proceso de talador

Proceso estocástico

En la teoría de la probabilidad relacionada con los procesos estocásticos , un proceso de Feller es un tipo particular de proceso de Markov .

Definiciones

Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto con una base contable . Sea C ₀ ( X ) el espacio de todas las funciones continuas de valor real en X que desaparecen en el infinito , equipadas con la norma sup || f  ||. A partir del análisis, sabemos que C ₀ ( X ) con la norma sup es un espacio de Banach .

Un semigrupo de Feller en C ₀ ( X ) es una colección { T _t } _{t  ≥ 0 de} aplicaciones lineales positivas de C ₀ ( X ) a sí mismo tal que

• || T _tf  ||​ ≤ || f  || para todo t  ≥ 0 y f en C ₀ ( X ), es decir, es una contracción (en sentido débil);
• la propiedad del semigrupo : T _{t  +  s}  =  T _t  ∘ T _s para todo s , t ≥ 0;
• límite _{t  → 0} || T _t f  −  f  || = 0 para cada f en C ₀ ( X ). Usando la propiedad del semigrupo, esto es equivalente a que el mapa T _t f   de t en [0,∞) a C ₀ ( X ) sea continuo por la derecha para cada f .

Advertencia : esta terminología no es uniforme en toda la literatura. En particular, algunos autores reemplazan la suposición de que T _t asigna C ₀ ( X ) a sí mismo por la condición de que asigna C _b ( X ), el espacio de funciones continuas acotadas, a sí mismo. La razón de esto es doble: en primer lugar, permite incluir procesos que entran "desde el infinito" en un tiempo finito. En segundo lugar, es más adecuado para el tratamiento de espacios que no son localmente compactos y para los cuales la noción de "desaparecer en el infinito" no tiene sentido.

Una función de transición de Feller es una función de transición de probabilidad asociada con un semigrupo de Feller.

Un proceso de Feller es un proceso de Markov con una función de transición de Feller.

Generador

Los procesos de Feller (o semigrupos de transición) pueden describirse mediante su generador infinitesimal . Se dice que una función f en C ₀ está en el dominio del generador si el límite uniforme

${\displaystyle Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},}$

existe. El operador A es el generador de T _t , y el espacio de funciones en el que se define se escribe como D _A .

El teorema de Hille-Yosida da una caracterización de los operadores que pueden ocurrir como el generador infinitesimal de los procesos de Feller . Esto utiliza el solvente del semigrupo Feller, definido a continuación.

Disolvente

El resolutivo de un proceso de Feller (o semigrupo) es una colección de mapas ( R _λ ) _{λ  > 0} desde C ₀ ( X ) hacia sí mismo definido por

${\displaystyle R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.}$

Se puede demostrar que satisface la identidad.

${\displaystyle R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).}$

Además, para cualquier λ  > 0 fijo, la imagen de R _λ es igual al dominio D _A del generador A , y

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1},\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{aligned}}}$

Ejemplos

• El movimiento browniano y el proceso de Poisson son ejemplos de procesos de Feller. En términos más generales, todo proceso Lévy es un proceso Feller.
• Los procesos de Bessel son procesos de Feller.
• Las soluciones a ecuaciones diferenciales estocásticas con coeficientes continuos de Lipschitz son procesos de Feller. ^{[ cita necesaria ]}
• Todo proceso de Feller continuo derecho adaptado en un espacio de probabilidad filtrado satisface la fuerte propiedad de Markov con respecto a la filtración , es decir, para cada tiempo de parada , condicionado al evento , tenemos que para cada uno , es independiente del dado . ^[1] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{\tau <\infty \}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle X_{\tau +t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$

Ver también

• proceso de markov
• cadena de markov
• Proceso de caza
• Generador infinitesimal (procesos estocásticos)

Referencias

1. Rogers, LCG y Williams, David Diffusions, Markov Processes and Martingales volumen uno: Fundamentos, segunda edición, John Wiley and Sons Ltd, 1979. (página 247, teorema 8.3)