Ecuaciones de Kolmogorov

Ecuaciones que caracterizan los procesos de Markov en tiempo continuo

En teoría de la probabilidad , las ecuaciones de Kolmogorov , incluidas las ecuaciones de Kolmogorov hacia delante y las ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás , caracterizan los procesos de Markov de tiempo continuo . En particular, describen cómo cambia con el tiempo la probabilidad de un proceso de Markov de tiempo continuo en un estado determinado.

Procesos de difusión vs. procesos de salto

En 1931, Andrei Kolmogorov partió de la teoría de los procesos de Markov en tiempo discreto, que se describen mediante la ecuación de Chapman-Kolmogorov , y trató de derivar una teoría de los procesos de Markov en tiempo continuo ampliando esta ecuación. Descubrió que existen dos tipos de procesos de Markov en tiempo continuo, según el comportamiento asumido en pequeños intervalos de tiempo:

Si asumimos que "en un pequeño intervalo de tiempo existe una probabilidad abrumadora de que el estado permanezca inalterado; sin embargo, si cambia, el cambio puede ser radical", ^[1] entonces llegamos a lo que se denomina procesos de salto .

El otro caso conduce a procesos como los "representados por la difusión y por el movimiento browniano ; allí es seguro que ocurrirá algún cambio en cualquier intervalo de tiempo, por pequeño que sea; sólo que aquí es seguro que los cambios durante pequeños intervalos de tiempo también serán pequeños". ^[1]

Para cada uno de estos dos tipos de procesos, Kolmogorov derivó un sistema de ecuaciones hacia adelante y hacia atrás (cuatro en total).

Historia

Las ecuaciones llevan el nombre de Andrei Kolmogorov, ya que fueron destacadas en su trabajo fundacional de 1931. ^[2]

William Feller , en 1949, utilizó los nombres "ecuación directa" y "ecuación inversa" para su versión más general del par de Kolmogorov, tanto en procesos de salto como de difusión. ^[1] Mucho más tarde, en 1956, se refirió a las ecuaciones para el proceso de salto como "ecuaciones directas de Kolmogorov" y "ecuaciones inversas de Kolmogorov". ^[3]

Otros autores, como Motoo Kimura , ^[4] se refirieron a la ecuación de difusión (Fokker-Planck) como ecuación directa de Kolmogorov, un nombre que ha persistido.

La visión moderna

• En el contexto de un proceso de Markov de tiempo continuo con saltos , véase ecuaciones de Kolmogorov (proceso de saltos de Markov) . En particular, en ciencias naturales la ecuación directa también se conoce como ecuación maestra .
• En el contexto de un proceso de difusión , para las ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás, véase ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás (difusión) . La ecuación de Kolmogorov hacia adelante también se conoce como ecuación de Fokker-Planck .

Cadenas de Markov de tiempo continuo

La derivación original de las ecuaciones de Kolmogorov comienza con la ecuación de Chapman-Kolmogorov (Kolmogorov la llamó ecuación fundamental ) para procesos de Markov continuos en el tiempo y diferenciables en un espacio de estados finito y discreto. ^[2] En esta formulación, se supone que las probabilidades son funciones continuas y diferenciables de , donde (el espacio de estados) y son los tiempos final e inicial, respectivamente. Además, se suponen propiedades límite adecuadas para las derivadas. Feller deriva las ecuaciones en condiciones ligeramente diferentes, comenzando con el concepto de proceso de Markov puramente discontinuo y luego formulándolas para espacios de estados más generales. ^[5] Feller demuestra la existencia de soluciones de carácter probabilístico para las ecuaciones directas de Kolmogorov y las ecuaciones inversas de Kolmogorov en condiciones naturales. ^[5] ${\displaystyle P(x,s;y,t)}$ ${\displaystyle t>s}$ ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ ${\displaystyle t>s,t,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Para el caso de un espacio de estados contable , ponemos en lugar de . Las ecuaciones directas de Kolmogorov se leen ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)}$,

¿Dónde está la matriz de tasa de transición (también conocida como matriz generadora)? ${\displaystyle A(t)}$

mientras que las ecuaciones de Kolmogorov hacia atrás son

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}P_{kj}(s;t)A_{ik}(s)}$

Las funciones son continuas y diferenciables en ambos argumentos temporales. Representan la probabilidad de que el sistema que estaba en un estado en un momento pase al estado en un momento posterior . Las cantidades continuas satisfacen ${\displaystyle P_{ij}(s;t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle t>s}$ ${\displaystyle A_{ij}(t)}$

${\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}$

Relación con la función generadora

Aún en el caso de estado discreto, dejando y asumiendo que el sistema se encuentra inicialmente en el estado , las ecuaciones directas de Kolmogorov describen un problema de valor inicial para hallar las probabilidades del proceso, dadas las cantidades . Escribimos donde , entonces ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{jk}(t)}$ ${\displaystyle p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1}$

${\displaystyle {\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .}$

Para el caso de un proceso de muerte pura con tasas constantes, los únicos coeficientes distintos de cero son . Dejando ${\displaystyle A_{j,j-1}=\mu _{j},\ j\geq 1}$

${\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad }$

En este caso, el sistema de ecuaciones puede reformularse como una ecuación diferencial parcial para con condición inicial . Después de algunas manipulaciones, el sistema de ecuaciones queda como sigue: ^[6] ${\displaystyle {\Psi }(x,t)}$ ${\displaystyle \Psi (x,0)=x^{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.}$

Un ejemplo de la biología

A continuación se ofrece un ejemplo de biología: ^[7]

${\displaystyle p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)}$

Esta ecuación se aplica para modelar el crecimiento de la población con la natalidad . Donde es el índice de población, tomando como referencia la población inicial, es la tasa de natalidad y, por último , es la probabilidad de alcanzar un determinado tamaño de población . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)}$

La solución analítica es: ^[7]

${\displaystyle p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s}$

Esta es una fórmula para la probabilidad en términos de las anteriores, es decir . ${\displaystyle p_{n}(t)}$ ${\displaystyle p_{n-1}(t)}$

Véase también

• Fórmula de Feynman-Kac
• Ecuación de Fokker-Planck
• Ecuación inversa de Kolmogorov

Referencias

1. Feller, W. (1949). "Sobre la teoría de los procesos estocásticos, con especial referencia a las aplicaciones". Actas del (primer) simposio de Berkeley sobre estadística matemática y probabilidad . Vol. 1. University of California Press. págs. 403–432.
2. Kolmogorov, Andrei (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung" [Sobre los métodos analíticos en la teoría de la probabilidad]. Mathematische Annalen (en alemán). 104 : 415–458. doi :10.1007/BF01457949. S2CID  119439925.
3. Feller, William (1957). "Sobre límites y condiciones laterales para las ecuaciones diferenciales de Kolmogorov". Anales de Matemáticas . 65 (3): 527–570. doi :10.2307/1970064. JSTOR  1970064.
4. Kimura, Motoo (1957). "Algunos problemas de procesos estocásticos en genética". Anales de estadística matemática . 28 (4): 882–901. doi : 10.1214/aoms/1177706791 . JSTOR  2237051.
5. Feller, Willy (1940) "Sobre las ecuaciones integrodiferenciales de procesos de marcado puramente discontinuos", Transactions of the American Mathematical Society , 48 (3), 488-515 JSTOR  1990095
6. Bailey, Norman TJ (1990) Los elementos de los procesos estocásticos con aplicaciones a las ciencias naturales , Wiley. ISBN 0-471-52368-2 (página 90) 
7. Logan, J. David; Wolesensky, William R. (2009). Métodos matemáticos en biología . Matemáticas puras y aplicadas. John Wiley & Sons. págs. 325–327. ISBN 978-0-470-52587-6.