Binary operation, takes two matrices and returns a scalar
En matemáticas , el producto interno de Frobenius es una operación binaria que toma dos matrices y devuelve un escalar . A menudo se denota . La operación es un producto interno por componentes de dos matrices como si fueran vectores y satisface los axiomas de un producto interno. Las dos matrices deben tener la misma dimensión (el mismo número de filas y columnas), pero no están restringidas a ser matrices cuadradas .![{\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición
Dadas dos matrices A y B de n × m con valores de números complejos , escritas explícitamente como
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{ pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_ {n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
el producto interno de Frobenius se define como
![{\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _ {i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\ ,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{ \!\dagger }\mathbf {B} \right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la línea superior denota el conjugado complejo y denota el conjugado hermitiano . [1] Explícitamente, esta suma es![{\displaystyle \daga }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+ {\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_ {21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\ fin {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El cálculo es muy similar al producto escalar , que a su vez es un ejemplo de producto interno. [ cita necesaria ]
Relación con otros productos
Si A y B son matrices con valores reales , entonces el producto interno de Frobenius es la suma de las entradas del producto de Hadamard . Si las matrices están vectorizadas (es decir, convertidas en vectores de columna, denotados por " "), entonces![{\displaystyle \mathrm {vec} (\cdot)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\ \vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \quad {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline { A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots & {\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\ \\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto
[ cita necesaria ]
Propiedades
Como cualquier producto interno, es una forma sesquilineal , para cuatro matrices de valores complejos A , B , C , D , y dos números complejos a y b :
![{\displaystyle \langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf { B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, intercambiar las matrices equivale a una conjugación compleja:
![{\displaystyle \langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para la misma matriz,
, [ cita necesaria ]
y,
.
norma de frobenius
El producto interno induce la norma de Frobenius.
[1]
Ejemplos
Matrices de valor real
Para dos matrices de valor real, si
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1& -5\end{pmatriz}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Matrices de valores complejos
Para dos matrices de valores complejos, si
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i \\4-3i&6\end{pmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=(1-i)\cdot (-2)+2i\cdot 3i +3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=-26-7i,\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
mientras
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1+i)+(-3i) \cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los productos internos de Frobenius de A consigo mismo y de B consigo mismo son respectivamente
![{\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \qquad \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias