Proceso continuo de muestras

En matemáticas , un proceso de muestra continua es un proceso estocástico cuyas trayectorias de muestra son casi con seguridad funciones continuas .

Definición

Sea (Ω, Σ,  P ) un espacio de probabilidad . Sea X  :  I  × Ω →  S un proceso estocástico, donde el conjunto de índices I y el espacio de estados S son ambos espacios topológicos . Entonces el proceso X se llama muestra continua (o casi seguramente continuo , o simplemente continuo ) si el mapa X ( ω ):  I  →  S es continuo en función de los espacios topológicos para P - casi todos los ω en Ω .

En muchos ejemplos, el conjunto de índices I es un intervalo de tiempo, [0,  T ] o [0, +∞), y el espacio de estados S es la línea real o el espacio euclidiano de n dimensiones R ⁿ .

Ejemplos

• El movimiento browniano (el proceso de Wiener ) en el espacio euclidiano es continuo en la muestra.
• Para los parámetros "agradables" de las ecuaciones, las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas son muestrales continuas. Consulte el teorema de existencia y unicidad en el artículo sobre ecuaciones diferenciales estocásticas para conocer algunas condiciones suficientes para garantizar la continuidad de la muestra.
• El proceso X  : [0, +∞) × Ω →  R que realiza saltos equiprobables hacia arriba o hacia abajo cada unidad de tiempo según

${\displaystyle {\begin{cases}X_{t}\sim \mathrm {Unif} (\{X_{t-1}-1,X_{t-1}+1\}),&t{\mbox{ an integer;}}\\X_{t}=X_{\lfloor t\rfloor },&t{\mbox{ not an integer;}}\end{cases}}}$

no es continuo en la muestra. De hecho, seguramente es discontinuo.

Propiedades

• Para procesos de muestra continua, las distribuciones de dimensión finita determinan la ley y viceversa.

Ver también

• Proceso estocástico continuo

Referencias

• Kloeden, Peter E.; Platina, Eckhard (1992). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 23. Berlín: Springer-Verlag. págs. 38–39. ISBN 3-540-54062-8.