En matemáticas –específicamente, en análisis estocástico– una difusión de Itô es una solución a un tipo específico de ecuación diferencial estocástica . Esa ecuación es similar a la ecuación de Langevin utilizada en física para describir el movimiento browniano de una partícula sometida a un potencial en un fluido viscoso . Las difusiones de Itô llevan el nombre del matemático japonés Kiyosi Itô .
Una difusión de Itô ( homogénea en el tiempo ) en un espacio euclidiano de n dimensiones R n es un proceso X : [0, +∞) × Ω → R n definido en un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ) y que satisface una ecuación diferencial estocástica de la forma
donde B es un movimiento browniano m -dimensional y b : R n → R n y σ : R n → R n × m satisfacen la condición de continuidad habitual de Lipschitz
para alguna constante C y todo x , y ∈ R n ; esta condición asegura la existencia de una solución fuerte única X para la ecuación diferencial estocástica dada anteriormente. El campo vectorial b se conoce como coeficiente de deriva de X ; el campo matricial σ se conoce como coeficiente de difusión de X. Es importante señalar que b y σ no dependen del tiempo; si dependieran del tiempo, se haría referencia a X sólo como un proceso de Itô , no como una difusión. Las difusiones de Itô tienen una serie de propiedades interesantes, que incluyen
En particular, una difusión de Itô es un proceso continuo, fuertemente markoviano, tal que el dominio de su operador característico incluye todas las funciones dos veces continuamente diferenciables , por lo que es una difusión en el sentido definido por Dynkin (1965).
Una difusión de Itô X es un proceso continuo de muestra , es decir, para casi todas las realizaciones B t (ω) del ruido, X t (ω) es una función continua del parámetro tiempo, t . Más precisamente, existe una "versión continua" de X , un proceso continuo Y de modo que
Esto se desprende de la teoría estándar de existencia y unicidad para soluciones fuertes de ecuaciones diferenciales estocásticas.
Además de ser (muestra) continua, una difusión Itô X satisface el requisito más estricto de ser un proceso continuo de Feller .
Para un punto x ∈ R n , sea P x la ley de X dado el dato inicial X 0 = x , y sea Ex la expectativa con respecto a P x .
Sea f : R n → R una función Borel - medible que está acotada por debajo y defina, para t fijo ≥ 0, u : R n → R por
El comportamiento de la función u anterior cuando se varía el tiempo t se aborda mediante la ecuación hacia atrás de Kolmogorov, la ecuación de Fokker-Planck, etc. (Ver más abajo).
Una difusión de Itô X tiene la importante propiedad de ser markoviana : el comportamiento futuro de X , dado lo que ha sucedido hasta algún momento t , es el mismo que si el proceso se hubiera iniciado en la posición X t en el tiempo 0. La formulación de esta declaración requiere alguna notación adicional:
Sea Σ ∗ la filtración natural de (Ω, Σ) generada por el movimiento browniano B : para t ≥ 0,
Es fácil demostrar que X está adaptado a Σ ∗ (es decir, cada X t es Σ t -medible), por lo que la filtración natural F ∗ = F ∗ X de (Ω, Σ) generada por X tiene F t ⊆ Σ t para cada t ≥ 0.
Sea f : R n → R una función acotada y medible por Borel. Entonces, para todo t y h ≥ 0, la expectativa condicional condicionada al σ-álgebra Σ t y la expectativa del proceso "reiniciado" desde X t satisfacen la propiedad de Markov :
De hecho, X también es un proceso de Markov con respecto a la filtración F ∗ , como se muestra a continuación:
La propiedad fuerte de Markov es una generalización de la propiedad de Markov anterior en la que t se reemplaza por un tiempo aleatorio adecuado τ: Ω → [0, +∞] conocido como tiempo de parada . Entonces, por ejemplo, en lugar de "reiniciar" el proceso X en el momento t = 1, se podría "reiniciar" siempre que X alcance por primera vez algún punto específico p de R n .
Como antes, sea f : R n → R una función acotada y medible por Borel. Sea τ un tiempo de parada con respecto a la filtración Σ ∗ con τ < +∞ casi con seguridad . Entonces, para todo h ≥ 0,
Asociado a cada difusión de Itô existe un operador diferencial parcial de segundo orden conocido como generador de la difusión. El generador es muy útil en muchas aplicaciones y codifica una gran cantidad de información sobre el proceso X. Formalmente, el generador infinitesimal de una difusión de Itô X es el operador A , que se define para actuar sobre funciones adecuadas f : R n → R por
El conjunto de todas las funciones f para las cuales existe este límite en un punto x se denota D A ( x ), mientras que D A denota el conjunto de todas las f para las cuales existe el límite para todos x ∈ R n . Se puede demostrar que cualquier función f C 2 soportada compactamente (dos veces diferenciable con segunda derivada continua) está en D A y que
o, en términos de gradiente y productos internos escalares y de Frobenius ,
El generador A para el movimiento browniano estándar de n dimensiones B , que satisface la ecuación diferencial estocástica d X t = d B t , viene dado por
es decir, A = Δ/2, donde Δ denota el operador de Laplace .
El generador se utiliza en la formulación de la ecuación hacia atrás de Kolmogorov. Intuitivamente, esta ecuación nos dice cómo evoluciona en el tiempo el valor esperado de cualquier estadística adecuadamente suave de X : debe resolver una determinada ecuación diferencial parcial en la que el tiempo t y la posición inicial x son las variables independientes. Más precisamente, si f ∈ C 2 ( R n ; R ) tiene soporte compacto y u : [0, +∞) × R n → R está definido por
entonces u ( t , x ) es diferenciable con respecto a t , u ( t , ·) ∈ D A para todo t , y u satisface la siguiente ecuación diferencial parcial , conocida como ecuación hacia atrás de Kolmogorov :
La ecuación de Fokker-Planck (también conocida como ecuación directa de Kolmogorov ) es en cierto sentido el " adjunto " de la ecuación hacia atrás y nos dice cómo evolucionan las funciones de densidad de probabilidad de Xt con el tiempo t . Sea ρ( t , ·) la densidad de X t con respecto a la medida de Lebesgue en R n , es decir, para cualquier conjunto medible por Borel S ⊆ R n ,
Sea A ∗ el adjunto hermitiano de A (con respecto al producto interno L 2 ). Entonces, dado que la posición inicial X 0 tiene una densidad prescrita ρ 0 , ρ( t , x ) es derivable con respecto a t , ρ( t , ·) ∈ D A * para todo t , y ρ satisface el siguiente diferencial parcial ecuación, conocida como ecuación de Fokker-Planck :
La fórmula de Feynman-Kac es una generalización útil de la ecuación hacia atrás de Kolmogorov. Nuevamente, f está en C 2 ( R n ; R ) y tiene soporte compacto, y q : R n → R se considera una función continua acotada por debajo. Defina una función v : [0, +∞) × R n → R por
La fórmula de Feynman-Kac establece que v satisface la ecuación diferencial parcial
Además, si w : [0, +∞) × R n → R es C 1 en el tiempo, C 2 en el espacio, acotado en K × R n para todo K compacto , y satisface la ecuación diferencial parcial anterior, entonces w debe ser v como se definió anteriormente.
La ecuación hacia atrás de Kolmogorov es el caso especial de la fórmula de Feynman-Kac en la que q ( x ) = 0 para todo x ∈ R n .
El operador característico de una difusión Itô X es un operador diferencial parcial estrechamente relacionado con el generador, pero algo más general. Es más adecuado para determinados problemas, por ejemplo en la solución del problema de Dirichlet .
El operador característico de una difusión de Itô X está definido por
donde los conjuntos U forman una secuencia de conjuntos abiertos U k que disminuyen hasta el punto x en el sentido de que
y
es el primer tiempo de salida de U para X . denota el conjunto de todos los f para los cuales existe este límite para todos los x ∈ R n y todas las secuencias { U k }. Si E x [τ U ] = +∞ para todos los conjuntos abiertos U que contienen x , defina
El operador característico y el generador infinitesimal están muy relacionados e incluso coinciden para una gran clase de funciones. Uno puede demostrar que
y eso
En particular, el generador y el operador característico coinciden para todas las funciones C 2 f , en cuyo caso
Arriba, se calculó que el generador (y por tanto el operador característico) del movimiento browniano en R n era ½Δ, donde Δ denota el operador de Laplace. El operador característico es útil para definir el movimiento browniano en una variedad de Riemann m -dimensional ( M , g ): un movimiento browniano en M se define como una difusión en M cuyo operador característico en coordenadas locales x i , 1 ≤ i ≤ m , está dado por ½Δ LB , donde Δ LB es el operador de Laplace-Beltrami dado en coordenadas locales por
donde [ g ij ] = [ g ij ] −1 en el sentido de la inversa de una matriz cuadrada .
En general, el generador A de una difusión de Itô X no es un operador acotado . Sin embargo, si se resta de A un múltiplo positivo del operador de identidad I , entonces el operador resultante es invertible. El inverso de este operador se puede expresar en términos del propio X utilizando el operador resolutivo .
Para α > 0, el operador resolutivo R α , que actúa sobre funciones continuas acotadas g : R n → R , se define por
Se puede demostrar, utilizando la continuidad de Feller de la difusión X , que R α g es en sí misma una función continua acotada. Además, R α y α I − A son operadores mutuamente inversos:
A veces es necesario encontrar una medida invariante para una difusión de Itô X , es decir, una medida en R n que no cambie bajo el "flujo" de X : es decir, si X 0 se distribuye según dicha medida invariante μ ∞ , entonces X t también se distribuye según μ ∞ para cualquier t ≥ 0. La ecuación de Fokker-Planck ofrece una manera de encontrar dicha medida, al menos si tiene una función de densidad de probabilidad ρ ∞ : si X 0 de hecho se distribuye según una medida invariante μ ∞ con densidad ρ ∞ , entonces la densidad ρ( t , ·) de X t no cambia con t , entonces ρ( t , ·) = ρ ∞ , por lo que ρ ∞ debe resolver el (independiente del tiempo) ecuación diferencial parcial
Esto ilustra una de las conexiones entre el análisis estocástico y el estudio de ecuaciones diferenciales parciales. Por el contrario, una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden dada de la forma Λ f = 0 puede ser difícil de resolver directamente, pero si Λ = A ∗ para alguna difusión de Itô X y una medida invariante para X es fácil de calcular, entonces eso La densidad de la medida proporciona una solución a la ecuación diferencial parcial.
Una medida invariante es comparativamente fácil de calcular cuando el proceso X es un flujo de gradiente estocástico de la forma
donde β > 0 juega el papel de una temperatura inversa y Ψ : R n → R es un potencial escalar que satisface condiciones adecuadas de suavidad y crecimiento. En este caso, la ecuación de Fokker-Planck tiene una solución estacionaria única ρ ∞ (es decir, X tiene una medida invariante única μ ∞ con densidad ρ ∞ ) y viene dada por la distribución de Gibbs :
donde la función de partición Z está dada por
Además, la densidad ρ ∞ satisface un principio variacional : minimiza sobre todas las densidades de probabilidad ρ en R n la energía libre funcional F dada por
dónde
desempeña el papel de un funcional energético, y
es el negativo del funcional de entropía de Gibbs-Boltzmann. Incluso cuando el potencial Ψ no se comporta lo suficientemente bien como para definir la función de partición Z y la medida de Gibbs μ ∞ , la energía libre F [ρ( t , ·)] todavía tiene sentido para cada momento t ≥ 0, siempre que la condición inicial tiene F [ρ(0, ·)] < +∞. El funcional de energía libre F es, de hecho, una función de Lyapunov para la ecuación de Fokker-Planck: F [ρ( t , ·)] debe disminuir a medida que t aumenta. Por tanto, F es una función H para la dinámica X.
Considere el proceso de Ornstein-Uhlenbeck X sobre R n que satisface la ecuación diferencial estocástica
donde m ∈ R n y β, κ > 0 son constantes dadas. En este caso, el potencial Ψ viene dado por
y entonces la medida invariante para X es una medida gaussiana con densidad ρ ∞ dada por
Heurísticamente, para t grande , Xt tiene una distribución aproximadamente normal con media m y varianza (βκ) −1 . La expresión de la varianza se puede interpretar de la siguiente manera: valores grandes de κ significan que el pozo potencial Ψ tiene "lados muy empinados", por lo que es poco probable que X t se aleje del mínimo de Ψ en m ; de manera similar, valores grandes de β significan que el sistema está bastante "frío" con poco ruido, por lo que, nuevamente, es poco probable que Xt se aleje mucho de m .
En general, una difusión de Itô X no es una martingala . Sin embargo, para cualquier f ∈ C 2 ( R n ; R ) con soporte compacto, el proceso M : [0, +∞) × Ω → R definido por
donde A es el generador de X , es una martingala respecto de la filtración natural F ∗ de (Ω, Σ) por X . La prueba es bastante simple: de la expresión habitual de la acción del generador sobre funciones f suficientemente suaves y del lema de Itô (la regla de la cadena estocástica ) se deduce que
Dado que las integrales de Itô son martingalas con respecto a la filtración natural Σ ∗ de (Ω, Σ) por B , para t > s ,
Por lo tanto, según sea necesario,
ya que M s es F s -medible.
La fórmula de Dynkin, que lleva el nombre de Eugene Dynkin , da el valor esperado de cualquier estadística adecuadamente suave de una difusión de Itô X (con generador A ) en un tiempo de parada. Precisamente, si τ es un tiempo de parada con E x [τ] < +∞, y f : R n → R es C 2 con soporte compacto, entonces
La fórmula de Dynkin se puede utilizar para calcular muchas estadísticas útiles sobre los tiempos de parada. Por ejemplo, el movimiento browniano canónico en la línea real que comienza en 0 sale del intervalo (− R , + R ) en un tiempo aleatorio τ R con el valor esperado
La fórmula de Dynkin proporciona información sobre el comportamiento de X en un tiempo de parada bastante general. Para obtener más información sobre la distribución de X en un momento de impacto , se puede estudiar la medida armónica del proceso.
En muchas situaciones, es suficiente saber cuándo una difusión de Itô X dejará por primera vez un conjunto mensurable H ⊆ R n . Es decir, se desea estudiar el primer tiempo de salida.
A veces, sin embargo, también se desea conocer la distribución de los puntos en los que X sale del conjunto. Por ejemplo, el movimiento browniano canónico B en la línea real que comienza en 0 sale del intervalo (−1, 1) en −1 con probabilidad ½ y en 1 con probabilidad ½, por lo que B τ (−1, 1) está distribuido uniformemente en la establezca {-1, 1}.
En general, si G está incrustado de forma compacta dentro de R n , entonces la medida armónica (o distribución de impacto ) de X en el límite ∂ G de G es la medida μ G x definida por
para x ∈ GRAMO y F ⊆ ∂ GRAMO .
Volviendo al ejemplo anterior del movimiento browniano, se puede demostrar que si B es un movimiento browniano en R n que comienza en x ∈ R n y D ⊂ R n es una bola abierta centrada en x , entonces la medida armónica de B en ∂ D es invariante bajo todas las rotaciones de D sobre x y coincide con la medida de superficie normalizada en ∂ D .
La medida armónica satisface una interesante propiedad del valor medio : si f : R n → R es cualquier función acotada, medible por Borel y φ está dada por
entonces, para todos los conjuntos de Borel G ⊂⊂ H y todos x ∈ G ,
La propiedad del valor medio es muy útil en la solución de ecuaciones diferenciales parciales mediante procesos estocásticos .
Sea A un operador diferencial parcial en un dominio D ⊆ R n y sea X una difusión de Itô con A como generador. Intuitivamente, la medida de Green de un conjunto de Borel H es el tiempo esperado que X permanece en H antes de abandonar el dominio D. Es decir, la medida de Green de X con respecto a D en x , denotada G ( x , ·), se define para conjuntos de Borel H ⊆ R n por
o para funciones continuas acotadas f : D → R por
El nombre "medida verde" proviene del hecho de que si X es un movimiento browniano, entonces
donde G ( x , y ) es la función de Green para el operador ½Δ en el dominio D .
Supongamos que E x [τ D ] < +∞ para todo x ∈ D . Entonces la fórmula de Green es válida para todo f ∈ C 2 ( R n ; R ) con soporte compacto:
En particular, si el soporte de f está incrustado de forma compacta en D ,
![{\displaystyle \mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ para todos }}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfadd74118eeaec23dfc31d658c76eb54b7e935a)
![{\displaystyle u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67074cef3f266b25d7bc717b0fcfd8d4d340a24d)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf { mi} ^{X_{t}(\omega)}[f(X_{h})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8903fa0e80708853aeb75a0263297befd5193e2d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^ {x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t} \right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_ {t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51249c7b389df0130d40c46927cb4e83229e27bd)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76020ea9a111d51812ca2dc4539437372f2aeda8)
![{\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bbacf1a9e7e584f321a9a32fd87f6218776b7)
![{\displaystyle u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d3e9ef1ecad2266c26e7154237233328c88e99)
![{\displaystyle \mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\,\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cbb30dfea0eb40f642d7706d4f99f5839e1d48)
![{\displaystyle v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm { d} s\right)f(X_{t})\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f987cda421266eb13c9699a2fd7098704cb7698a)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}) })\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _ {U}]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082b14ed2c141dc8165a21107f2913bffea6b658)
![{\displaystyle R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t} )\,\mathrm {d} t\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d5db5ad58b18eedbf3ea67553af0caec488d08)
![{\displaystyle F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27ebff00cf0748b5abf723416b9c7f883d2c5e6)
![{\displaystyle E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b462ab6458616932b57a68bc30ea66c30db3915c)
![{\displaystyle S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a99acc454700129da879ee0b708035dd93ae900)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f240c98d34be95ede8af2b8346f9bbc75bc193a3)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [} M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s }{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fb86554a6af76f82df2f389932736094e0898f)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40310c2ff87077bbda2c6656e3ba340b6b70feb2)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{0}[\tau _ {R}]=R^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47ef7b9385e4da453f13672e41e84515392c0b2)
![{\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9281fd0d7a7d620dde6c7a7edabe00be1bb67f)
![{\displaystyle \varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868e6fbcc7436e4d657b6f54bbbf258a7b3ec88f)
![{\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\ ,\mathrm {d} s\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c31b6290036aab7780f2db087113cf571f14d0)
![{\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _ {D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8a58f4f52c4cdc917d0f5f662c31728b358ec5)
![{\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y) \,G(x,\mathrm {d} y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e0ff4f260285924d550fea6f23411ef3c6504b)
