puede escribirse en términos de matrices de Pauli y la matriz unitaria como ^[6]

${\displaystyle Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\,\sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

Se siguen expresiones similares para las rotaciones generales del vector de Pauli, como se detalla anteriormente.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , cada matriz de Pauli está relacionada con un operador de momento angular que corresponde a un observable que describe el giro de una partícula de 1⁄2 de espín , en cada una de las tres direcciones espaciales. Como consecuencia inmediata de la descomposición de Cartan mencionada anteriormente, iσ _j son los generadores de una representación proyectiva ( representación de espín ) del grupo de rotación SO(3) que actúa sobre partículas no relativistas con espín 1 ⁄ 2 . Los estados de las partículas se representan como espinores de dos componentes . De la misma manera, las matrices de Pauli se relacionan con el operador isospin .

Una propiedad interesante de las partículas de espín 1 ⁄ 2 es que deben girarse un ángulo de 4 π para volver a su configuración original. Esto se debe a la correspondencia ^de dos a uno entre SU(2) y SO(3) mencionada anteriormente, y al hecho de que, aunque uno visualiza el giro arriba/abajo como el polo norte-sur en la biesfera S2 , en realidad, están representados por vectores ortogonales en el espacio de Hilbert complejo bidimensional .

Para una partícula de espín 1 ⁄ 2 , el operador de espín viene dado por J =ħ/2σ , larepresentación fundamentaldeSU(2). Tomandoconsigo repetidamentelos productos de KroneckerEs decir, losoperadores de espínpara sistemas de espín superiores en tres dimensiones espaciales, paraj, se pueden calcular utilizando esteoperador de espínyoperadores de escalera. Se pueden encontrar enel grupo de rotación SO(3) § Una nota sobre las álgebras de Lie. La fórmula análoga a la generalización anterior de la fórmula de Euler para las matrices de Pauli, el elemento del grupo en términos de matrices de espín, es manejable, pero menos simple.^[7]

También útil en la mecánica cuántica de sistemas multipartículas, el grupo de Pauli general G _n se define como compuesto por todos los productos tensoriales n veces de matrices de Pauli.

Mecánica cuántica relativista

En la mecánica cuántica relativista , los espinores en cuatro dimensiones son matrices de 4 × 1 (o 1 × 4). Por tanto, las matrices de Pauli o las matrices Sigma que operan sobre estos espinores tienen que ser matrices de 4 × 4. Se definen en términos de matrices de Pauli 2 × 2 como

${\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}.}$

De esta definición se deduce que las matrices tienen las mismas propiedades algebraicas que las matrices σ _k . ${\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }$

Sin embargo, el momento angular relativista no es un vector de tres, sino un tensor de cuatro de segundo orden . Por lo tanto, debe ser reemplazado por Σ _μν , el generador de transformaciones de Lorentz en espinores . Por la antisimetría del momento angular, los Σ _μν también son antisimétricos. Por tanto, sólo hay seis matrices independientes. ${\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }$

Los tres primeros son Los tres restantes, donde las matrices de Dirac α k se definen como ${\displaystyle \ \Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}.}$ ${\displaystyle \ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,}$

${\displaystyle {\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}.}$

Las matrices de espín relativistas Σ _μν se escriben en forma compacta en términos de conmutador de matrices gamma como

${\displaystyle \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}.}$

Información cuántica

En información cuántica , las puertas cuánticas de un solo qubit son matrices unitarias de 2 × 2. Las matrices de Pauli son algunas de las operaciones de un solo qubit más importantes. En ese contexto, la descomposición de Cartan dada anteriormente se denomina "descomposición Z-Y de una puerta de un solo qubit". La elección de un par de Cartan diferente produce una " descomposición X-Y" similar de una puerta de un solo qubit .

Ver también

• Álgebra del espacio físico
• Espinores en tres dimensiones
• Matrices gamma
  • § Base de Dirac
• Momento angular
• Matrices de Gell-Mann
• grupo poincaré
• Generalizaciones de matrices de Pauli
• Esfera de Bloch
• La identidad cuadrangular de Euler
• Para generalizaciones de espín superior de las matrices de Pauli, consulte Spin (física) § Spines más altos
• Matriz de intercambio (la primera matriz de Pauli es una matriz de intercambio de orden dos)
• cuaternión dividido

Observaciones

1. Esto se ajusta a la convención en matemáticas para la matriz exponencial , iσ ⟼ exp( iσ ) . En la convención de física , σ ⟼ exp(− iσ ) , por lo tanto, no es necesaria una multiplicación previa por i para llegar a SU(2) .
2. El vector de Pauli es un dispositivo formal. Puede considerarse como un elemento de , donde el espacio del producto tensorial está dotado de un mapeo inducido por el producto escalar en ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times ({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3})\to {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$
3. La relación entre a, b, c, n, m, k derivada aquí en la representación 2 × 2 es válida para todas las representaciones de SU(2) , siendo una identidad de grupo . Tenga en cuenta que, en virtud de la normalización estándar de los generadores de ese grupo como la mitad de las matrices de Pauli, los parámetros a , b , c corresponden a la mitad de los ángulos de rotación del grupo de rotación. Es decir, la fórmula de Gibbs vinculada asciende a . ${\displaystyle {\hat {k}}\tan c/2=({\hat {n}}\tan a/2+{\hat {m}}\tan b/2-{\hat {m}}\times {\hat {n}}\tan a/2~\tan b/2)/(1-{\hat {m}}\cdot {\hat {n}}\tan a/2~\tan b/2)}$
4. Explícitamente, en la convención de "matrices del espacio derecho en elementos de matrices del espacio izquierdo", es ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right)~.}$

Notas

1. Gaviota, SF; Lasenby, AN; Doran, CJL (enero de 1993). "Los números imaginarios no son reales: el álgebra geométrica del espacio-tiempo" (PDF) . Encontró. Física . 23 (9): 1175-1201. Código bibliográfico : 1993FoPh...23.1175G. doi :10.1007/BF01883676. S2CID  14670523 . Consultado el 5 de mayo de 2023 , a través de geometría.mrao.cam.ac.uk.
2. Ver el mapa de espinor .
3. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333.
4. Gibbs, JW (1884). Elementos de Análisis Vectorial . New Haven, Connecticut. pag. 67.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)En realidad, sin embargo, la fórmula se remonta a Olinde Rodrigues (1840), repleta de medio ángulo: Rodrigues, Olinde (1840). "Des lois géometriques qui regissent les déplacements d' un systéme solide dans l' espace, et de la variación des coordonnées provenant de ces déplacement considérées indépendant des cause qui peuvent les produire" (PDF) . J. Matemáticas. Pures Appl. 5 : 380–440.
5. Nakahara, Mikio (2003). Geometría, Topología y Física (2ª ed.). Prensa CRC. pag. XXII. ISBN 978-0-7503-0606-5- a través de libros de Google.
6. Goldstein, Herbert (1959). Mecanica clasica . Addison-Wesley. págs. 109-118.
7. Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). "Una fórmula compacta para rotaciones como polinomios de matriz de espín". SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Código Bib : 2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID  18776942.

Referencias

• Las matrices de espín de Pauli - Conferencias Feynman de Física
• Liboff, Richard L. (2002). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Schiff, Leonard I. (1968). Mecánica cuántica . McGraw-Hill. ISBN 978-0070552876.
• Leonhardt, Ulf (2010). Óptica cuántica esencial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-14505-3.