Transformaciones de Laguerre

Las transformaciones de Laguerre u homografías axiales son un análogo de las transformaciones de Möbius sobre los números duales . ^{[1] [2] [3] [4]} Al estudiar estas transformaciones, los números duales a menudo se interpretan como la representación de líneas orientadas en el plano. ^[1] Las transformaciones de Laguerre asignan líneas a líneas e incluyen en particular todas las isometrías del plano .

En sentido estricto, estas transformaciones actúan sobre la línea proyectiva de los números duales , que une a los números duales un conjunto de puntos en el infinito. Topológicamente, esta línea proyectiva es equivalente a un cilindro. Los puntos de este cilindro están en una correspondencia biunívoca natural con las líneas orientadas en el plano.

Definición

Una transformación de Laguerre es una transformación fraccionaria lineal donde todos los números son duales, se encuentra en la línea proyectiva de números duales y no es un divisor de cero . ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ad-bc}$

Un número dual es un número hipercomplejo de la forma donde pero . Esto se puede comparar con los números complejos que son de la forma donde . ${\displaystyle x+y\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$ ${\displaystyle x+yi}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Los puntos de la línea proyectiva de números duales se pueden definir de forma equivalente de dos maneras:

1. El conjunto habitual de números duales, pero con algunos "puntos en el infinito" adicionales. Formalmente, el conjunto es . Los puntos en el infinito se pueden expresar como donde es un número real arbitrario. Diferentes valores de corresponden a diferentes puntos en el infinito. Estos puntos son infinitos porque a menudo se entiende como un número infinitesimal y, por lo tanto, es infinito. ${\displaystyle \{x+y\varepsilon \mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}\cup \left\{{\frac {1}{x\varepsilon }}\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x\varepsilon }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 1/\varepsilon }$
2. Las coordenadas homogéneas [ x  : y ] con números duales x e y tales que el ideal que generan es el anillo completo de números duales. El anillo se ve a través de la inyección x ↦ [ x  : 1]. La línea proyectiva incluye los puntos [1 : yε ].

Coordenadas de línea

Una línea que forma un ángulo con el eje x, y cuya intersección con el eje x se denota , se representa mediante el número dual ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle z=\tan(\theta /2)(1+\varepsilon s).}$

Lo anterior no tiene sentido cuando la línea es paralela al eje x. En ese caso, si entonces establece donde es la intersección con y de la línea. Esto puede no parecer válido, ya que uno está dividiendo por un divisor de cero, pero este es un punto válido en la línea dual proyectiva. Si entonces establece . ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle z={\frac {-2}{\varepsilon R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\varepsilon R}$

Por último, observe que estas coordenadas representan líneas orientadas . Una línea orientada es una línea ordinaria con una de dos posibles orientaciones asociadas a ella. Esto se puede ver por el hecho de que si se incrementa en entonces el representante del número dual resultante no es el mismo. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$

Representaciones matriciales

Es posible expresar las coordenadas de la línea anterior como coordenadas homogéneas donde es la distancia perpendicular de la línea desde el origen. Esta representación tiene numerosas ventajas: una ventaja es que no hay necesidad de dividir en diferentes casos, como paralelo al eje y no paralelo. La otra ventaja es que estas coordenadas homogéneas se pueden interpretar como vectores , lo que nos permite multiplicarlas por matrices. ${\displaystyle z=\left[\sin \left({\frac {\theta +\varepsilon R}{2}}\right):\cos \left({\frac {\theta +\varepsilon R}{2}}\right)\right]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$

Toda transformación de Laguerre se puede representar como una matriz 2×2 cuyas entradas son números duales. La representación matricial de es (pero observe que cualquier múltiplo escalar no nilpotente de esta matriz representa la misma transformación de Laguerre). Además, siempre que el determinante de una matriz 2×2 con entradas de números duales no sea nilpotente , entonces representa una transformación de Laguerre. ${\displaystyle z\mapsto {\frac {pz+q}{rz+s}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}$

(Tenga en cuenta que en lo anterior, representamos el vector homogéneo como un vector columna de la manera obvia, en lugar de como un vector fila). ${\displaystyle [z:w]}$

Puntos, líneas orientadas y círculos orientados

Las transformaciones de Laguerre no actúan sobre puntos. Esto se debe a que si tres líneas orientadas pasan por el mismo punto, sus imágenes bajo una transformación de Laguerre no tienen por qué encontrarse en un punto.

Las transformaciones de Laguerre pueden verse actuando sobre líneas orientadas así como sobre círculos orientados. Un círculo orientado es un círculo ordinario con una orientación representada por un valor binario asociado a él, que es o . La única excepción es un círculo de radio cero, que tiene una orientación igual a . Un punto se define como un círculo orientado de radio cero. Si un círculo orientado tiene una orientación igual a , entonces se dice que el círculo está orientado " en sentido contrario a las agujas del reloj "; si tiene una orientación igual a entonces está orientado " en el sentido de las agujas del reloj ". El radio de un círculo orientado se define como el radio del círculo no orientado subyacente multiplicado por la orientación. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle r}$

La imagen de un círculo orientado bajo una transformación de Laguerre es otro círculo orientado. Si dos figuras orientadas (ya sean círculos o líneas) son tangentes entre sí, sus imágenes bajo una transformación de Laguerre también son tangentes. Dos círculos orientados se definen como tangentes si sus círculos subyacentes son tangentes y sus orientaciones son iguales en el punto de contacto. La tangencia entre líneas y círculos se define de manera similar. Una transformación de Laguerre podría asignar un punto a un círculo orientado que ya no es un punto.

Un círculo orientado nunca puede mapearse a una línea orientada. De la misma manera, una línea orientada nunca puede mapearse a un círculo orientado. Esto es opuesto a la geometría de Möbius , donde las líneas y los círculos pueden mapearse entre sí, pero ninguno puede mapearse a puntos. Tanto la geometría de Möbius como la geometría de Laguerre son subgeometrías de la geometría de esfera de Lie , donde los puntos y las líneas orientadas pueden mapearse entre sí, pero la tangencia permanece preservada.

Las representaciones matriciales de círculos orientados (que incluyen puntos pero no líneas) son precisamente las matrices duales antihermíticas invertibles. Todas ellas tienen la forma (donde todas las variables son reales y ). El conjunto de líneas orientadas tangentes a un círculo orientado viene dado por donde denota la línea proyectiva sobre los números duales . Al aplicar una transformación de Laguerre representada por al círculo orientado representado por se obtiene el círculo orientado representado por . El radio de un círculo orientado es igual a la mitad de la traza . La orientación es entonces el signo de la traza. ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle H={\begin{pmatrix}\varepsilon a&b+c\varepsilon \\-b+c\varepsilon &\varepsilon d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle \{v\in \mathbb {DP} ^{1}\mid v^{*}Hv=0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {DP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M^{-1})^{*}HM^{-1}}$

Perfil

Figura 1: Dos círculos inicialmente con orientaciones opuestas que experimentan dilatación axial.

Tenga en cuenta que las figuras animadas a continuación muestran algunas líneas orientadas, pero sin ninguna indicación visual de la orientación de una línea (por lo que dos líneas que difieren solo en la orientación se muestran de la misma manera); los círculos orientados se muestran como un conjunto de líneas tangentes orientadas, lo que produce un cierto efecto visual.

Lo siguiente se puede encontrar en Números complejos en geometría de Isaak Yaglom y en un artículo de Gutin titulado Generalizaciones de la descomposición en valores singulares para matrices de numeración dual . ^{[1] [5]}

Matrices unitarias

Las aplicaciones de la forma expresan movimientos de cuerpos rígidos (a veces llamadas isometrías euclidianas directas ). Las representaciones matriciales de estas transformaciones abarcan una subálgebra isomorfa a los cuaterniones planares . ${\displaystyle z\mapsto {\frac {pz-q}{{\bar {q}}z+{\bar {p}}}}}$

El mapeo representa una reflexión sobre el eje x. ${\displaystyle z\mapsto -z}$

La transformación expresa una reflexión sobre el eje y. ${\displaystyle z\mapsto 1/z}$

Obsérvese que si es la representación matricial de cualquier combinación de las tres transformaciones anteriores, pero normalizada de modo que tenga determinante , entonces satisface donde significa . Llamaremos a estas matrices unitarias . Observe, sin embargo, que son unitarias en el sentido de los números duales y no de los números complejos. Las matrices unitarias expresan precisamente las isometrías euclidianas . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=I}$ ${\displaystyle U^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {U}}^{\mathrm {T} }}$

Matrices de dilatación axial

Una dilatación axial por unidades es una transformación de la forma . Una dilatación axial por unidades aumenta el radio de todos los círculos orientados por unidades mientras conserva sus centros. Si un círculo tiene orientación negativa, entonces su radio se considera negativo y, por lo tanto, para algunos valores positivos del círculo en realidad se contrae. Una dilatación axial se representa en la Figura 1, en la que dos círculos de orientaciones opuestas experimentan la misma dilatación axial. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {z+(\varepsilon t/2)}{(-\varepsilon t/2)z+1}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

En las líneas, una dilatación axial por unidades asigna cualquier línea a una línea tal que y son paralelas, y la distancia perpendicular entre y es . Las líneas que son paralelas pero tienen orientaciones opuestas se mueven en direcciones opuestas. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle t}$

Matrices diagonales reales

Figura 2: Una cuadrícula de líneas que varían entre y . ${\displaystyle z\mapsto kz}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10}$

Figura 3: Dos círculos que inicialmente difieren sólo en la orientación sufren la transformación para variar de y . ${\displaystyle z\mapsto kz}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10}$

La transformación para un valor de que es real conserva la intersección con el eje x de una línea, mientras cambia su ángulo con el eje x. Vea la Figura 2 para observar el efecto en una cuadrícula de líneas (incluido el eje x en el medio) y la Figura 3 para observar el efecto en dos círculos que difieren inicialmente solo en la orientación (para ver que el resultado es sensible a la orientación). ${\displaystyle z\mapsto kz}$ ${\displaystyle k}$

Una descomposición general

Juntando todo esto, una transformación general de Laguerre en forma matricial se puede expresar como donde y son unitarios, y es una matriz de la forma o donde y son números reales. Las matrices y expresan isometrías euclidianas . La matriz representa una transformación de la forma o una dilatación axial. La semejanza con la descomposición en valores singulares debería ser clara. ^[5] ${\displaystyle USV^{*}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\varepsilon \\b\varepsilon &a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z\mapsto kz}$

Nota: En el caso de que sea una dilatación axial, el factor se puede fijar en la matriz identidad. Esto se deduce del hecho de que si es unitario y es una dilatación axial, entonces se puede ver que , donde denota la transpuesta de . Por lo tanto . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle SV={\begin{cases}VS,&\det(V)=+1\\VS^{\mathrm {T} },&\det(V)=-1\end{cases}}}$ ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle USV^{*}={\begin{cases}(UV^{*})S,&\det(V)=+1\\(UV^{*})S^{\mathrm {T} },&\det(V)=-1\end{cases}}}$

Otros sistemas numéricos y elpostulado paralelo

Números complejos y geometría elíptica

Surge una pregunta: ¿Qué sucede si el papel de los números duales anteriores se cambia a los números complejos? En ese caso, los números complejos representan líneas orientadas en el plano elíptico (el plano sobre el que se desarrolla la geometría elíptica). Esto contrasta con los números duales, que representan líneas orientadas en el plano euclidiano. El plano elíptico es esencialmente una esfera (pero donde se identifican puntos antípodas ), y las líneas son, por lo tanto, círculos máximos . Podemos elegir un círculo máximo arbitrario para que sea el ecuador . El círculo máximo orientado que interseca el ecuador en la longitud , y forma un ángulo con el ecuador en el punto de intersección, se puede representar con el número complejo . En el caso en el que (donde la línea es literalmente la misma que el ecuador, pero orientada en la dirección opuesta a cuando ) la línea orientada se representa como . De manera similar al caso de los números duales, las matrices unitarias actúan como isometrías del plano elíptico . El conjunto de "transformaciones elípticas de Laguerre" (que son análogas a las transformaciones de Laguerre en este contexto) se pueden descomponer utilizando la descomposición en valores singulares de matrices complejas, de manera similar a cómo descomponemos las transformaciones euclidianas de Laguerre utilizando un análogo de la descomposición en valores singulares para matrices de números duales. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \tan(\theta /2)(\cos(s)+i\sin(s))}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \infty }$

Números complejos desdoblados y geometría hiperbólica

Ejemplo de una secuencia de transformaciones hiperbólicas de Laguerre que convierten un círculo en un horociclo y luego en un hiperciclo y convergen hacia una línea. En este caso, se utilizan números complejos divididos.

Si el papel de los números duales o números complejos se cambia a los números complejos divididos , entonces se puede desarrollar un formalismo similar para representar líneas orientadas en el plano hiperbólico en lugar de los planos euclidiano o elíptico: Un número complejo dividido se puede escribir en la forma porque el álgebra en cuestión es isomorfo a . (Observe, sin embargo, que como un *-álgebra , a diferencia de un mero álgebra , los números complejos divididos no son descomponibles de esta manera). Los términos y en representan puntos en el límite del plano hiperbólico; son respectivamente los puntos inicial y final de una línea orientada. Dado que el límite del plano hiperbólico es homeomorfo a la línea proyectiva , necesitamos y pertenecen a la línea proyectiva en lugar de a la línea afín . De hecho, esto sugiere que . ${\displaystyle (a,-b^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,-b^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} )\mathbb {P} ^{1}\cong \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}\oplus \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}}$

El análogo de las matrices unitarias sobre los números complejos desdoblados son las isometrías del plano hiperbólico . Esto lo demuestra Yaglom. ^[1] Además, el conjunto de transformaciones fraccionarias lineales se puede descomponer de una manera que se asemeja a la descomposición en valores singulares, pero que también la unifica con la descomposición de Jordan . ^{[6] [1]}

Resumen

Tenemos, por tanto, una correspondencia entre los tres sistemas de numeración planares (complejos, duales y complejos desdoblados) y las tres geometrías no euclidianas . El sistema de numeración que corresponde a la geometría euclidiana son los números duales .

En dimensiones superiores

Euclidiano

El espacio de Laguerre n-dimensional es isomorfo al espacio de Minkowski n + 1 . Para asociar un punto en el espacio de Minkowski a una hiperesfera orientada, intersecta el cono de luz centrado en con el hiperplano. El grupo de transformaciones de Laguerre es isomorfo entonces al grupo de Poincaré . Estas transformaciones son exactamente aquellas que preservan una especie de distancia al cuadrado entre círculos orientados llamada su producto Darboux . Las transformaciones directas de Laguerre se definen como el subgrupo . En 2 dimensiones, las transformaciones directas de Laguerre se pueden representar mediante matrices numéricas duales 2×2. Si se entiende que las matrices numéricas duales 2×2 constituyen el álgebra de Clifford , entonces son posibles representaciones algebraicas análogas de Clifford en dimensiones superiores. ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},r)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}\rtimes \operatorname {O} (n,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}\rtimes \operatorname {O} ^{+}(n,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0,1}(\mathbb {R} )}$

Si incorporamos el espacio de Minkowski al espacio proyectivo manteniendo el mismo grupo de transformación, entonces los puntos en el infinito son planos orientados. Los llamamos "planos" porque su forma es plana. En dos dimensiones, estas son las líneas orientadas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n+1}}$

Como acotación al margen, hay dos definiciones no equivalentes de una transformación de Laguerre: o bien como una transformación de esfera de Lie que conserva los planos orientados, o bien como una transformación de esfera de Lie que conserva el producto Darboux. En este artículo utilizamos la última convención. Nótese que incluso en 2 dimensiones, el primer grupo de transformación es más general que el segundo: una homotecia , por ejemplo, asigna líneas orientadas a líneas orientadas, pero en general no conserva el producto Darboux. Esto se puede demostrar utilizando la homotecia centrada en por unidades. Ahora considere la acción de esta transformación en dos círculos: uno es simplemente el punto , y el otro es un círculo de raidio centrado en . Estos dos círculos tienen un producto Darboux igual a . Sus imágenes bajo la homotecia tienen un producto Darboux igual a . Por lo tanto, esto solo da una transformación de Laguerre cuando . ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle -t^{2}}$ ${\displaystyle t^{2}=1}$

Interpretación conforme

En esta sección, interpretamos las transformaciones de Laguerre de forma diferente a como se hace en el resto del artículo. Cuando actúan sobre coordenadas lineales, las transformaciones de Laguerre no se entienden como conformes en el sentido descrito aquí. Esto se demuestra claramente en la Figura 2.

Las transformaciones de Laguerre preservan los ángulos cuando se identifica el ángulo apropiado para el plano de números duales. Cuando se toma como lados de un ángulo un rayo y = mx , x ≥ 0 y el eje x positivo, la pendiente m es la magnitud de este ángulo.

Este número m corresponde al área con signo del triángulo rectángulo con base en el intervalo [(√2,0), (√2, m √2)] . La línea {1 + aε : a ∈ ℝ}, con la multiplicación de números duales, forma un subgrupo de los números duales unitarios, siendo cada elemento una aplicación de corte cuando actúa sobre el plano de números duales. Otros ángulos en el plano se generan por dicha acción y, dado que la aplicación de corte preserva el área, el tamaño de estos ángulos es el mismo que el original.

Nótese que la inversión de z a 1/ z deja invariable el tamaño del ángulo. Como la transformación general de Laguerre se genera mediante traslaciones, dilataciones, cortes e inversiones, y todas ellas dejan invariante el ángulo, la transformación general de Laguerre es conforme en el sentido de estos ángulos. ^{[2] : 81}

Véase también

• Edmond Laguerre
• Avión de Laguerre
• Isaac Yaglom
• Coordenadas de línea

Referencias

1. Yaglom, Isaak Moiseevitch (1968). Números complejos en geometría. Academic Press.Publicado originalmente como Kompleksnye Chisla i Ikh Primenenie v Geometrii (en ruso). Moscú: Fizmatgiz. 1963
2. Bolt, Michael; Ferdinands, Timothy; Kavlie, Landon (2009). "Las transformaciones planares más generales que convierten parábolas en parábolas". Involve: A Journal of Mathematics . 2 (1): 79–88. doi : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN  1944-4176.
3. Fillmore, Jay P.; Springer, Arthur (1995-03-01). "Nuevos teoremas euclidianos mediante el uso de transformaciones de Laguerre — Algo de geometría del espacio (2+1) de Minkowski". Journal of Geometry . 52 (1): 74–90. doi :10.1007/BF01406828. ISSN  1420-8997. S2CID  122511184.
4. Barrett, David E.; Bolt, Michael (junio de 2010). "Longitud del arco de Laguerre a partir de funciones de distancia". Revista asiática de matemáticas . 14 (2): 213–234. doi : 10.4310/AJM.2010.v14.n2.a3 . ISSN  1093-6106.
5. Gutin, Ran (23 de marzo de 2021). "Generalizaciones de la descomposición en valores singulares para matrices de numeración dual". Álgebra lineal y multilineal . 70 (20): 5107–5114. doi : 10.1080/03081087.2021.1903830 . ISSN  0308-1087.
6. Gutin, Ran (17 de mayo de 2021). "Descomposiciones matriciales sobre números complejos divididos". arXiv : 2105.08047 [math.RA].

Enlaces externos

• "Círculos orientados y geometría relativista 3D" Vídeo elemental que introduce conceptos de geometría de Laguerre. El vídeo se presenta desde la perspectiva de la trigonometría racional .