Matriz de bloques

Matriz definida utilizando matrices más pequeñas llamadas bloques

En matemáticas , una matriz de bloques o una matriz particionada es una matriz que se interpreta como si hubiera sido dividida en secciones llamadas bloques o submatrices . ^{[1] [2]}

Intuitivamente, una matriz interpretada como una matriz de bloques puede visualizarse como la matriz original con una colección de líneas horizontales y verticales que la dividen o la dividen en una colección de matrices más pequeñas. ^{[3] [2]} Por ejemplo, la matriz 3x4 presentada a continuación está dividida por líneas horizontales y verticales en cuatro bloques: el bloque superior izquierdo 2x3, el bloque superior derecho 2x1, el bloque inferior izquierdo 1x3 y el bloque inferior derecho 1x1.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]}$

Cualquier matriz puede interpretarse como una matriz de bloques de una o más maneras, y cada interpretación está definida por cómo se dividen sus filas y columnas.

Esta noción se puede hacer más precisa para una matriz por particionándola en una colección y luego particionándola en una colección . La matriz original se considera entonces como el "total" de estos grupos, en el sentido de que la entrada de la matriz original se corresponde de manera uno a uno con alguna entrada de desplazamiento de algún , donde y . ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\text{colgroups}}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$

El álgebra de matrices de bloques surge en general a partir de biproductos en categorías de matrices. ^[5]

Matriz de bloques de 168 × 168 elementos con submatrices de 12 × 12, 12 × 24, 24 × 12 y 24 × 24. Los elementos distintos de cero están en azul y los elementos cero en gris.

Ejemplo

La matriz

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$

se puede visualizar dividido en cuatro bloques, como

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right]}$.

Las líneas horizontales y verticales no tienen un significado matemático especial, ^{[6] [7]} pero son una forma común de visualizar una partición. ^{[6] [7]} Mediante esta partición, se divide en cuatro bloques de 2×2, como ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

La matriz particionada puede entonces escribirse como

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$^[8]

Definición formal

Sea . Una partición de es una representación de en la forma ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$,

donde son submatrices contiguas, , y . ^[9] Los elementos de la partición se denominan bloques . ^[9] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n}$ ${\displaystyle A_{ij}}$

Según esta definición, los bloques de cualquier columna deben tener todos el mismo número de columnas. ^[9] De manera similar, los bloques de cualquier fila deben tener el mismo número de filas. ^[9]

Métodos de particionamiento

Una matriz se puede dividir en particiones de muchas maneras. ^[9] Por ejemplo, se dice que una matriz está dividida en columnas si se escribe como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})}$,

donde es la columna ésima de . ^[9] Una matriz también se puede dividir por filas : ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}}}$,

¿Dónde está la fila th de . ^[9] ${\displaystyle a_{i}^{T}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$

Particiones comunes

A menudo, ^[9] nos encontramos con la partición 2x2

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$, ^[9]

particularmente en la forma donde es un escalar: ${\displaystyle A_{11}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Operaciones con matrices de bloques

Transponer

Dejar

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$

donde . (Esta matriz se reutilizará en § Adición y § Multiplicación). Entonces su transpuesta es ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}}}$, ^{[9] [10]}

y la misma ecuación se cumple con la transpuesta reemplazada por la transpuesta conjugada. ^[9]

Transposición de bloque

También se puede definir una forma especial de transposición de matriz para matrices de bloques, donde los bloques individuales se reordenan pero no se transponen. Sea una matriz de bloques con bloques , la transposición de bloques de es la matriz de bloques con bloques . ^[11] Al igual que con el operador de traza convencional, la transposición de bloques es una aplicación lineal tal que . ^[10] Sin embargo, en general la propiedad no se cumple a menos que los bloques de y conmuten. ${\displaystyle A=(B_{ij})}$ ${\displaystyle k\times l}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B_{ij}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle l\times k}$ ${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}}$ ${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Suma

Dejar

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}}}$,

donde , y sea la matriz definida en § Transposición. (Esta matriz se reutilizará en § Multiplicación). Entonces, si , , , y , entonces ${\displaystyle B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle q=s}$ ${\displaystyle k_{i}=m_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{j}=n_{j}}$

${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Multiplicación

Es posible utilizar un producto matricial particionado en bloques que involucre únicamente álgebra sobre submatrices de los factores. Sin embargo, la partición de los factores no es arbitraria y requiere " particiones conformes " ^[12] entre dos matrices y de tal manera que todos los productos de submatrices que se utilizarán estén definidos. ^[13] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Se dice que dos matrices y están particionadas conformemente para el producto , cuando y están particionadas en submatrices y si la multiplicación se lleva a cabo tratando las submatrices como si fueran escalares, pero manteniendo el orden, y cuando todos los productos y sumas de las submatrices involucradas están definidos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$

—  Arak M. Mathai y Hans J. Haubold, Álgebra lineal: un curso para físicos e ingenieros ^[14]

Sea la matriz definida en § Transposición, y sea la matriz definida en § Adición. Entonces el producto de matrices ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle C=AB}$

se puede realizar por bloques, obteniéndose una matriz. Las matrices de la matriz resultante se calculan multiplicando: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (p\times s)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.}$^[6]

O, utilizando la notación de Einstein que suma implícitamente sobre índices repetidos:

${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$

Representando como una matriz, tenemos ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Inversión

Si una matriz se divide en cuatro bloques, se puede invertir en bloques de la siguiente manera:

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&-{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\\-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

donde A y D son bloques cuadrados de tamaño arbitrario, y B y C son conformes con ellos para la partición. Además, A y el complemento de Schur de A en P : P / A = D − CA ⁻¹ B deben ser invertibles. ^[15]

De manera equivalente, permutando los bloques:

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\\-{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&\quad {D}^{-1}+{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[16]

Aquí, D y el complemento de Schur de D en P : P / D = A − BD ⁻¹ C deben ser invertibles.

Si A y D son ambos invertibles, entonces:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{B}{D}^{-1}{C}\right)^{-1}&{0}\\{0}&\left({D}-{C}{A}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{I}&-{B}{D}^{-1}\\-{C}{A}^{-1}&{I}\end{bmatrix}}.}$

Por la identidad de Weinstein-Aronszajn , una de las dos matrices en la matriz diagonal de bloques es invertible exactamente cuando la otra lo es.

Determinante

La fórmula para el determinante de una matriz -descrita anteriormente sigue siendo válida, bajo supuestos adicionales apropiados, para una matriz compuesta por cuatro submatrices . La fórmula más sencilla de este tipo, que se puede demostrar utilizando la fórmula de Leibniz o una factorización que involucre el complemento de Schur , es ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.}$^[16]

Usando esta fórmula, podemos deducir que los polinomios característicos de y son iguales al producto de los polinomios característicos de y . Además, si o es diagonalizable , entonces y también lo son. La inversa es falsa; simplemente verifique . ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

Si es invertible , se tiene ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),}$^[16]

y si es invertible, se tiene ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$^{[17] [16]}

Si los bloques son matrices cuadradas del mismo tamaño, se aplican otras fórmulas. Por ejemplo, si y conmutan (es decir, ), entonces ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle CD=DC}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).}$^[18]

Esta fórmula se ha generalizado a matrices compuestas de más de bloques, nuevamente bajo condiciones de conmutatividad apropiadas entre los bloques individuales. ^[19] ${\displaystyle 2\times 2}$

Para y , se cumple la siguiente fórmula (incluso si y no conmutan) ${\displaystyle A=D}$ ${\displaystyle B=C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$^[16]

Tipos especiales de matrices de bloques

Sumas directas y matrices diagonales por bloques

Suma directa

Para cualquier matriz arbitraria A (de tamaño m  ×  n ) y B (de tamaño p  ×  q ), tenemos la suma directa de A y B , denotada por A  B y definida como ${\displaystyle \oplus }$ 

${\displaystyle {A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$^[10]

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Esta operación se generaliza naturalmente a matrices de dimensiones arbitrarias (siempre que A y B tengan el mismo número de dimensiones).

Nótese que cualquier elemento de la suma directa de dos espacios vectoriales de matrices podría representarse como una suma directa de dos matrices.

Matrices diagonales en bloques

Una matriz diagonal de bloques es una matriz de bloques que es una matriz cuadrada tal que los bloques de la diagonal principal son matrices cuadradas y todos los bloques fuera de la diagonal son matrices cero. ^[16] Es decir, una matriz diagonal de bloques A tiene la forma

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}}$

donde A _k es una matriz cuadrada para todo k = 1, ..., n . En otras palabras, la matriz A es la suma directa de A ₁ , ..., A _n . ^[16] También se puede indicar como A ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  A _n ^[10] o diag( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) ^[10]  (siendo este último el mismo formalismo utilizado para una matriz diagonal ). Cualquier matriz cuadrada puede considerarse trivialmente una matriz diagonal de bloques con un solo bloque.

Para el determinante y la traza , se cumplen las siguientes propiedades:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}}$^{[20] [21]} y

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}}$^{[16] [21]}

Una matriz diagonal de bloques es invertible si y solo si cada uno de sus bloques diagonales principales son invertibles, y en este caso su inversa es otra matriz diagonal de bloques dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[22]

Los valores propios ^[23] y los vectores propios de son simplemente los de s combinados. ^[21] ${\displaystyle {A}}$ ${\displaystyle {A}_{k}}$

Matrices tridiagonales en bloques

Una matriz tridiagonal de bloques es otra matriz de bloques especial, que es como la matriz diagonal de bloques, una matriz cuadrada , que tiene matrices cuadradas (bloques) en la diagonal inferior, la diagonal principal y la diagonal superior, y todos los demás bloques son matrices cero. Es esencialmente una matriz tridiagonal pero tiene submatrices en lugar de escalares. Una matriz tridiagonal de bloques tiene la forma ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{B}_{1}&{C}_{1}&&&\cdots &&{0}\\{A}_{2}&{B}_{2}&{C}_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{A}_{k}&{B}_{k}&{C}_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&{A}_{n-1}&{B}_{n-1}&{C}_{n-1}\\{0}&&\cdots &&&{A}_{n}&{B}_{n}\end{bmatrix}}}$

donde , y son submatrices cuadradas de las diagonales inferior, principal y superior respectivamente. ^{[24] [25]} ${\displaystyle {A}_{k}}$ ${\displaystyle {B}_{k}}$ ${\displaystyle {C}_{k}}$

Las matrices tridiagonales en bloques se encuentran a menudo en soluciones numéricas de problemas de ingeniería (por ejemplo, dinámica de fluidos computacional ). Existen métodos numéricos optimizados para la factorización LU ^[26] y, por lo tanto, algoritmos de solución eficientes para sistemas de ecuaciones con una matriz tridiagonal en bloques como matriz de coeficientes. El algoritmo de Thomas , utilizado para la solución eficiente de sistemas de ecuaciones que involucran una matriz tridiagonal, también se puede aplicar utilizando operaciones matriciales para matrices tridiagonales en bloques (ver también Descomposición LU en bloques ).

Matrices triangulares en bloques

Bloque superior triangular

Una matriz es triangular en bloques superiores (o triangular en bloques superiores ^[27] ) si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

donde para todos . ^{[23] [27]} ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Bloque inferior triangular

Una matriz es triangular de bloque inferior si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

donde para todos . ^[23] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Matrices de Toeplitz en bloques

Una matriz de Toeplitz en bloques es otra matriz de bloques especial, que contiene bloques que se repiten a lo largo de las diagonales de la matriz, ya que una matriz de Toeplitz tiene elementos repetidos a lo largo de la diagonal.

Una matriz es un bloque de Toeplitz si para todo , es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle k-i=l-j}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$,

donde . ^[23] ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

Matrices de Hankel en bloque

Una matriz es bloque Hankel si para todo , es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle i+j=k+l}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$,

donde . ^[23] ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

Véase también

• Producto Kronecker (producto directo matricial que da como resultado una matriz de bloques)
• Forma normal de Jordan (forma canónica de un operador lineal en un espacio vectorial complejo de dimensión finita)
• Algoritmo de Strassen (algoritmo de multiplicación de matrices que es más rápido que el algoritmo de multiplicación de matrices convencional)

Notas

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2. Dobrushkin, Vladimir. "Matrices de partición". Álgebra lineal con Mathematica . Consultado el 24 de marzo de 2024 .
3. Anton, Howard (1994). Álgebra lineal elemental (7.ª ed.). Nueva York: John Wiley. pág. 30. ISBN 0-471-58742-7Una matriz se puede subdividir o dividir en matrices más pequeñas insertando reglas horizontales y verticales entre filas y columnas seleccionadas .
4. Indhumathi, D.; Sarala, S. (16 de mayo de 2014). "Análisis de fragmentos y generación de casos de prueba utilizando F-Measure para pruebas aleatorias adaptativas y pruebas aleatorias adaptativas basadas en bloques particionados" (PDF) . Revista internacional de aplicaciones informáticas . 93 (6): 13. doi :10.5120/16218-5662.
5. Macedo, HD; Oliveira, JN (2013). "Tipificación de álgebra lineal: un enfoque orientado a biproductos". Ciencia de la programación informática . 78 (11): 2160–2191. arXiv : 1312.4818 . doi :10.1016/j.scico.2012.07.012.
6. Johnston, Nathaniel (2021). Introducción al álgebra lineal y matricial . Cham, Suiza: Springer Nature. pp. 30, 425. ISBN 978-3-030-52811-9.
7. Johnston, Nathaniel (2021). Álgebra lineal y matricial avanzada . Cham, Suiza: Springer Nature. pág. 298. ISBN 978-3-030-52814-0.
8. Jeffrey, Alan (2010). Operaciones matriciales para ingenieros y científicos: una guía esencial de álgebra lineal. Dordrecht [Países Bajos]; Nueva York: Springer. p. 54. ISBN 978-90-481-9273-1.OCLC 639165077  .
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10. Gentle, James E. (2007). Álgebra matricial: teoría, cálculos y aplicaciones en estadística . Springer Texts in Statistics. Nueva York, NY: Springer New York Springer e-books. págs. 47, 487. ISBN 978-0-387-70873-7.
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12. Eves, Howard (1980). Teoría de matrices elementales (edición reimpresa). Nueva York: Dover. p. 37. ISBN 0-486-63946-0. Recuperado el 24 de abril de 2013. Una partición como la del Teorema 1.9.4 se denomina partición conforme de A y B.
13. Anton, Howard (1994). Álgebra lineal elemental (7.ª ed.). Nueva York: John Wiley. pág. 36. ISBN 0-471-58742-7... siempre que los tamaños de las submatrices de A y B sean tales que se puedan realizar las operaciones indicadas.
14. Mathai, Arakaparampil M.; Haubold, Hans J. (2017). Álgebra lineal: un curso para físicos e ingenieros . Libro de texto de De Gruyter. Berlín, Boston: De Gruyter. pág. 162. ISBN 978-3-11-056259-0.
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27. Stewart, Gilbert W. (2001). Algoritmos matriciales. 2: Eigensystems . Filadelfia, Pensilvania: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. pág. 5. ISBN 978-0-89871-503-3.

Referencias

• Strang, Gilbert (1999). "Conferencia 3: Multiplicación y matrices inversas". MIT Open Courseware. 18:30–21:10.