Espinores en tres dimensiones

Representaciones de espín del grupo SO(3)

En matemáticas , el concepto de espinor especializado en tres dimensiones se puede tratar mediante las nociones tradicionales de producto escalar y producto vectorial . Esto forma parte de la discusión algebraica detallada del grupo de rotación SO(3) .

Formulación

La asociación de un espinor con una matriz hermítica sin trazas compleja 2×2 fue formulada por Élie Cartan . ^[1]

En detalle, dado un vector x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) de números reales (o complejos), se puede asociar la matriz compleja

${\displaystyle {\vec {x}}\rightarrow X\ =\left({\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right).}$

En física, esto se suele escribir como un producto escalar , donde es la forma vectorial de las matrices de Pauli . Las matrices de esta forma tienen las siguientes propiedades, que las relacionan intrínsecamente con la geometría del espacio tridimensional: ${\displaystyle X\equiv {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {\sigma }}\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$

• ${\displaystyle \det X=-|{\vec {x}}|^{2}}$, donde denota el determinante . ${\displaystyle \det }$
• ${\displaystyle X^{2}=|{\vec {x}}|^{2}I}$, donde I es la matriz identidad.
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})I}$ ^{[1] : 43}
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ}$donde Z es la matriz asociada al producto vectorial . ${\displaystyle {\vec {z}}={\vec {x}}\times {\vec {y}}}$
• Si es un vector unitario, entonces es la matriz asociada al vector que resulta de reflejar en el plano ortogonal a . ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle -UXU}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

La última propiedad se puede utilizar para simplificar las operaciones de rotación. Es un hecho elemental del álgebra lineal que cualquier rotación en el espacio tridimensional se factoriza como una composición de dos reflexiones. (De manera más general, cualquier transformación ortogonal con inversión de orientación es una reflexión o el producto de tres reflexiones). Por lo tanto, si R es una rotación que se descompone como la reflexión en el plano perpendicular a un vector unitario seguida por la reflexión en el plano perpendicular a , entonces la matriz representa la rotación del vector a través de R . ${\displaystyle {\vec {u}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}_{2}}$ ${\displaystyle U_{2}U_{1}XU_{1}U_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Habiendo codificado efectivamente toda la geometría lineal rotacional del espacio tridimensional en un conjunto de matrices complejas de 2×2, es natural preguntar qué papel, si es que tienen alguno, desempeñan las matrices de 2×1 (es decir, los vectores columna ). Provisionalmente, un espinor es un vector columna

${\displaystyle \xi =\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right],}$con entradas complejas ξ ₁ y ξ ₂ .

Evidentemente, el espacio de espinores se ve afectado por matrices complejas de 2×2. Como se muestra arriba, el producto de dos reflexiones en un par de vectores unitarios define una matriz de 2×2 cuya acción sobre vectores euclidianos es una rotación. Por lo tanto, existe una acción de rotaciones sobre espinores. Sin embargo, hay una salvedad importante: la factorización de una rotación no es única. Claramente, si es una representación de una rotación, entonces reemplazar R por − R dará como resultado la misma rotación. De hecho, se puede demostrar fácilmente que esta es la única ambigüedad que surge. Por lo tanto, la acción de una rotación sobre un espinor siempre tiene un valor doble . ${\displaystyle X\mapsto RXR^{-1}}$

Historia

Hubo algunos precursores del trabajo de Cartan con matrices complejas 2×2: Wolfgang Pauli había utilizado estas matrices tan intensivamente que los elementos de una cierta base de un subespacio de cuatro dimensiones se denominan matrices de Pauli σ _i , de modo que la matriz hermítica se escribe como un vector de Pauli ^[2] A mediados del siglo XIX, las operaciones algebraicas de esta álgebra de cuatro dimensiones complejas se estudiaron como biquaternions . ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}.}$

Michael Stone y Paul Goldbar, en Mathematics for Physics , refutan esto, diciendo: "Las representaciones de espín fueron descubiertas por 'Elie Cartan en 1913, algunos años antes de que fueran necesarias en física".

Formulación utilizando vectores isotrópicos

Los espinores se pueden construir directamente a partir de vectores isotrópicos en el espacio tridimensional sin utilizar la construcción cuaterniónica. Para justificar esta introducción de los espinores, supongamos que X es una matriz que representa un vector x en el espacio tridimensional complejo. Supongamos además que x es isotrópico: es decir,

${\displaystyle {\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} }=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0.}$

Entonces, como el determinante de X es cero, existe una proporcionalidad entre sus filas o columnas. Por lo tanto, la matriz puede escribirse como un producto externo de dos 2-vectores complejos:

${\displaystyle X=2\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}-\xi _{2}&\xi _{1}\end{matrix}}\right].}$

Esta factorización produce un sistema de ecuaciones sobredeterminado en las coordenadas del vector x :

sujeto a la restricción

Este sistema admite las soluciones

Cualquier elección de signo resuelve el sistema ( 1 ). Por lo tanto, un espinor puede verse como un vector isótropo, junto con una elección de signo. Nótese que debido a la ramificación logarítmica , es imposible elegir un signo consistentemente de modo que ( 3 ) varíe continuamente a lo largo de una rotación completa entre las coordenadas x . A pesar de esta ambigüedad de la representación de una rotación en un espinor, las rotaciones actúan inequívocamente mediante una transformación lineal fraccionaria en la relación ξ ₁ : ξ ₂ ya que una elección de signo en la solución ( 3 ) fuerza la elección del segundo signo. En particular, el espacio de espinores es una representación proyectiva del grupo ortogonal.

Como consecuencia de este punto de vista, los espinores pueden considerarse como una especie de "raíz cuadrada" de vectores isótropos. En concreto, introduciendo la matriz

${\displaystyle C=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right),}$

El sistema ( 1 ) es equivalente a resolver X = 2 ξ ^t ξ C para el espinor indeterminado ξ .

A fortiori , si ahora se invierten los papeles de ξ y x , la forma Q ( ξ ​​) = x define, para cada espinor ξ , un vector x cuadráticamente en los componentes de ξ . Si esta forma cuadrática está polarizada , determina una forma vectorial bilineal en los espinores Q ( μ , ξ ). Esta forma bilineal se transforma entonces tensorialmente bajo una reflexión o una rotación.

Realidad

Las consideraciones anteriores se aplican igualmente bien independientemente de si el espacio euclidiano original en consideración es real o complejo. Sin embargo, cuando el espacio es real, los espinores poseen alguna estructura adicional que a su vez facilita una descripción completa de la representación del grupo de rotación. Supongamos, para simplificar, que el producto interno en el espacio 3 tiene una firma definida positiva:

Con esta convención, los vectores reales corresponden a matrices hermíticas. Además, las rotaciones reales que conservan la forma ( 4 ) corresponden (en el sentido de doble valor) a matrices unitarias de determinante uno. En términos modernos, esto presenta al grupo unitario especial SU(2) como una doble cobertura de SO(3). Como consecuencia, el producto espinorial hermítico

Se conserva en todas las rotaciones y, por lo tanto, es canónico.

Sin embargo, si la signatura del producto interno en el espacio tridimensional es indefinida (es decir, no degenerada, pero tampoco definida positiva), entonces el análisis anterior debe ajustarse para reflejar esto. Supongamos entonces que la forma de longitud en el espacio tridimensional está dada por:

Luego se procede a la construcción de los espinores de los apartados anteriores, pero con sustitución en todas las fórmulas. Con esta nueva convención, la matriz asociada a un vector real es ella misma real: ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle i}$  ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-x_{2}\\x_{1}+x_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right)}$.

La forma ( 5 ) ya no es invariante bajo una rotación real (o inversión), ya que el grupo estabilizador ( 4′ ) es ahora un grupo de Lorentz O(2,1). En cambio, la forma antihermítica

${\displaystyle \langle \mu |\xi \rangle ={\bar {\mu }}_{1}\xi _{2}-{\bar {\mu }}_{2}\xi _{1}}$

define la noción apropiada de producto interno para espinores en esta signatura métrica. Esta forma es invariante bajo transformaciones en el componente conexo de la identidad de O(2,1).

En cualquier caso, la forma cuártica

${\displaystyle \langle \mu |\xi \rangle ^{2}={\hbox{length}}\left(Q({\bar {\mu }},\xi )\right)^{2}}$

es completamente invariante bajo O(3) (o O(2,1), respectivamente), donde Q es la forma bilineal con valores vectoriales descrita en la sección anterior. El hecho de que se trate de un invariante cuártico, en lugar de cuadrático, tiene una consecuencia importante. Si se limita la atención al grupo de transformaciones ortogonales especiales, entonces es posible tomar inequívocamente la raíz cuadrada de esta forma y obtener una identificación de espinores con sus duales. En el lenguaje de la teoría de la representación, esto implica que solo hay una representación de espín irreducible de SO(3) (o SO(2,1)) hasta el isomorfismo. Sin embargo, si también se permiten inversiones (por ejemplo, reflexiones en un plano), entonces ya no es posible identificar espinores con sus duales debido a un cambio de signo en la aplicación de una reflexión. Por lo tanto, hay dos representaciones de espín irreducibles de O(3) (o O(2,1)), a veces llamadas representaciones pin .

Estructuras de la realidad

Las diferencias entre estas dos firmas pueden codificarse mediante la noción de una estructura de realidad en el espacio de espinores. De manera informal, se trata de una prescripción para tomar un conjugado complejo de un espinor, pero de tal manera que éste puede no corresponder al conjugado habitual según los componentes de un espinor. Específicamente, una estructura de realidad se especifica mediante una matriz hermítica 2 × 2 K cuyo producto consigo misma es la matriz identidad: K ² = Id . El conjugado de un espinor con respecto a una estructura de realidad K se define mediante

${\displaystyle \xi ^{*}=K{\bar {\xi }}.}$

La forma particular del producto interno sobre vectores (por ejemplo, ( 4 ) o ( 4′ )) determina una estructura de realidad (hasta un factor de -1) al requerir

${\displaystyle {\bar {X}}=KXK\,}$, siempre que X sea una matriz asociada a un vector real.

Por lo tanto, K = i C es la estructura de la realidad en la signatura euclidiana ( 4 ), y K = Id es la de la signatura ( 4′ ). Con una estructura de la realidad en la mano, se tienen los siguientes resultados:

• X es la matriz asociada a un vector real si, y sólo si, $${\displaystyle {\bar {X}}=KXK\,.}$$
• Si μ y ξ son un espinor, entonces el producto interno determina una forma hermítica que es invariante bajo transformaciones ortogonales adecuadas. $${\displaystyle \langle \mu |\xi \rangle =i\,^{t}\mu ^{*}C\xi }$$

Ejemplos en física

Espinores de las matrices de espín de Pauli

A menudo, el primer ejemplo de espinores con el que se topa un estudiante de física son los espinores 2×1 utilizados en la teoría de Pauli sobre el espín del electrón. Las matrices de Pauli son un vector de tres matrices 2×2 que se utilizan como operadores de espín .

Dado un vector unitario en 3 dimensiones, por ejemplo ( a , b , c ), se toma un producto escalar con las matrices de espín de Pauli para obtener una matriz de espín para el espín en la dirección del vector unitario.

Los vectores propios de esa matriz de espín son los espinores para espín-1/2 orientados en la dirección dada por el vector.

Ejemplo: u = (0,8, -0,6, 0) es un vector unitario. Si sumamos los puntos de las matrices de espín de Pauli obtenemos la matriz:

${\displaystyle S_{u}=(0.8,-0.6,0.0)\cdot {\vec {\sigma }}=0.8\sigma _{1}-0.6\sigma _{2}+0.0\sigma _{3}={\begin{bmatrix}0.0&0.8+0.6i\\0.8-0.6i&0.0\end{bmatrix}}}$

Los vectores propios se pueden encontrar mediante los métodos habituales del álgebra lineal , pero un truco conveniente es tener en cuenta que una matriz de espín de Pauli es una matriz involutiva , es decir, el cuadrado de la matriz anterior es la matriz identidad .

Por lo tanto, una solución (matriz) para el problema del vector propio con valores propios de ±1 es simplemente 1 ± S _u . Es decir,

${\displaystyle S_{u}(1\pm S_{u})=\pm 1(1\pm S_{u})}$

Se puede elegir entonces cualquiera de las columnas de la matriz de vectores propios como solución vectorial, siempre que la columna elegida no sea cero. Tomando la primera columna de lo anterior, las soluciones de vectores propios para los dos valores propios son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1.0+(0.0)\\0.0+(0.8-0.6i)\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1.0-(0.0)\\0.0-(0.8-0.6i)\end{bmatrix}}}$

El truco utilizado para encontrar los vectores propios está relacionado con el concepto de ideales , es decir, los vectores propios de la matriz (1 ± S _u )/2 son operadores de proyección o idempotentes y, por lo tanto, cada uno genera un ideal en el álgebra de Pauli. El mismo truco funciona en cualquier álgebra de Clifford , en particular el álgebra de Dirac que se analiza a continuación. Estos operadores de proyección también se ven en la teoría de matrices de densidad , donde son ejemplos de matrices de densidad puras.

De manera más general, el operador de proyección para el giro en la dirección ( a , b , c ) está dado por

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib\\a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

y cualquier columna distinta de cero puede tomarse como operador de proyección. Aunque las dos columnas parecen diferentes, se puede utilizar a ² + b ² + c ² = 1 para demostrar que son múltiplos (posiblemente cero) del mismo espinor.

Observaciones generales

En física atómica y mecánica cuántica , la propiedad del espín juega un papel importante. Además de sus otras propiedades, todas las partículas poseen una propiedad no clásica, es decir, que no tiene correspondencia alguna en la física convencional, a saber, el espín , que es una especie de momento angular intrínseco . En la representación de posición, en lugar de una función de onda sin espín, ψ = ψ ( r ), se tiene con espín: ψ = ψ ( r , σ ), donde σ toma el siguiente conjunto discreto de valores:

${\displaystyle \sigma =-S\cdot \hbar ,-(S-1)\cdot \hbar ,...,+(S-1)\cdot \hbar ,+S\cdot \hbar }$.

El operador de momento angular total , , de una partícula corresponde a la suma del momento angular orbital (es decir, solo se permiten números enteros) y la parte intrínseca , el espín . Se distinguen bosones (S = 0, ±1, ±2, ...) y fermiones (S = ±1/2, ±3/2, ±5/2, ...). ${\displaystyle {\vec {\mathbb {J} }}}$

Véase también

• Esfera de Bloch
• Ecuación de Pauli

Referencias

1. Cartan, Élie (1981) [1938], La teoría de los espinores, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-64070-9, Sr.  0631850
2. El vector de Pauli es un recurso formal. Puede considerarse como un elemento de , donde el espacio del producto tensorial está dotado de una función . ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} \to M_{2}(\mathbb {C} )}$