Número hipercomplejo

Elemento de un álgebra unital sobre el cuerpo de números reales.

En matemáticas , número hipercomplejo es un término tradicional para un elemento de un álgebra unital de dimensión finita sobre el cuerpo de números reales . El estudio de los números hipercomplejos a finales del siglo XIX constituye la base de la teoría moderna de la representación de grupos .

Historia

En el siglo XIX los sistemas numéricos llamados cuaterniones , tesarinos , cocuaterniones , bicuaterniones y octoniones se convirtieron en conceptos establecidos en la literatura matemática, sumados a los números reales y complejos . El concepto de número hipercomplejo los abarcaba a todos y requería una disciplina para explicarlos y clasificarlos.

El proyecto de catalogación comenzó en 1872, cuando Benjamin Peirce publicó por primera vez su Álgebra asociativa lineal , y fue llevado adelante por su hijo Charles Sanders Peirce . ^[1] Lo más significativo es que identificaron los elementos nilpotentes e idempotentes como números hipercomplejos útiles para las clasificaciones. La construcción de Cayley-Dickson utilizó involuciones para generar números complejos, cuaterniones y octoniones a partir del sistema de números reales. Hurwitz y Frobenius demostraron teoremas que ponen límites a la hipercomplejidad: el teorema de Hurwitz dice que las álgebras de composición real de dimensión finita son los reales , los complejos , los cuaterniones y los octoniones , y el teorema de Frobenius dice que las únicas álgebras de división asociativa reales son , y . En 1958, J. Frank Adams publicó una generalización adicional en términos de invariantes de Hopf en espacios H que todavía limita la dimensión a 1, 2, 4 u 8. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Fue el álgebra matricial la que aprovechó los sistemas hipercomplejos. Por ejemplo, se encontraron matrices reales 2 x 2 isomorfas a los cocuaterniones . Pronto el paradigma matricial comenzó a explicar varios otros tal como estaban representados por matrices y sus operaciones. En 1907 Joseph Wedderburn demostró que los sistemas asociativos hipercomplejos podían representarse mediante matrices cuadradas , o productos directos de álgebras de matrices cuadradas. ^{[3] [4]} A partir de esa fecha, el término preferido para un sistema hipercomplejo pasó a ser álgebra asociativa , como se ve en el título de la tesis de Wedderburn en la Universidad de Edimburgo . Sin embargo, tenga en cuenta que los sistemas no asociativos como los octoniones y los cuaterniones hiperbólicos representan otro tipo de número hipercomplejo.

Como explica Thomas Hawkins ^[5] , los números hipercomplejos son trampolines para aprender sobre los grupos de Lie y la teoría de la representación de grupos . Por ejemplo, en 1929 Emmy Noether escribió sobre "cantidades hipercomplejas y teoría de la representación". ^[6] En 1973, Kantor y Solodovnikov publicaron un libro de texto sobre números hipercomplejos que fue traducido en 1989. ^{[7] [8]}

Karen Parshall ha escrito una exposición detallada del apogeo de los números hipercomplejos, ^[9] incluido el papel de matemáticos como Theodor Molien ^[10] y Eduard Study . ^[11] Para la transición al álgebra moderna , Bartel van der Waerden dedica treinta páginas a los números hipercomplejos en su Historia del álgebra . ^[12]

Definición

Kantor y Solodovnikov (1989) dan una definición de número hipercomplejo como un elemento de un álgebra de dimensión finita unital , pero no necesariamente asociativa o conmutativa , sobre los números reales. Los elementos se generan con coeficientes de números reales para una base . Siempre que sea posible, es convencional elegir la base de modo que . Un enfoque técnico de los números hipercomplejos dirige la atención primero a los de dimensión dos. ${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}$ ${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$

Álgebras reales bidimensionales

Teorema: ^{[7] : 14, 15  [13] [14]} Hasta el isomorfismo, hay exactamente tres álgebras unitales bidimensionales sobre los reales: los números complejos ordinarios , los números complejos divididos y los números duales . En particular, cada álgebra unital bidimensional sobre los reales es asociativa y conmutativa.

Prueba: dado que el álgebra es bidimensional, podemos elegir una base {1, u } . Dado que el álgebra es cerrada bajo elevación al cuadrado, el elemento de base no real u eleva al cuadrado una combinación lineal de 1 y u :

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u}$

para algunos números reales un ₀ y un ₁ .

Usando el método común de completar el cuadrado restando a ₁ u y sumando el complemento cuadrático a²
₁ / 4 a ambos lados rinde

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

Así donde Los tres casos dependen de este valor real: ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$

• Si 4 a ₀ = − a ₁ ² , la fórmula anterior produce ũ ² = 0 . Por tanto, ũ puede identificarse directamente con el elemento nilpotente de la base de los números duales. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \{1,~\varepsilon \}}$
• Si 4 a ₀ > − a ₁ ² , la fórmula anterior produce ũ ² > 0 . Esto conduce a números complejos divididos que tienen una base normalizada con . Para obtener j de ũ , este último debe dividirse por el número real positivo que tiene el mismo cuadrado que ũ . ${\displaystyle \{1,~j\}}$ ${\displaystyle j^{2}=+1}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$
• Si 4 a ₀ < − a ₁ ² , la fórmula anterior produce ũ ² < 0 . Esto conduce a números complejos que tienen una base normalizada con . Para obtener i de ũ , este último tiene que dividirse por un número real positivo que eleva al cuadrado el negativo de ũ ² . ${\displaystyle \{1,~i\}}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$

Los números complejos son el único álgebra hipercompleja bidimensional que es un campo . Las álgebras como los números complejos divididos que incluyen raíces no reales de 1 también contienen idempotentes y divisores de cero , por lo que dichas álgebras no pueden ser álgebras de división . Sin embargo, estas propiedades pueden resultar muy significativas, por ejemplo al describir las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial . ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ ${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$

En una edición de 2004 de Mathematics Magazine, las álgebras reales bidimensionales se denominaron "números complejos generalizados". ^[15] La idea de razón cruzada de cuatro números complejos se puede extender a las álgebras reales bidimensionales. ^[dieciséis]

Ejemplos de dimensiones superiores (más de un eje no real)

Álgebras de Clifford

Un álgebra de Clifford es el álgebra asociativa unital generada sobre un espacio vectorial subyacente equipado con una forma cuadrática . Sobre los números reales esto equivale a poder definir un producto escalar simétrico, u ⋅ v = ⁠1/2⁠ ( uv + vu ) que puede usarse para ortogonalizar la forma cuadrática, para dar una base { e ₁ , ..., e _k } tal que: $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}}$$

La imposición de un cierre bajo multiplicación genera un espacio multivectorial abarcado por una base de 2 ^k elementos, {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , ..., e ₁ e ₂ , ..., e ₁ e ₂ e ₃ ,. ..}. Estos pueden interpretarse como la base de un sistema numérico hipercomplejo. A diferencia de la base { e ₁ , ..., e _k }, los elementos de base restantes no necesitan anticonmutación, dependiendo de cuántos intercambios simples deban realizarse para intercambiar los dos factores. Entonces mi ₁ mi ₂ = − mi ₂ mi ₁ , pero mi ₁ ( mi ₂ mi ₃ ) = +( mi ₂ mi ₃ ) mi ₁ .

Dejando de lado las bases que contienen un elemento e _i tal que e _i ² = 0 (es decir, direcciones en el espacio original sobre las cuales la forma cuadrática fue degenerada ), las álgebras de Clifford restantes pueden identificarse con la etiqueta Cl _{p , q} ( ), indica que el álgebra se construye a partir de p elementos de base simple con e _i ² = +1 , q con e _i ² = −1 , y donde indica que será un álgebra de Clifford sobre los reales, es decir, coeficientes de elementos del álgebra. deben ser números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Estas álgebras, llamadas álgebras geométricas , forman un conjunto sistemático, que resultan muy útiles en problemas de física que involucran rotaciones , fases o espines , especialmente en mecánica clásica y cuántica , teoría electromagnética y relatividad .

Los ejemplos incluyen: los números complejos Cl _0,1 ( ), números complejos divididos Cl _1,0 ( ), cuaterniones Cl _0,2 ( ), bicuaterniones divididos Cl _0,3 ( ), cuaterniones divididos Cl _1,1 ( ) ≈ Cl _2,0 ( ) (el álgebra natural del espacio bidimensional); Cl _3,0 ( ) (el álgebra natural del espacio tridimensional y el álgebra de las matrices de Pauli ); y el álgebra espacio-temporal Cl _1,3 ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los elementos del álgebra Cl _{p , q} ( ) forman una subálgebra par Cl ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[0]
_{q +1, p}( ) del álgebra Cl _{q +1, p} ( ), que puede usarse para parametrizar rotaciones en el álgebra más amplia. Por tanto, existe una estrecha conexión entre los números complejos y las rotaciones en el espacio bidimensional; entre cuaterniones y rotaciones en el espacio tridimensional; entre números complejos divididos y rotaciones (hiperbólicas) ( transformaciones de Lorentz ) en un espacio de 1+1 dimensión, y así sucesivamente. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Mientras que Cayley-Dickson y las construcciones complejas divididas con ocho o más dimensiones no son asociativas con respecto a la multiplicación, las álgebras de Clifford conservan la asociatividad en cualquier número de dimensiones.

En 1995, Ian R. Porteous escribió sobre "El reconocimiento de subálgebras" en su libro sobre las álgebras de Clifford. Su Proposición 11.4 resume los casos hipercomplejos: ^[17]

Sea A un álgebra asociativa real con elemento unitario 1. Entonces

• 1 genera ( álgebra de números reales ), ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier subálgebra bidimensional generada por un elemento e ₀ de A tal que e ₀ ² = −1 es isomorfo a ( álgebra de números complejos ), ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• cualquier subálgebra bidimensional generada por un elemento e ₀ de A tal que e ₀ ² = 1 es isomorfo a ² (pares de números reales con producto por componentes, isomorfo al álgebra de números complejos divididos ), ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier subálgebra de cuatro dimensiones generada por un conjunto { e ₀ , e ₁ } de elementos mutuamente anticonmutadores de A tal que sea isomorfo a ( álgebra de cuaterniones ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• cualquier subálgebra de cuatro dimensiones generada por un conjunto { e ₀ , e ₁ } de elementos mutuamente anti-conmutadores de A tal que sea isomorfo a M ₂ ( ) ( matrices reales 2 × 2 , cocuaterniones ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier subálgebra de ocho dimensiones generada por un conjunto { e ₀ , e ₁ , e ₂ } de elementos mutuamente anticonmutadores de A tal que sea isomorfo a ² ( bicuaterniones divididos ), ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• cualquier subálgebra de ocho dimensiones generada por un conjunto { e ₀ , e ₁ , e ₂ } de elementos mutuamente anticonmutadores de A tal que sea isomorfo a M ₂ ( ) ( matrices complejas 2 × 2 , bicuaterniones , álgebra de Pauli ). ${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Construcción Cayley-Dickson

Gráfico Cayley Q8 de multiplicación de cuaterniones que muestra ciclos de multiplicación de i (rojo), j (verde) y k (azul). En el archivo SVG, coloque el cursor sobre una ruta o haga clic en ella para resaltarla.

Todas las álgebras de Clifford Cl _{p , q} ( ) aparte de los números reales, los números complejos y los cuaterniones contienen elementos no reales que cuadran a +1; y por tanto no pueden ser álgebras de división. La construcción de Cayley-Dickson adopta un enfoque diferente para ampliar los números complejos . Esto genera sistemas numéricos de dimensión 2 ⁿ , n = 2, 3, 4, ..., con bases , donde todos los elementos de bases no reales se anticonmutan y satisfacen . En 8 o más dimensiones ( n ≥ 3 ), estas álgebras no son asociativas. En 16 o más dimensiones ( n ≥ 4 ), estas álgebras también tienen divisores de cero . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}}$ ${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$

Las primeras álgebras de esta secuencia son los cuaterniones de cuatro dimensiones , los octoniones de ocho dimensiones y los sedeniones de 16 dimensiones . Se pierde una simetría algebraica con cada aumento de dimensionalidad: la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa , la multiplicación de octoniones no es asociativa y la norma de los sedeniones no es multiplicativa.

La construcción Cayley-Dickson se puede modificar insertando un letrero adicional en algunas etapas. Luego genera las "álgebras divididas" en la colección de álgebras de composición en lugar de las álgebras de división:

números complejos divididos con base que satisface , ${\displaystyle \{1,\,i_{1}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$

cuaterniones divididos con base que satisface , y ${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$

octonones divididos con base satisfactoria , ${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}}$ ${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$ ${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.}$

A diferencia de los números complejos, los números complejos divididos no son algebraicamente cerrados y además contienen divisores de cero no triviales e idempotentes no triviales . Al igual que con los cuaterniones, los cuaterniones divididos no son conmutativos, pero además contienen nilpotentes ; son isomórficos a las matrices cuadradas de dimensión dos. Los octoniones divididos no son asociativos y contienen nilpotentes.

Productos tensoriales

El producto tensorial de dos álgebras cualesquiera es otra álgebra que se puede utilizar para producir muchos más ejemplos de sistemas numéricos hipercomplejos.

En particular, tomar productos tensoriales con números complejos (considerados álgebras sobre los reales) conduce a números bicomplejos de cuatro dimensiones (isomorfos a los tesarinos ), bicuaterniones de ocho dimensiones y octoniones complejos de 16 dimensiones . ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$

Más ejemplos

• Números bicomplejos : un espacio vectorial de 4 dimensiones sobre los reales, bidimensional sobre los números complejos, isomorfo a los tesarinos.
• Números multicomplejos : espacios vectoriales de 2 ^{n dimensiones sobre los reales, 2 n −1} dimensiones sobre los números complejos.
• álgebra de composición : álgebra con forma cuadrática que se compone con el producto

Ver también

• Sedeniones
• Thomas Kirkman
• Georg Scheffers
• Richard Brauer
• Análisis hipercomplejo

Referencias

1. Peirce, Benjamin (1881), "Álgebra asociativa lineal", American Journal of Mathematics , 4 (1): 221–6, doi :10.2307/2369153, JSTOR  2369153
2. Adams, JF (julio de 1960), "Sobre la inexistencia de elementos del invariante uno de Hopf" (PDF) , Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi :10.2307/ 1970147, JSTOR  1970147 
3. JHM Wedderburn (1908), "Sobre números hipercomplejos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 6 : 77–118, doi :10.1112/plms/s2-6.1.77
4. Emil Artin luego generalizó el resultado de Wedderburn, por lo que se lo conoce como teorema de Artin-Wedderburn.
5. Hawkins, Thomas (1972), "Números hipercomplejos, grupos de mentiras y la creación de una teoría de representación de grupos", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 8 (4): 243–287, doi :10.1007/BF00328434, S2CID  120562272
6. Noether, Emmy (1929), "Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie" [Cantidades hipercomplejas y teoría de las representaciones], Mathematische Annalen (en alemán), 30 : 641–92, doi :10.1007/BF01187794, S2CID  120464373, archivado desde el original el 29 de marzo de 2016 , consultado el 14 de enero de 2016
7. Kantor, IL, Solodownikow (1978), Hyperkomplex Zahlen , BSB BG Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig
8. Kantor, IL; Solodovnikov, AS (1989), Números hipercomplejos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0, señor  0996029
9. Parshall, Karen (1985), "Joseph HM Wedderburn y la teoría estructural de las álgebras", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 32 (3–4): 223–349, doi :10.1007/BF00348450, S2CID  119888377
10. Molien, Theodor (1893), "Ueber Systeme höherer complexer Zahlen", Mathematische Annalen , 41 (1): 83–156, doi :10.1007/BF01443450, S2CID  122333076
11. Estudio, Eduard (1898), "Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen", Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften , vol. IA, págs. 147 a 183
12. van der Waerden, BL (1985), "10. El descubrimiento de las álgebras, 11. Estructura de las álgebras", Una historia del álgebra , Springer, ISBN 3-540-13610X
13. Yaglom, Isaak (1968), Números complejos en geometría , págs. 10-14
14. Ewing, John H., ed. (1991), Números , Springer, pág. 237, ISBN 3-540-97497-0
15. Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (2004), "Geometría de números complejos generalizados" (PDF) , Revista de Matemáticas , 77 (2): 118–129, doi :10.1080/0025570X.2004.11953236, S2CID  7837108
16. Brewer, Sky (2013), "Relación cruzada proyectiva en números hipercomplejos", Avances en álgebras aplicadas de Clifford , 23 (1): 1–14, arXiv : 1203.2554 , doi : 10.1007/s00006-012-0335-7, S2CID  119623082
17. Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups , Cambridge University Press , págs. 88–89, ISBN 0-521-55177-3

Otras lecturas

• Alfsmann, Daniel (2006), "Sobre familias de álgebras hipercomplejas de 2 ^ N dimensiones adecuadas para el procesamiento de señales digitales" (PDF) , 14ª Conferencia europea sobre procesamiento de señales, Florencia, Italia, págs.
• Artin, Emil (1965) [1928], "Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen", en Lang, Serge ; Tate, John T. (eds.), Los artículos recopilados de Emil Artin , Addison-Wesley , págs. 301–345
• Baez, John (2002), "The Octonions", Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X, ISSN  0002 -9904, S2CID  586512
• Cartan, Élie (1908), "Les systèmes de nombres complex et les groupes de transforms", Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées , vol. yo 1. y Ouvres completa T.2 pt. 1, págs. 107–246.
• Herzberger, Max (1923), "Ueber Systeme hyperkomplexer Grössen", Tesis doctoral , Universidad Friedrich Wilhelm , archivado desde el original el 30 de enero de 2021 , consultado el 20 de septiembre de 2015
• La Duke, Jeanne (1983), "El estudio de álgebras asociativas lineales en los Estados Unidos, 1870-1927", en Srinivasan, B.; Sally, J. (eds.), Emmy Noether en Bryn Mawr: Actas de un simposio patrocinado por la Asociación de Mujeres en Matemáticas en honor al centenario de Emmy Noether, Springer, págs. 147-159, ISBN 978-0-387-90838-0
• Olariu, Silviu (2002), Números complejos en dimensiones N , Estudios de matemáticas de Holanda Septentrional, vol. 190, Elsevier , ISBN 0-444-51123-7
• Sabadini, Irene ; Shapiro, Michael; Sommen, Frank, eds. (2009), Análisis y aplicaciones hipercomplejos , Birkhauser, ISBN 978-3-7643-9892-7
• Taber, Henry (1904), "Sobre sistemas numéricos hipercomplejos", Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense , 5 (4): 509–548, doi :10.2307/1986280, JSTOR  1986280
• MacLagan Wedderburn, JH (1908), "Sobre números hipercomplejos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , s2-6 (1): 77–118, doi :10.1112/plms/s2-6.1.77

enlaces externos

• "Número hipercomplejo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Número hipercomplejo". MundoMatemático .
• Estudio, E., Sobre sistemas de números complejos y su aplicación a la teoría de grupos de transformación (PDF)(Traducción en inglés)
• Frobenius, G., Teoría de cantidades hipercomplejas (PDF)(Traducción en inglés)