Élie Joseph Cartan ForMemRS ( en francés: [kaʁtɑ̃] ; 9 de abril de 1869 - 6 de mayo de 1951) fue un influyente matemático francés que realizó un trabajo fundamental en la teoría de grupos de Lie , sistemas diferenciales (formulación geométrica libre de coordenadas de ecuaciones en derivadas parciales ) y geometría diferencial . También realizó contribuciones significativas a la relatividad general e indirectamente a la mecánica cuántica . [1] [2] [3] Es ampliamente considerado como uno de los matemáticos más grandes del siglo XX. [3]
Su hijo Henri Cartan fue un matemático influyente que trabajó en topología algebraica .
Élie Cartan nació el 9 de abril de 1869 en el pueblo de Dolomieu, Isère, hijo de Joseph Cartan (1837-1917) y Anne Cottaz (1841-1927). Joseph Cartan era el herrero del pueblo; Élie Cartan recuerda que su infancia había transcurrido bajo "golpes de yunque, que empezaban cada mañana desde el amanecer", y que "su madre, durante los raros minutos en que estaba libre de ocuparse de los niños y de la casa, trabajaba con una rueca". Élie tenía una hermana mayor, Jeanne-Marie (1867-1931), que se hizo modista; un hermano menor, Léon (1872-1956), que se hizo herrero trabajando en la herrería de su padre; y una hermana menor, Anna Cartan (1878-1923), quien, en parte bajo la influencia de Élie, ingresó a la École Normale Supérieure (como lo había hecho antes Élie) y eligió una carrera como profesora de matemáticas en un lycée (escuela secundaria).
Élie Cartan entró en una escuela primaria en Dolomieu y fue el mejor estudiante de la escuela. Uno de sus maestros, M. Dupuis, recordó "Élie Cartan era un estudiante tímido, pero una luz inusual de gran intelecto brillaba en sus ojos, y esto se combinaba con una excelente memoria". Antonin Dubost , entonces representante de Isère , visitó la escuela y quedó impresionado por las habilidades inusuales de Cartan. Recomendó a Cartan participar en un concurso para una beca en un liceo . Cartan se preparó para el concurso bajo la supervisión de M. Dupuis y aprobó a la edad de diez años. Pasó cinco años (1880-1885) en el Colegio de Vienne y luego dos años (1885-1887) en el Liceo de Grenoble. En 1887 se trasladó al Liceo Janson de Sailly en París para estudiar ciencias durante dos años; Allí conoció y se hizo amigo de su compañero de clase Jean-Baptiste Perrin (1870-1942), quien más tarde se convertiría en un famoso físico en Francia.
Cartan se matriculó en la Escuela Normal Superior en 1888, donde asistió a las conferencias de Charles Hermite (1822-1901), Jules Tannery (1848-1910), Gaston Darboux (1842-1917), Paul Appell (1855-1930), Émile Picard (1856-1941), Édouard Goursat (1858-1936) y Henri Poincaré (1854-1912), cuyas conferencias eran las que Cartan apreciaba más.
Después de graduarse en la École Normale Supérieure en 1891, Cartan fue reclutado en el ejército francés, donde sirvió durante un año y alcanzó el rango de sargento. Durante los dos años siguientes (1892-1894), Cartan regresó a la ENS y, siguiendo el consejo de su compañero de clase Arthur Tresse (1868-1958), que estudió con Sophus Lie en los años 1888-1889, trabajó en el tema de la clasificación de grupos de Lie simples , que fue iniciado por Wilhelm Killing . En 1892, Lie llegó a París, por invitación de Darboux y Tannery, y conoció a Cartan por primera vez.
Cartan defendió su tesis doctoral, La estructura de los grupos finitos continuos de transformaciones , en 1894 en la Facultad de Ciencias de la Sorbona. Entre 1894 y 1896, Cartan fue profesor en la Universidad de Montpellier ; entre 1896 y 1903, fue profesor en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Lyon .
En 1903, mientras estaba en Lyon, Cartan se casó con Marie-Louise Bianconi (1880-1950); en el mismo año, Cartan se convirtió en profesor en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Nancy . En 1904, nació el primer hijo de Cartan, Henri Cartan , quien más tarde se convirtió en un matemático influyente; en 1906, nació otro hijo, Jean Cartan, quien se convirtió en compositor. En 1909 Cartan trasladó a su familia a París y trabajó como profesor en la Facultad de Ciencias de la Sorbona. En 1912 Cartan se convirtió en profesor allí, basándose en la referencia que recibió de Poincaré. Permaneció en la Sorbona hasta su jubilación en 1940 y pasó los últimos años de su vida enseñando matemáticas en la Escuela Normal Superior para niñas.
Como estudiante de Cartan, el geómetra Shiing-Shen Chern escribió: [4]
Por lo general, al día siguiente [de mi encuentro con Cartan] recibía una carta suya. Decía: “Después de que te fuiste, pensé más en tus preguntas…”. Tenía algunos resultados, y algunas preguntas más, y así sucesivamente. Se sabía de memoria todos esos artículos sobre grupos de Lie simples, álgebras de Lie . Cuando lo veías en la calle, cuando surgía un determinado tema, sacaba un sobre viejo y escribía algo y te daba la respuesta. Y a veces me llevaba horas o incluso días obtener la misma respuesta... Tuve que trabajar muy duro.
En 1921 se convirtió en miembro extranjero de la Academia Polaca de Aprendizaje y en 1937 en miembro extranjero de la Real Academia Holandesa de Artes y Ciencias . [5] En 1938 participó en el Comité Internacional compuesto para organizar los Congresos Internacionales para la Unidad de la Ciencia. [6]
Murió en 1951 en París tras una larga enfermedad.
En 1976, un cráter lunar recibió su nombre. Antes, se lo denominaba Apollonius D.
En los Trabajos , Cartan divide su obra en 15 áreas. Utilizando la terminología moderna, son:
El trabajo matemático de Cartan puede describirse como el desarrollo del análisis de variedades diferenciables , que muchos consideran ahora la parte central y más vital de las matemáticas modernas y que él fue el principal impulsor y creador de este campo. Este campo se centra en los grupos de Lie, los sistemas diferenciales parciales y la geometría diferencial; estos, principalmente gracias a las contribuciones de Cartan, están ahora estrechamente entrelazados y constituyen una herramienta unificada y poderosa.
Cartan estuvo prácticamente solo en el campo de los grupos de Lie durante los treinta años posteriores a su tesis. Lie había considerado estos grupos principalmente como sistemas de transformaciones analíticas de una variedad analítica , que dependen analíticamente de un número finito de parámetros. Un enfoque muy fructífero para el estudio de estos grupos se abrió en 1888 cuando Wilhelm Killing comenzó a estudiar sistemáticamente el grupo en sí mismo, independientemente de sus posibles acciones sobre otras variedades . En ese momento (y hasta 1920) solo se consideraban propiedades locales, por lo que el principal objeto de estudio para Killing fue el álgebra de Lie del grupo, que refleja exactamente las propiedades locales en términos puramente algebraicos . El gran logro de Killing fue la determinación de todas las álgebras de Lie complejas simples ; Sus demostraciones , sin embargo, eran a menudo defectuosas, y la tesis de Cartan se dedicó principalmente a dar una fundamentación rigurosa a la teoría local y a demostrar la existencia de las álgebras de Lie excepcionales pertenecientes a cada uno de los tipos de álgebras de Lie complejas simples que Killing había demostrado que eran posibles. Más tarde Cartan completó la teoría local resolviendo explícitamente dos problemas fundamentales, para los que tuvo que desarrollar métodos enteramente nuevos: la clasificación de las álgebras de Lie reales simples y la determinación de todas las representaciones lineales irreducibles de las álgebras de Lie simples, mediante la noción de peso de una representación, que introdujo para tal fin. Fue en el proceso de determinación de las representaciones lineales de los grupos ortogonales que Cartan descubrió en 1913 los espinores, que más tarde desempeñaron un papel tan importante en la mecánica cuántica.
Después de 1925, Cartan se interesó cada vez más por las cuestiones topológicas . Inspirado por los brillantes resultados de Weyl sobre los grupos compactos, desarrolló nuevos métodos para el estudio de las propiedades globales de los grupos de Lie; en particular, demostró que topológicamente un grupo de Lie conexo es un producto de un espacio euclidiano y un grupo compacto, y para los grupos de Lie compactos descubrió que los posibles grupos fundamentales de la variedad subyacente pueden leerse a partir de la estructura del álgebra de Lie del grupo. Finalmente, esbozó un método para determinar los números de Betti de los grupos de Lie compactos, reduciendo nuevamente el problema a una cuestión algebraica sobre sus álgebras de Lie, que desde entonces ha sido completamente resuelta.
Después de resolver el problema de la estructura de los grupos de Lie que Cartan (siguiendo a Lie) llamó "grupos finitos continuos" (o "grupos finitos de transformación"), Cartan planteó el problema similar para los "grupos infinitos continuos", que ahora se llaman pseudogrupos de Lie , un análogo de dimensión infinita de los grupos de Lie (hay otras generalizaciones infinitas de los grupos de Lie). El pseudogrupo de Lie considerado por Cartan es un conjunto de transformaciones entre subconjuntos de un espacio que contiene la transformación idéntica y posee la propiedad de que el resultado de la composición de dos transformaciones en este conjunto (siempre que esto sea posible) pertenece al mismo conjunto. Dado que la composición de dos transformaciones no siempre es posible, el conjunto de transformaciones no es un grupo (sino un grupoide en la terminología moderna), de ahí el nombre de pseudogrupo. Cartan consideró solo aquellas transformaciones de variedades para las que no hay subdivisión de variedades en las clases transpuestas por las transformaciones en consideración. Tales pseudogrupos de transformaciones se denominan primitivos. Cartan demostró que todo pseudogrupo primitivo de dimensión infinita de transformaciones analíticas complejas pertenece a una de las seis clases: 1) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de n variables complejas; 2) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de n variables complejas con un jacobiano constante (es decir, transformaciones que multiplican todos los volúmenes por el mismo número complejo); 3) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de n variables complejas cuyo jacobiano es igual a uno (es decir, transformaciones que preservan los volúmenes); 4) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de 2 n > 4 variables complejas que preservan una cierta integral doble (el pseudogrupo simpléctico); 5) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de 2 n > 4 variables complejas que multiplican la integral doble mencionada anteriormente por una función compleja; 6) el pseudogrupo de todas las transformaciones analíticas de 2 n + 1 variables complejas que multiplican una cierta forma por una función compleja (el pseudogrupo de contacto). Existen clases similares de pseudogrupos para pseudogrupos primitivos de transformaciones reales definidas por funciones analíticas de variables reales.
Los métodos de Cartan en la teoría de sistemas diferenciales son quizás su logro más importante. Rompiendo con la tradición, trató desde el principio de formular y resolver los problemas de una manera completamente invariante, independientemente de cualquier elección particular de variables y funciones desconocidas. De este modo fue capaz por primera vez de dar una definición precisa de lo que es una solución "general" de un sistema diferencial arbitrario. Su siguiente paso fue tratar de determinar también todas las soluciones "singulares", mediante un método de "prolongación" que consiste en añadir nuevas incógnitas y nuevas ecuaciones al sistema dado de tal manera que cualquier solución singular del sistema original se convierta en una solución general del nuevo sistema. Aunque Cartan demostró que en cada ejemplo que trató su método condujo a la determinación completa de todas las soluciones singulares, no logró demostrar en general que esto siempre sería así para un sistema arbitrario; tal prueba fue obtenida en 1955 por Masatake Kuranishi .
La herramienta principal de Cartan fue el cálculo de formas diferenciales exteriores , que ayudó a crear y desarrollar en los diez años posteriores a su tesis y que luego procedió a aplicar a una variedad de problemas de geometría diferencial, grupos de Lie, dinámica analítica y relatividad general. Analizó una gran cantidad de ejemplos, tratándolos en un estilo extremadamente elíptico que solo fue posible gracias a su asombrosa visión algebraica y geométrica.
Las contribuciones de Cartan a la geometría diferencial no son menos impresionantes, y puede decirse que revitalizó toda la materia, pues el trabajo inicial de Riemann y Darboux se estaba perdiendo en cálculos aburridos y resultados menores, tal como había sucedido con la geometría elemental y la teoría de invariantes una generación antes. Su principio rector fue una extensión considerable del método de "marcos móviles" de Darboux y Ribaucour, al que le dio una tremenda flexibilidad y poder, mucho más allá de todo lo que se había hecho en la geometría diferencial clásica. En términos modernos, el método consiste en asociar a un fibrado E el fibrado principal que tiene la misma base y que tiene en cada punto de la base una fibra igual al grupo que actúa sobre la fibra de E en el mismo punto. Si E es el fibrado tangente sobre la base (que desde Lie se conocía esencialmente como la variedad de "elementos de contacto"), el grupo correspondiente es el grupo lineal general (o el grupo ortogonal en la geometría clásica euclidiana o riemanniana). La capacidad de Cartan para manejar muchos otros tipos de fibras y grupos permite atribuirle la primera idea general de un haz de fibras, aunque nunca lo definió explícitamente. Este concepto se ha convertido en uno de los más importantes en todos los campos de las matemáticas modernas, principalmente en la geometría diferencial global y en la topología algebraica y diferencial . Cartan lo utilizó para formular su definición de conexión, que ahora se utiliza universalmente y ha reemplazado los intentos previos de varios geómetras, realizados después de 1917, de encontrar un tipo de "geometría" más general que el modelo de Riemann y tal vez mejor adaptada a una descripción del universo en los términos de la relatividad general.
Cartan demostró cómo utilizar su concepto de conexión para obtener una presentación mucho más elegante y sencilla de la geometría de Riemann. Sin embargo, su principal contribución a esta última fue el descubrimiento y estudio de los espacios simétricos de Riemann, uno de los pocos casos en que el iniciador de una teoría matemática fue también quien la completó. Los espacios simétricos de Riemann pueden definirse de varias maneras, la más simple de las cuales postula la existencia alrededor de cada punto del espacio de una "simetría" que es involutiva , deja el punto fijo y conserva las distancias. El hecho inesperado descubierto por Cartan es que es posible dar una descripción completa de estos espacios por medio de la clasificación de los grupos de Lie simples; por lo tanto, no debería sorprender que en varias áreas de las matemáticas, como las funciones automorfas y la teoría analítica de números (aparentemente muy alejadas de la geometría diferencial), estos espacios estén desempeñando un papel que está adquiriendo cada vez mayor importancia.
Cartan creó una teoría competidora de la gravedad, también llamada la teoría de Einstein-Cartan .
Los documentos de Cartan se han recopilado en sus Oeuvres complètes, 6 vols. (París, 1952-1955). Dos excelentes notas necrológicas son las de SS Chern y C. Chevalley, en Bulletin of the American Mathematical Society, 58 (1952); y JHC Whitehead, en Obituary Notices of the Royal Society (1952).
Medios relacionados con Élie Cartan en Wikimedia CommonsTraducciones al inglés de algunos de sus libros y artículos:
