Cebolla trigintadu

Sistema de numeración hipercomplejo

En álgebra abstracta , los trigintaduiones , también conocidos como 32-iones , 32-niones , 2 ⁵ -niones o, a veces, pationes ( ), ^{[1] [2]} forman un álgebra no conmutativa y no asociativa de 32 dimensiones sobre los números reales , ^{[3] [4]} generalmente representados por la letra T mayúscula, T en negrita o negrita de pizarra . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Nombres

La palabra trigintaduonion se deriva del latín triginta 'treinta' + duo 'dos' + el sufijo -nion , que se utiliza para sistemas numéricos hipercomplejos .

Aunque trigintaduonion es típicamente el término más utilizado, Robert PC de Marrais en cambio utiliza el término pathion en referencia a los 32 caminos de la sabiduría del texto cabalístico ( místico judío ) Sefer Yetzirah , ya que pathion es más corto y más fácil de recordar y pronunciar . Se representa con negrita de pizarra . ^[1] Otros nombres alternativos incluyen 32-ion , ³² -nion , 2,5 ^-ion y 2,5 -nion . ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Definición

Cada trigintaduonión es una combinación lineal de las unidades trigintaduoniones , , , , ..., , que forman una base del espacio vectorial de trigintaduoniones. Cada trigintaduonión se puede representar en la forma ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{31}}$

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{30}e_{30}+x_{31}e_{31}}$

con coeficientes reales x _i .

Los trigintaduiones se pueden obtener aplicando la construcción de Cayley-Dickson a los sedeniones , que se pueden expresar matemáticamente como . ^[5] La aplicación de la construcción de Cayley-Dickson a los sedeniones produce un álgebra de 64 dimensiones llamada 64-iones , 64-niones , sexagintaquatroniones o sexagintaquattuorniones , a veces también conocidos como chingons . ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle \mathbb {T} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {S} ,1)}$

Como resultado, las trigintaduoniones también pueden definirse de la siguiente manera. ^[5]

Un álgebra de dimensión 4 sobre los octoniones : ${\displaystyle \mathbb {O} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{3}a_{i}\cdot e_{i}}$donde y ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {O} }$ ${\displaystyle e_{i}\notin \mathbb {O} }$

Un álgebra de dimensión 8 sobre cuaterniones : ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{7}a_{i}\cdot e_{i}}$donde y ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle e_{i}\notin \mathbb {H} }$

Un álgebra de dimensión 16 sobre los números complejos : ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{15}a_{i}\cdot e_{i}}$donde y ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle e_{i}\notin \mathbb {C} }$

Un álgebra de dimensión 32 sobre los números reales : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{31}a_{i}\cdot e_{i}}$donde y ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle e_{i}\notin \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {R} ,\mathbb {O} ,\mathbb {S} }$son todos subconjuntos de . Esta relación se puede expresar como: ${\displaystyle \mathbb {T} }$

$${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$$

Multiplicación

Propiedades

Al igual que los octoniones y los sedeniones , la multiplicación de trigintaduoniones no es conmutativa ni asociativa . Al igual que los sedeniones, los trigintaduoniones contienen divisores de cero y, por lo tanto, no son un álgebra de división .

Representaciones geométricas

Mientras que los patrones de multiplicación de unidades de octoniones pueden representarse geométricamente mediante PG(2,2) (también conocido como plano de Fano ) y la multiplicación de unidades de sedeniones mediante PG(3,2) , la multiplicación de unidades de trigintaduiones puede representarse geométricamente mediante PG(4,2). Esto también puede extenderse a PG(5,2) para los 64 niones, como se explica en el resumen de Saniga, Holweck y Pracna (2015):

Dada una álgebra de Cayley–Dickson -dimensional , donde , observamos primero que la tabla de multiplicación de sus unidades imaginarias , está codificada en las propiedades del espacio proyectivo si estas unidades imaginarias se consideran como puntos y tríadas distinguidas de ellos y , como líneas. Se observa que este espacio proyectivo presenta dos tipos distintos de líneas según o . ^[9] ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 3\leq n\leq 6}$ ${\displaystyle e_{a},1\leq a\leq 2^{n}-1}$ ${\displaystyle PG(n-1,2)}$ ${\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c}\},1\leq a<b<c\leq 2^{n}-1}$ ${\displaystyle e_{a}\cdot e_{b}=\pm e_{c}}$ ${\displaystyle a+b=c}$ ${\displaystyle a+b\neq c}$

Una ilustración de la estructura de la configuración (15 ₄ 20 ₃ ) o Cayley–Salmon

Además, Saniga, Holweck y Pracna (2015) afirman que:

Se ha descubierto que la estructura de incidencia punto-línea correspondiente es una configuración binomial específica ; en particular, ( octonions ) es isomorfo a la configuración Pasch (6 ₂ ,4 ₃ ), ( sedenions ) es la famosa configuración Desargues (10 ₃ ), (32-nions) coincide con la configuración Cayley–Salmon (15 ₄ ,20 ₃ ) que se encuentra en el conocido hexagrama místico de Pascal y (64-nions) es idéntico a una configuración particular (21 ₅ ,35 ₃ ) que puede verse como cuatro triángulos en perspectiva desde una línea donde los puntos de perspectividad de seis pares de ellos forman una configuración Pasch . ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{5}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{6}}$

La configuración de -niones puede entonces generalizarse como: ^[9] ${\displaystyle 2^{n}}$ $${\displaystyle {\binom {n+1}{2}}_{n-1},{\binom {n+1}{3}}_{3}}$$

Tablas de multiplicar

La multiplicación de la unidad trigintaduonions se ilustra en las dos tablas siguientes. Combinadas, forman una única tabla de 32×32 con 1024 celdas. ^{[10] [5]}

A continuación se muestra la tabla de multiplicación de los trigintaduiones para . La mitad superior de esta tabla, para , corresponde a la tabla de multiplicación de los sedeniones . El cuadrante superior izquierdo de la tabla, para y , corresponde a la tabla de multiplicación de los octoniones . ${\displaystyle e_{j},0\leq j\leq 15}$ ${\displaystyle e_{i},0\leq i\leq 15}$ ${\displaystyle e_{i},0\leq i\leq 7}$ ${\displaystyle e_{j},0\leq j\leq 7}$

A continuación se muestra la tabla de multiplicación de trigintaduonion para . ${\displaystyle e_{j},16\leq j\leq 31}$

Triples

Hay 155 triples (o tríadas) distinguidos de unidades imaginarias de trigintaduonion en la tabla de multiplicación de trigintaduonion, que se enumeran a continuación. En comparación, los octoniones tienen 7 de estos triples, los sedeniones tienen 35, mientras que los sexagintaquatroniones tienen 651. ^[9]

• 45 ternas de tipo {α, α, β} : {3, 13, 14}, {3, 21, 22}, {3, 25, 26}, {5, 11, 14}, {5, 19, 22 }, {5, 25, 28}, {6, 11, 13}, {6, 19, 21}, {6, 26, 28}, {7, 9, 14}, {7, 10, 13}, {7, 11, 12}, {7, 17, 22}, {7, 18, 21}, {7, 19, 20}, {7, 25, 30}, {7, 26, 29}, {7 , 27, 28}, {9, 19, 26}, {9, 21, 28}, {10, 19, 25}, {10, 22, 28}, {11, 17, 26}, {11, 18, 25}, {11, 19, 24} , {11, 21, 30}, {11, 22, 29}, {11, 23, 28}, {12, 21, 25}, {12, 22, 26}, {13, 17, 28}, { 13, 19, 30}, {13, 20, 25}, {13, 21, 24}, {13, 22, 27}, {13, 23, 26}, {14, 18, 28}, {14, 19, 29}, {14, 20, 26}, {14, 21, 27}, {14, 22, 24}, {14, 23, 25}, {15, 19, 28}, {15, 21, 26} , {15, 22, 25}
• 20 ternas de tipo {β, β, β} : {3, 5, 6}, {3, 9, 10}, {3, 17, 18}, {3, 29, 30}, {5, 9, 12 }, {5, 17, 20}, {5, 27, 30}, {6, 10, 12}, {6, 18, 20}, {6, 27, 29}, {9, 17, 24}, {9, 23, 30}, {10, 18, 24}, {10, 23, 29}, {12, 20, 24}, {12, 23, 27}, {15, 17, 30}, {15 , 18, 29}, {15, 20, 27}, {15, 23, 24}
• 15 ternas de tipo {β, β, β} : {3, 12, 15}, {3, 20, 23}, {3, 24, 27}, {5, 10, 15}, {5, 18, 23 }, {5, 24, 29}, {6, 9, 15}, {6, 17, 23}, {6, 24, 30}, {9, 18, 27}, {9, 20, 29}, {10, 17, 27}, {10, 20, 30}, {12, 17, 29}, {12, 18, 30}
• 60 ternas de tipo {α, β, γ} : {1, 6, 7}, {1, 10, 11}, {1, 12, 13}, {1, 14, 15}, {1, 18, 19 }, {1, 20, 21}, {1, 22, 23}, {1, 24, 25}, {1, 26, 27}, {1, 28, 29}, {2, 5, 7}, {2, 9, 11}, {2, 12, 14}, {2, 13, 15}, {2, 17, 19}, {2, 20, 22}, {2, 21, 23}, {2 , 24, 26}, {2, 25, 27}, {2, 28, 30}, {3, 4, 7}, {3, 8, 11}, {3, 16, 19}, {3, 28, 31}, {4, 9, 13} , {4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {4, 17, 21}, {4, 18, 22}, {4, 19, 23}, {4, 24, 28}, { 4, 25, 29}, {4, 26, 30}, {5, 8, 13}, {5, 16, 21}, {5, 26, 31}, {6, 8, 14}, {6, 16, 22}, {6, 25, 31}, {7, 8, 15}, {7, 16, 23}, {7, 24, 31}, {8, 17, 25}, {8, 18, 26}, {8, 19, 27}, {8, 20, 28} , {8, 21, 29}, {8, 22, 30}, {9, 16, 25}, {9, 22, 31}, {10, 16, 26}, {10, 21, 31}, { 11, 16, 27}, {11, 20, 31}, {12, 16, 28}, {12, 19, 31}, {13, 16, 29}, {13, 18, 31}, {14, 16, 30}, {14, 17, 31}
• 15 ternas de tipo {β, γ, γ} : {1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 8, 9}, {1, 16, 17}, {1, 30, 31 }, {2, 4, 6}, {2, 8, 10}, {2, 16, 18}, {2, 29, 31}, {4, 8, 12}, {4, 16, 20}, {4, 27, 31}, {8, 16, 24}, {8, 23, 31}, {5, 16, 31}

Algoritmos computacionales

El primer algoritmo computacional para la multiplicación de trigintaduiones fue desarrollado por Cariow y Cariowa (2014).

Aplicaciones

Las trigintaduonions tienen aplicaciones en la física de partículas , ^[11] la física cuántica y otras ramas de la física moderna. ^[10] Más recientemente, las trigintaduonions y otros números hipercomplejos también se han utilizado en la investigación de redes neuronales ^[12] y la criptografía .

Más álgebras

Los términos de Robert de Marrais para las álgebras que siguen inmediatamente a los sedenions son los pathions (es decir, trigintaduonions), chingons, routons y voudons. ^{[8] [13]} Se resumen de la siguiente manera. ^{[1] [5]}

Referencias

1. de Marrais, Robert PC (2002). "Volando más alto que una cometa-caja: basureros de cadenas de cometas, mandalas de arena y patrones de divisor cero en los 2n-iones más allá de los sedeniones". arXiv : math/0207003 . doi :10.48550/arXiv.math/0207003.
2. Cawagas, Raoul E.; Carrascal, Alejandro S.; Bautista, Lincoln A.; María, John P. Sta.; Urrutia, Jackie D.; Nobles, Bernadeth (2009). "La estructura subálgebra del álgebra de Cayley-Dickson de dimensión 32 (trigintaduonion)". arXiv : 0907.2047 . Consultado el 10 de octubre de 2024 .
3. Saini, Kavita; Raj, Kuldip (2021). "Sobre la generalización de Tribonacci Trigintaduonions". Revista india de matemáticas puras y aplicadas . 52 (2). Springer Science y Business Media LLC: 420–428. doi :10.1007/s13226-021-00067-y. ISSN  0019-5588.
4. "Trigintaduonion". Universidad de Waterloo . Consultado el 8 de octubre de 2024 .
5. "Conjuntos de nombre" (PDF) (en francés). Forum Futura-Science. 6 de septiembre de 2011. Consultado el 11 de octubre de 2024 .
6. Carter, Michael (19 de agosto de 2011). "Visualización de los números hipercomplejos de Cayley-Dickson hasta los Chingons (64D)". MaplePrimes . Consultado el 8 de octubre de 2024 .
7. "Centro de aplicaciones". Maplesoft . 2010-01-18 . Consultado el 2024-10-08 .
8. Valkova-Jarvis, Zlatka; Poulkov, Vladimir; Stoynov, Viktor; Mihaylova, Dimitriya; Iliev, Georgi (18 de marzo de 2022). "Un método para el diseño de algoritmos DSP ortogonales bicomplejos para aplicaciones en redes de acceso de radio inteligentes". Simetría . 14 (3). MDPI AG: 613. doi : 10.3390/sym14030613 . ISSN  2073-8994.
9. Saniga, Holweck y Pracna (2015).
10. Weng, Zi-Hua (23 de julio de 2024). "Campos de calibración y cuatro interacciones en los espacios trigintaduion". Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas . Wiley. doi : 10.1002/mma.10345 . ISSN  0170-4214.
11. Weng, Zihua (2 de abril de 2007). "Campos compuestos y sus ecuaciones cuánticas en el espacio trigintaduonión". arXiv : 0704.0136 . Consultado el 10 de octubre de 2024 .
12. Baluni, Sapna; Yadav, Vijay K.; Das, Subir (2024). "Criterios de estabilidad de Lagrange para redes neuronales hipercomplejas con retrasos variables en el tiempo". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 131 . Elsevier BV: 107765. doi :10.1016/j.cnsns.2023.107765. ISSN  1007-5704.
13. de Marrais, Robert PC (2006). "¡Presto! Digitalización, Parte I: De la teoría de números NKS a la semántica "XORbitante", mediante el proceso Cayley-Dickson y las "representaciones" basadas en divisores cero". arXiv . doi : 10.48550/ARXIV.MATH/0603281 . Consultado el 11 de octubre de 2024 .
14. Cariow, Aleksandr (2015). "Un enfoque unificado para desarrollar algoritmos racionalizados para la multiplicación de números hipercomplejos". Przegląd Elektrotechniczny . 1 (2). Wydawnictwo SIGMA-NO: 38–41. doi :10.15199/48.2015.02.09. ISSN  0033-2097.

• Cariow, A.; Cariowa, G. (2014). "Un algoritmo para la multiplicación de trigintaduonions". Revista de Ciencias Informáticas Teóricas y Aplicadas . 8 (1): 50–75. ISSN  2299-2634 . Consultado el 10 de octubre de 2024 .
• Saniga, Metod; Holweck, Frédéric; Pracna, Petr (2015). "De las álgebras de Cayley-Dickson a los Grassmannianos Combinatorios". Matemáticas . 3 (4). MDPI AG: 1192–1221. arXiv : 1405.6888 . doi : 10.3390/math3041192 . ISSN  2227-7390.  Este artículo incorpora texto de esta fuente, que está disponible bajo la licencia CC BY 4.0.

Enlaces externos

• Paquete hipercomplejo de Python 3
• Teoría de números de simetría perfecta