Distribución de dimensión finita

Concepto de matemáticas

En matemáticas , las distribuciones de dimensión finita son una herramienta para el estudio de medidas y procesos estocásticos . Se puede obtener mucha información estudiando la "proyección" de una medida (o proceso) sobre un espacio vectorial de dimensión finita (o una colección finita de tiempos).

Distribuciones de una medida en dimensión finita

Sea un espacio de medida . Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de empuje hacia adelante , donde , , es cualquier función medible. ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Distribuciones de dimensión finita de un proceso estocástico

Sea un espacio de probabilidad y sea un proceso estocástico . Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de empuje hacia adelante en el espacio del producto para definido por ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X:I\times \Omega \to \mathbb {X} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(S):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|\left(X_{i_{1}}(\omega ),\dots ,X_{i_{k}}(\omega )\right)\in S\right.\right\}.}$

Muy a menudo, esta condición se enuncia en términos de rectángulos medibles :

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(A_{1}\times \cdots \times A_{k}):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\in A_{j}\mathrm {\,for\,} 1\leq j\leq k\right.\right\}.}$

La definición de las distribuciones de dimensión finita de un proceso está relacionada con la definición de una medida de la siguiente manera: recuerde que la ley de es una medida sobre la colección de todas las funciones de en . En general, este es un espacio de dimensión infinita. Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de empuje hacia adelante en el espacio de producto de dimensión finita , donde ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {X} ^{I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{*}\left({\mathcal {L}}_{X}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$

${\displaystyle f:\mathbb {X} ^{I}\to \mathbb {X} ^{k}:\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\dots ,\sigma (t_{k})\right)}$

es la función natural "evaluar a veces ". ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}}$

Relación con la opresión

Se puede demostrar que si una secuencia de medidas de probabilidad es ajustada y todas las distribuciones de dimensión finita de convergen débilmente a las distribuciones de dimensión finita correspondientes de alguna medida de probabilidad , entonces converge débilmente a . ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu }$

Véase también

• Ley (procesos estocásticos)