Transformación fraccionaria lineal

Transformación de Möbius generalizada a anillos distintos de los números complejos

En matemáticas , una transformación fraccionaria lineal es, en términos generales, una transformación invertible de la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

La definición precisa depende de la naturaleza de a , b , c , d y z . En otras palabras, una transformación fraccionaria lineal es una transformación que está representada por una fracción cuyo numerador y denominador son lineales .

En el contexto más básico, a , b , c , d y z son números complejos (en cuyo caso la transformación también se denomina transformación de Möbius ), o, de manera más general, elementos de un cuerpo . La condición de invertibilidad es entonces ad – bc ≠ 0 . Sobre un cuerpo, una transformación fraccionaria lineal es la restricción al cuerpo de una transformación proyectiva u homografía de la línea proyectiva .

Cuando a , b , c , d son números enteros (o, más generalmente, pertenecen a un dominio integral ), se supone que z es un número racional (o pertenece al campo de fracciones del dominio integral). En este caso, la condición de invertibilidad es que ad – bc debe ser una unidad del dominio (es decir, 1 o −1 en el caso de los números enteros). ^[1]

En el contexto más general, a , b , c , d y z son elementos de un anillo , como las matrices cuadradas . Un ejemplo de dicha transformación fraccionaria lineal es la transformada de Cayley , que se definió originalmente en el anillo de matrices reales de 3 × 3 .

Las transformaciones fraccionarias lineales son ampliamente utilizadas en diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones a la ingeniería, como la geometría clásica , la teoría de números (se utilizan, por ejemplo, en la prueba de Wiles del Último Teorema de Fermat ), la teoría de grupos , la teoría de control .

Definición general

En general, una transformación fraccionaria lineal es una homografía de P( A ) , la línea proyectiva sobre un anillo A . Cuando A es un anillo conmutativo , entonces una transformación fraccionaria lineal tiene la forma familiar

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

donde a , b , c , d son elementos de A tales que ad – bc es una unidad de A (es decir, ad – bc tiene un inverso multiplicativo en A )

En un anillo no conmutativo A , con ( z , t ) en A ² , las unidades u determinan una relación de equivalencia Una clase de equivalencia en la recta proyectiva sobre A se escribe U [ z  : t ] , donde los corchetes denotan coordenadas proyectivas . Entonces las transformaciones fraccionarias lineales actúan a la derecha de un elemento de P( A ) : ${\displaystyle (z,t)\sim (uz,ut).}$

${\displaystyle U[z:t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb:\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1}(za+tb):\ 1].}$

El anillo está incrustado en su línea proyectiva por z → U [ z  : 1] , por lo que t = 1 recupera la expresión habitual. Esta transformación fraccionaria lineal está bien definida ya que U [ za + tb : zc + td ] no depende de qué elemento se seleccione de su clase de equivalencia para la operación.

Las transformaciones fraccionarias lineales sobre A forman un grupo , el grupo lineal proyectivo denotado ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(A).}$

El grupo de las transformaciones fraccionarias lineales se denomina grupo modular . Ha sido ampliamente estudiado debido a sus numerosas aplicaciones a la teoría de números , que incluyen, en particular, la demostración del último teorema de Fermat de Wiles . ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Uso en geometría hiperbólica

En el plano complejo, un círculo generalizado es una línea o un círculo. Cuando se completa con el punto en el infinito, los círculos generalizados en el plano corresponden a círculos en la superficie de la esfera de Riemann , una expresión de la línea proyectiva compleja. Las transformaciones fraccionarias lineales permutan estos círculos en la esfera y los puntos finitos correspondientes de los círculos generalizados en el plano complejo.

Para construir modelos del plano hiperbólico se utilizan el disco unitario y el semiplano superior para representar los puntos. A estos subconjuntos del plano complejo se les proporciona una métrica con la métrica de Cayley-Klein . Luego se calcula la distancia entre dos puntos utilizando el círculo generalizado que pasa por los puntos y es perpendicular al límite del subconjunto utilizado para el modelo. Este círculo generalizado interseca el límite en otros dos puntos. Los cuatro puntos se utilizan en la razón cruzada que define la métrica de Cayley-Klein. Las transformaciones fraccionarias lineales dejan la razón cruzada invariante, por lo que cualquier transformación fraccionaria lineal que deje estables el disco unitario o los semiplanos superiores es una isometría del espacio métrico del plano hiperbólico . Desde que Henri Poincaré explicó estos modelos, se les ha dado su nombre: modelo del disco de Poincaré y modelo del semiplano de Poincaré . Cada modelo tiene un grupo de isometrías que es un subgrupo del grupo de Möbius : el grupo de isometría para el modelo de disco es SU(1, 1) donde las transformaciones fraccionarias lineales son "unitarias especiales", y para el semiplano superior el grupo de isometría es PSL(2, R ) , un grupo lineal proyectivo de transformaciones fraccionarias lineales con entradas reales y determinante igual a uno. ^[2]

Uso en matemáticas superiores

Las transformaciones de Möbius aparecen comúnmente en la teoría de fracciones continuas y en la teoría analítica de números de curvas elípticas y formas modulares , ya que describen automorfismos del semiplano superior bajo la acción del grupo modular . También proporcionan un ejemplo canónico de fibración de Hopf , donde el flujo geodésico inducido por la transformación fraccionaria lineal descompone el espacio proyectivo complejo en variedades estables e inestables , con los horociclos que aparecen perpendiculares a las geodésicas. Véase el flujo de Anosov para un ejemplo trabajado de la fibración: en este ejemplo, las geodésicas están dadas por la transformada lineal fraccionaria.

${\displaystyle (i\exp(t),\ 1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ (ai\exp(t)+b,\ ci\exp(t)+d)\thicksim ({\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}},\ 1)}$

con números reales a , b , c y d , con ad − bc = 1. En términos generales, la variedad central se genera mediante las transformaciones parabólicas , la variedad inestable mediante las transformaciones hiperbólicas y la variedad estable mediante las transformaciones elípticas.

Uso en teoría de control

Las transformaciones fraccionarias lineales se utilizan ampliamente en la teoría de control para resolver problemas de relación planta-controlador en ingeniería mecánica y eléctrica . ^{[3] [4]} El procedimiento general de combinar transformaciones fraccionarias lineales con el producto estrella de Redheffer permite aplicarlas a la teoría de dispersión de ecuaciones diferenciales generales, incluido el enfoque de matriz S en mecánica cuántica y teoría cuántica de campos, la dispersión de ondas acústicas en medios (por ejemplo, termoclinas y submarinos en océanos, etc.) y el análisis general de dispersión y estados ligados en ecuaciones diferenciales. Aquí, los componentes de la matriz 3 × 3 se refieren a los estados entrantes, ligados y salientes. Quizás la aplicación de ejemplo más simple de transformaciones fraccionarias lineales ocurre en el análisis del oscilador armónico amortiguado . Otra aplicación elemental es la obtención de la forma normal de Frobenius , es decir, la matriz compañera de un polinomio.

Propiedad conforme

Los anillos conmutativos de los números complejos divididos y de los números duales se unen a los números complejos ordinarios como anillos que expresan ángulo y "rotación". En cada caso, la función exponencial aplicada al eje imaginario produce un isomorfismo entre los grupos de un parámetro en ( A , + ) y en el grupo de unidades ( U , × ) : ^[5]

${\displaystyle \exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,}$

${\displaystyle \exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$

${\displaystyle \exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.}$

El "ángulo" y es un ángulo hiperbólico , una pendiente o un ángulo circular según el anillo anfitrión.

Las transformaciones fraccionarias lineales se muestran como mapas conformes considerando sus generadores : inversión multiplicativa z → 1/ z y transformaciones afines z → az + b . La conformidad se puede confirmar mostrando que todos los generadores son conformes. La traslación z → z + b es un cambio de origen y no hace ninguna diferencia en el ángulo. Para ver que z → az es conforme, considere la descomposición polar de a y z . En cada caso, el ángulo de a se suma al de z, lo que da como resultado un mapa conforme. Finalmente, la inversión es conforme ya que z → 1/ z envía ${\displaystyle \exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.}$

Véase también

• Transformaciones de Laguerre
• Programación lineal-fraccional
• Métodos de H-infinito en la teoría de control

Referencias

1. NJ Young (1984) "Transformaciones fraccionarias lineales en anillos y módulos", Álgebra lineal y sus aplicaciones 56:251–90
2. CL Siegel (A. Shenitzer y M. Tretkoff, traductores) (1971) Temas de teoría de funciones complejas , volumen 2, Wiley-Interscience ISBN  0-471-79080 X
3. John Doyle, Andy Packard, Kemin Zhou, "Revisión de LFT, LMI y mu", (1991) Actas de la 30.ª Conferencia sobre Decisión y Control [1]
4. Juan C. Cockburn, "Realizaciones multidimensionales de sistemas con incertidumbre paramétrica" ​​[2]
5. Kisil, Vladimir V. (2012). Geometría de las transformaciones de Möbius. Acciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas de SL(2,R) . Londres: Imperial College Press. p. xiv+192. doi :10.1142/p835. ISBN 978-1-84816-858-9.Sr. 2977041  .

• BA Dubrovin, AT Fomenko, SP Novikov (1984) Geometría moderna: métodos y aplicaciones , volumen 1, capítulo 2, §15 Transformaciones conformes de espacios euclidianos y pseudoeuclidianos de varias dimensiones, Springer-Verlag ISBN 0-387-90872-2 . 
• Geoffry Fox (1949) Teoría elemental de una variable hipercompleja y teoría de la aplicación conforme en el plano hiperbólico , Tesis de maestría, Universidad de Columbia Británica .
• PG Gormley (1947) "Proyección estereográfica y el grupo fraccionario lineal de transformaciones de cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa , Sección A 51:67–85.
• AE Motter y MAF Rosa (1998) "Cálculo hiperbólico", Advances in Applied Clifford Algebras 8(1):109 a 28, §4 Transformaciones conformes, página 119.
• Tsurusaburo Takasu (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2, Actas de la Academia Imperial 17(8): 330–8, enlace del Proyecto Euclid , MR 14282
• Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , páginas 130 y 157, Academic Press