Producto estrella de Redheffer

Operación binaria

En matemáticas , el producto estrella de Redheffer es una operación binaria sobre operadores lineales que surge en relación con la resolución de sistemas acoplados de ecuaciones lineales . Fue introducido por Raymond Redheffer en 1959, ^[1] y posteriormente ha sido ampliamente adoptado en métodos computacionales para matrices de dispersión . Dadas dos matrices de dispersión de diferentes dispersores lineales, el producto estrella de Redheffer produce la matriz de dispersión combinada producida cuando algunos o todos los canales de salida de un dispersor están conectados a las entradas de otro dispersor.

Definición

Supongamos que las matrices de bloques y , cuyos bloques tienen la misma forma cuando . El producto estrella de Redheffer se define entonces por: ^[1] ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle A_{ij},B_{kl}}$ ${\displaystyle ij=kl}$

${\displaystyle A\star B={\begin{pmatrix}B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{11}&B_{12}+B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{12}B_{22}\\A_{21}+A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{21}A_{11}&A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{22}\end{pmatrix}}}$,

suponiendo que son invertibles , donde es una matriz identidad conforme a o , respectivamente. Esto se puede reescribir de varias maneras haciendo uso de la llamada identidad de transferencia directa . ${\displaystyle (I-A_{12}B_{21}),(I-B_{21}A_{12})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A_{12}B_{21}}$ ${\displaystyle B_{21}A_{12}}$ ${\displaystyle (I-AB)A=A(I-BA)\iff A(I-BA)^{-1}=(I-AB)^{-1}A}$

La definición de Redheffer se extiende más allá de las matrices a los operadores lineales en un espacio de Hilbert . ^[2] . Por definición, son endomorfismos lineales de , lo que hace que los endomorfismos lineales de , donde es la suma directa . Sin embargo, el producto estrella todavía tiene sentido siempre que las transformaciones sean compatibles, lo que es posible cuando y de modo que . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle A_{ij},B_{kl}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\alpha },H_{\alpha }\oplus H_{\gamma })}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {L(H_{\alpha }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\alpha })}}}$ ${\displaystyle A\star B\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\gamma })}}}$

Propiedades

Existencia

${\displaystyle (I-A_{12}B_{21})^{-1}}$existe si y sólo si existe. ^[3] Por lo tanto, cuando cualquiera de ellos existe, también existe el producto estrella de Redheffer. ${\displaystyle (I-B_{21}A_{12})^{-1}}$

Identidad

La identidad de la estrella es la identidad en , o . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&0\\0&I\end{pmatrix}}}$

Asociatividad

El producto estrella es asociativo, siempre que se definan todas las matrices relevantes. ^[3] Por lo tanto . ${\displaystyle A\star B\star C=(A\star B)\star C=A\star (B\star C)}$

Adjunto

Siempre que exista cualquiera de los lados, el adjunto de un producto estrella de Redheffer es . ^[2] ${\displaystyle (A\star B)^{*}=B^{*}\star A^{*}}$

Inverso

Si es la matriz izquierda inversa de tal que , tiene una inversa derecha, y existe, entonces . ^[2] De manera similar, si es la matriz izquierda inversa de tal que , tiene una inversa derecha, y existe, entonces . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BA=I}$ ${\displaystyle A_{22}}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A\star B=I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BA=I}$ ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle B\star A}$ ${\displaystyle B\star A=I}$

Además, si y tiene una inversa izquierda entonces . ${\displaystyle A\star B=I}$ ${\displaystyle A_{22}}$ ${\displaystyle BA=I}$

La estrella inversa es igual a la matriz inversa y ambas se pueden calcular con inversión de bloques como ^[2]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}&(A_{21}-A_{22}A_{12}^{-1}A_{11})^{-1}\\(A_{12}-A_{11}A_{21}^{-1}A_{22})^{-1}&(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\end{pmatrix}}}$.

Derivación de un sistema lineal

El sistema acoplado de ecuaciones, con flechas que etiquetan las entradas y salidas de cada matriz.

El producto estrella surge de la solución de múltiples sistemas lineales de ecuaciones que comparten variables en común. A menudo, cada sistema lineal modela el comportamiento de un subsistema en un proceso físico y, al conectar los múltiples subsistemas en un todo, se pueden eliminar las variables compartidas entre los subsistemas para obtener el sistema lineal general. Por ejemplo, sean elementos de un espacio de Hilbert tales que ^[4] ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{4}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

La "plomería" de uno de los sistemas de ecuaciones de Redheffer.

dando las siguientes ecuaciones en variables: ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 6}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=A_{11}x_{5}+A_{12}x_{4}\\x_{6}&=A_{21}x_{5}+A_{22}x_{4}\\x_{1}&=B_{11}x_{3}+B_{12}x_{2}\\x_{4}&=B_{21}x_{3}+B_{22}x_{2}\end{aligned}}}$.

Sustituyendo la primera ecuación en la última encontramos:

${\displaystyle x_{4}=(I-B_{21}A_{12})^{-1}(B_{21}A_{11}x_{5}+B_{22}x_{2})}$.

Sustituyendo la última ecuación en la primera encontramos:

${\displaystyle x_{3}=(I-A_{12}B_{21})^{-1}(A_{11}x_{5}+A_{12}B_{22}x_{2})}$.

Eliminando mediante la sustitución de las dos ecuaciones anteriores en las de resulta que el producto estrella de Redheffer es la matriz tal que: ^[1] ${\displaystyle x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{6}}$

El producto estrella elimina las variables compartidas en este sistema acoplado de ecuaciones.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{6}\end{pmatrix}}=(A\star B){\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$.

Conexión a matrices de dispersión

La "plomería" de la matriz de dispersión tiene una convención diferente a la de Redheffer, que consiste en intercambiar y volver a etiquetar varias cantidades. La ventaja es que ahora los subíndices de la matriz S etiquetan los puertos de entrada y salida, así como los índices de bloque.

Muchos procesos de dispersión adoptan una forma que motiva una convención diferente para la estructura de bloques del sistema lineal de una matriz de dispersión. Normalmente, un dispositivo físico que realiza una transformación lineal en las entradas, como un medio dieléctrico lineal en ondas electromagnéticas o en la dispersión mecánica cuántica, se puede encapsular como un sistema que interactúa con el entorno a través de varios puertos, cada uno de los cuales acepta entradas y devuelve salidas. Es convencional utilizar una notación diferente para el espacio de Hilbert, , cuyo subíndice etiqueta un puerto en el dispositivo. Además, cualquier elemento, , tiene un superíndice adicional que etiqueta la dirección de desplazamiento (donde + indica movimiento del puerto i a i+1 y - indica lo contrario). ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}^{\pm }\in {\mathcal {H}}_{i}}$

La notación equivalente para una transformación de Redheffer, , utilizada en la sección anterior es ${\displaystyle R\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{2}\oplus H_{1})}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}R_{11}&R_{12}\\R_{21}&R_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}}$.

La acción de la matriz S , , se define con un cambio adicional en comparación con la definición de Redheffer: ^[5] ${\displaystyle S\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1}^{-}\\c_{2}^{+}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}}$,

Entonces , nótese que para que se definan las matrices identidad fuera de la diagonal, requerimos que sean el mismo espacio de Hilbert subyacente. (El subíndice no implica ninguna diferencia, sino que es solo una etiqueta para llevar la contabilidad). ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}R}$ ${\displaystyle {\mathcal {H_{1},H_{2}}}}$

El producto estrella, , para dos matrices S, , está dado por ^[5] ${\displaystyle \star _{S}}$ ${\displaystyle A,B}$

La "plomería" de un par acoplado de matrices de dispersión en un producto estrella.

${\displaystyle A\star _{S}B={\begin{pmatrix}A_{11}+A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{11}A_{21}&A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{12}\\B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{21}&B_{22}+B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{22}B_{12}\end{pmatrix}}}$,

donde y , entonces . ${\displaystyle A\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{3},H_{2}\oplus H_{3})}}}$ ${\displaystyle A\star _{S}B\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{3},H_{1}\oplus H_{3})}}}$

Propiedades

Estas son análogas a las propiedades de para La mayoría de ellas se derivan de la correspondencia . , el operador de intercambio, es también la identidad de estrella de la matriz S definida a continuación. Para el resto de esta sección, son matrices S. ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star _{S}}$ ${\displaystyle J(A\star B)=(JA)\star _{S}(JB)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A,B,C}$

Existencia

${\displaystyle A\star _{S}B}$existe cuando existe o . ${\displaystyle (I-A_{22}B_{11})^{-1}}$ ${\displaystyle (I-B_{11}A_{22})^{-1}}$

Identidad

La identidad de la estrella de la matriz S, , es . Esto significa ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle J\star _{S}S=S\star _{S}J=S}$

Asociatividad

La asociatividad de se deriva de la asociatividad de y de la multiplicación de matrices. ${\displaystyle \star _{S}}$ ${\displaystyle \star }$

Adjunto

De la correspondencia entre y , y el adjunto de , tenemos que ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star _{S}}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle (A\star _{S}B)^{*}=J(B^{*}\star _{S}A^{*})J}$

Inverso

La matriz que es el producto estrella de la matriz S inversa de en el sentido de que es donde es la matriz ordinaria inversa y es como se definió anteriormente. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma \star _{S}S=S\star _{S}\Sigma =J}$ ${\displaystyle JS^{-1}J}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle J}$

Conexión a matrices de transferencia

Las matrices de transferencia tienen una "tubería" diferente a la de las matrices de dispersión. Conectan un puerto con otro en lugar de conectar las entradas de todos los puertos con las salidas de todos los puertos.

Obsérvese que una matriz de dispersión se puede reescribir como una matriz de transferencia , , con acción , donde ^[6] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}=T{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}T_{\scriptscriptstyle ++}&T_{\scriptscriptstyle +-}\\T_{\scriptscriptstyle -+}&T_{\scriptscriptstyle --}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{21}-S_{22}S_{12}^{-1}S_{11}&S_{22}S_{12}^{-1}\\-S_{12}^{-1}S_{11}&S_{12}^{-1}\end{pmatrix}}}$.

Aquí los subíndices relacionan las diferentes direcciones de propagación en cada puerto. Como resultado, el producto estrella de las matrices de dispersión

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}=(S^{A}\star S^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}}$,

es análoga a la siguiente multiplicación matricial de matrices de transferencia ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}=(T^{A}T^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}}$,

donde y , entonces . ${\displaystyle T^{A}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{2}\oplus H_{2})}}}$ ${\displaystyle T^{B}\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{2},H_{3}\oplus H_{3})}}}$ ${\displaystyle T^{A}T^{B}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{3}\oplus H_{3})}}}$

Generalizaciones

Redheffer generalizó el producto estrella de varias maneras:

Biyecciones arbitrarias

Si existe una biyección dada por entonces un producto estrella asociativo puede definirse por: ^[7] ${\displaystyle M\leftrightarrow L}$ ${\displaystyle L=f(M)}$

${\displaystyle A\star B=f^{-1}(f(A)f(B))}$.

El producto estrella particular definido por Redheffer anteriormente se obtiene de:

${\displaystyle f(A)=((I-A)+(I+A)J)^{-1}((A-I)+(A+I)J)}$

dónde . ${\displaystyle J(x,y)=(-x,y)}$

Producto de 3x3 estrellas

También se puede definir un producto estrella para matrices 3x3. ^[8]

Aplicaciones a matrices de dispersión

En física , el producto de estrella de Redheffer aparece cuando se construye una matriz de dispersión total a partir de dos o más subsistemas. Si el sistema tiene una matriz de dispersión y el sistema tiene una matriz de dispersión , entonces el sistema combinado tiene una matriz de dispersión . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{A}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S^{B}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle S^{AB}=S^{A}\star S^{B}}$

Teoría de líneas de transmisión

Muchos procesos físicos, incluyendo la transferencia radiativa, la difusión de neutrones, la teoría de circuitos y otros, se describen mediante procesos de dispersión cuya formulación depende de la dimensión del proceso y de la representación de los operadores. ^[6] Para problemas probabilísticos, la ecuación de dispersión puede aparecer en una ecuación de tipo Kolmogorov .

Electromagnetismo

El producto estrella de Redheffer se puede utilizar para calcular la propagación de campos electromagnéticos en medios estratificados y multicapa. ^[9] Cada capa de la estructura tiene su propia matriz de dispersión y la matriz de dispersión de la estructura total se puede describir como el producto estrella entre todas las capas. ^[10] Un programa de software gratuito que simula el electromagnetismo en medios estratificados es Stanford Stratified Structure Solver.

Interfaces de semiconductores

Los modelos cinéticos de interfaces de semiconductores consecutivos pueden utilizar una formulación de matriz de dispersión para modelar el movimiento de los electrones entre los semiconductores. ^[11]

Factorización en gráficos

En el análisis de los operadores de Schrödinger sobre grafos, la matriz de dispersión de un grafo se puede obtener como un producto estrella generalizado de las matrices de dispersión correspondientes a sus subgrafos. ^[12]

Referencias

1. Redheffer, Raymond (1959). "Desigualdades para una ecuación matricial de Riccati". Revista de Matemáticas y Mecánica . 8 (3): 349–367. ISSN  0095-9057. JSTOR  24900576.
2. Redheffer, RM (1960). "Sobre una determinada transformación fraccionaria lineal". Revista de matemáticas y física . 39 (1–4): 269–286. doi :10.1002/sapm1960391269. ISSN  1467-9590.
3. Mistiri, F. (1986-01-01). "El producto estrella y sus propiedades algebraicas". Revista del Instituto Franklin . 321 (1): 21–38. doi :10.1016/0016-0032(86)90053-0. ISSN  0016-0032.
4. Liu, Victor. "Sobre matrices de dispersión y el producto estrella de Redheffer" (PDF) . Consultado el 26 de junio de 2021 .
5. Rumpf, Raymond C. (2011). "Formulación mejorada de matrices de dispersión para métodos semianalíticos que es consistente con la convención". Progress in Electromagnetics Research B . 35 : 241–261. doi : 10.2528/PIERB11083107 . ISSN  1937-6472.
6. Redheffer, Raymond (1962). "Sobre la relación de la teoría de líneas de transmisión con la dispersión y la transferencia". Revista de matemáticas y física . 41 (1–4): 1–41. doi :10.1002/sapm19624111. ISSN  1467-9590.
7. Redheffer, Raymond (1960). "Nota suplementaria sobre ecuaciones matriciales de Riccati". Revista de matemáticas y mecánica . 9 (5): 745–7f48. ISSN  0095-9057. JSTOR  24900784.
8. Redheffer, Raymond M. (1960). "El problema de difusión de Mycielski-Paszkowski". Revista de Matemáticas y Mecánica . 9 (4): 607–621. ISSN  0095-9057. JSTOR  24900958.
9. Ko, DYK; Sambles, JR (1988-11-01). "Método de matriz de dispersión para propagación de radiación en medios estratificados: estudios de reflexión total atenuada de cristales líquidos". JOSA A . 5 (11): 1863–1866. Bibcode :1988JOSAA...5.1863K. doi :10.1364/JOSAA.5.001863. ISSN  1520-8532.
10. Whittaker, DM; Culshaw, IS (15 de julio de 1999). "Tratamiento con matriz de dispersión de estructuras fotónicas multicapa estampadas". Physical Review B . 60 (4): 2610–2618. Bibcode :1999PhRvB..60.2610W. doi :10.1103/PhysRevB.60.2610.
11. Gosse, Laurent (1 de enero de 2014). "Productos Redheffer y aproximación numérica de corrientes en modelos cinéticos unidimensionales de semiconductores". Modelado y simulación multiescala . 12 (4): 1533–1560. doi :10.1137/130939584. ISSN  1540-3459.
12. Kostrykin, V.; Schrader, R. (22 de marzo de 2001). "El producto estrella generalizado y la factorización de matrices de dispersión en grafos". Journal of Mathematical Physics . 42 (4): 1563–1598. arXiv : math-ph/0008022 . Código Bibliográfico :2001JMP....42.1563K. doi :10.1063/1.1354641. ISSN  0022-2488. S2CID  6791638.