Generador infinitesimal (procesos estocásticos)

En matemáticas —específicamente, en análisis estocástico— el generador infinitesimal de un proceso de Feller (es decir, un proceso de Markov de tiempo continuo que satisface ciertas condiciones de regularidad) es un operador multiplicador de Fourier ^[1] que codifica una gran cantidad de información sobre el proceso.

El generador se utiliza en ecuaciones de evolución como la ecuación hacia atrás de Kolmogorov , que describe la evolución de las estadísticas del proceso; su adjunto hermítico L 2 se utiliza en ecuaciones de evolución como la ecuación de Fokker-Planck , también conocida como ecuación hacia adelante de Kolmogorov, que describe la evolución de las funciones de densidad de probabilidad del proceso.

La ecuación de Kolmogorov en la notación es simplemente , donde es la función de densidad de probabilidad y es el adjunto del generador infinitesimal del proceso estocástico subyacente. La ecuación de Klein-Kramers es un caso especial de eso. ${\displaystyle \partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$

Definición

Caso general

Para un proceso de Feller con semigrupo de Feller y espacio de estados definimos el generador ^[1] por Aquí denota el espacio de Banach de funciones continuas que se desvanecen en el infinito, equipadas con la norma suprema, y ​​. En general, no es fácil describir el dominio del generador de Feller. Sin embargo, el generador de Feller siempre está cerrado y densamente definido. Si es -valuado y contiene las funciones de prueba (funciones suaves con soporte compacto) entonces ^[1] donde , y es un triplete de Lévy para fijo . ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle T=(T_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (A,D(A))}$ $${\displaystyle D(A)=\left\{f\in C_{0}(E):\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}}{\text{ exists as uniform limit}}\right\},}$$ $${\displaystyle Af=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},~~{\text{ for any }}f\in D(A).}$$ ${\displaystyle C_{0}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle T_{t}f(x)=\mathbb {E} ^{x}f(X_{t})=\mathbb {E} (f(X_{t})|X_{0}=x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle D(A)}$ $${\displaystyle Af(x)=-c(x)f(x)+l(x)\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q(x)\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)N(x,dy),}$$ ${\displaystyle c(x)\geq 0}$ ${\displaystyle (l(x),Q(x),N(x,\cdot ))}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Procesos de Lévy

El generador de un semigrupo de Lévy tiene la forma donde es semidefinido positivo y es una medida de Lévy que satisface y para algunos con es acotado. Si definimos para entonces el generador puede escribirse como donde denota la transformada de Fourier. Por lo tanto, el generador de un proceso (o semigrupo) de Lévy es un operador multiplicador de Fourier con símbolo . $${\displaystyle Af(x)=l\cdot \nabla f(x)+{\frac {1}{2}}{\text{div}}Q\nabla f(x)+\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus {\{0\}}}\left(f(x+y)-f(x)-\nabla f(x)\cdot y\chi (|y|)\right)\nu (dy)}$$ ${\displaystyle l\in \mathbb {R} ^{d},Q\in \mathbb {R} ^{d\times d}}$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}\min(|y|^{2},1)\nu (dy)<\infty }$$ ${\displaystyle 0\leq 1-\chi (s)\leq \kappa \min(s,1)}$ ${\displaystyle \kappa >0}$ ${\displaystyle s\chi (s)}$ $${\displaystyle \psi (\xi )=\psi (0)-il\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi \cdot Q\xi +\int _{\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}(1-e^{iy\cdot \xi }+i\xi \cdot y\chi (|y|))\nu (dy)}$$ ${\displaystyle \psi (0)\geq 0}$ $${\displaystyle Af(x)=-\int e^{ix\cdot \xi }\psi (\xi ){\hat {f}}(\xi )d\xi }$$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle -\psi }$

Ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por procesos de Lévy

Sea un proceso de Lévy con símbolo (ver arriba). Sea Lipschitz localmente y acotado. La solución de la SDE existe para cada condición inicial determinista y produce un proceso de Feller con símbolo ${\textstyle L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle dX_{t}=\Phi (X_{t-})dL_{t}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle q(x,\xi )=\psi (\Phi ^{\top }(x)\xi ).}$

Nótese que, en general, la solución de una SDE impulsada por un proceso de Feller que no es de Lévy podría no ser fellerista o incluso markoviana.

Como ejemplo simple, consideremos un ruido impulsor de movimiento browniano. Si asumimos que son Lipschitz y de crecimiento lineal, entonces para cada condición inicial determinista existe una solución única, que es Feller con símbolo ${\textstyle dX_{t}=l(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t}}$ ${\displaystyle l,\sigma }$ $${\displaystyle q(x,\xi )=-il(x)\cdot \xi +{\frac {1}{2}}\xi Q(x)\xi .}$$

Tiempo medio de primer paso

El tiempo medio de primer paso satisface . Esto se puede utilizar para calcular, por ejemplo, el tiempo que tarda una partícula de movimiento browniano en una caja en alcanzar el límite de la caja, o el tiempo que tarda una partícula de movimiento browniano en escapar del pozo en un pozo de potencial. Bajo ciertas suposiciones, el tiempo de escape satisface la ecuación de Arrhenius . ^[2] ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}T_{1}=-1}$

Generadores de algunos procesos comunes

Para cadenas de Markov de tiempo continuo de estados finitos, el generador puede expresarse como una matriz de tasa de transición .

El proceso general de difusión n-dimensional tiene generador donde es la matriz de difusión, es el hessiano de la función y es la traza de la matriz . Su operador adjunto es ^[2] Los siguientes son casos especiales de uso común para el proceso general de difusión n-dimensional. ${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}f=(\nabla f)^{T}\mu +tr((\nabla ^{2}f)D)}$$ ${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sigma \sigma ^{T}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle tr}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}f=-\sum _{i}\partial _{i}(f\mu _{i})+\sum _{ij}\partial _{ij}(fD_{ij})}$$

• El movimiento browniano estándar en , que satisface la ecuación diferencial estocástica , tiene generador , donde denota el operador de Laplace . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dX_{t}=dB_{t}}$ ${\textstyle {1 \over {2}}\Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$
• El proceso bidimensional que satisface: donde es un movimiento browniano unidimensional, puede considerarse como el gráfico de ese movimiento browniano y tiene generador: ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}={\mathrm {d} t \choose \mathrm {d} B_{t}}}$$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}$$
• El proceso de Ornstein-Uhlenbeck en , que satisface la ecuación diferencial estocástica , tiene generador: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dB_{t}}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=\theta (\mu -x)f'(x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}f''(x)}$$
• De manera similar, el gráfico del proceso Ornstein-Uhlenbeck tiene generador: $${\displaystyle {\mathcal {A}}f(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)+\theta (\mu -x){\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x)}$$
• Un movimiento browniano geométrico en , que satisface la ecuación diferencial estocástica , tiene generador: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle dX_{t}=rX_{t}dt+\alpha X_{t}dB_{t}}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}f(x)=rxf'(x)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}x^{2}f''(x)}$$

Véase también

• La fórmula de Dynkin

Referencias

• Calin, Ovidiu (2015). Introducción informal al cálculo estocástico con aplicaciones . Singapur: World Scientific Publishing. pág. 315. ISBN 978-981-4678-93-3.(Véase el capítulo 9)
• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones . Universitext (sexta edición). Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-642-14394-6. ISBN 3-540-04758-1.(Véase la sección 7.3)

1. Böttcher, Björn; Schilling, René; Wang, Jian (2013). Lévy Matters III: Procesos de tipo Lévy: construcción, aproximación y propiedades de la trayectoria de la muestra. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-02683-1.
2. "Conferencia 10: Ecuaciones directas y inversas para ecuaciones diferenciales simples" (PDF) . cims.nyu.edu .