Método de matriz de transferencia (óptica)

Método matemático utilizado en óptica y acústica.

Propagación de un rayo a través de una capa

El método de matriz de transferencia es un método utilizado en óptica y acústica para analizar la propagación de ondas electromagnéticas o acústicas a través de un medio estratificado ; una pila de películas delgadas . ^{[1] [2]} Esto es relevante, por ejemplo, para el diseño de recubrimientos antirreflectantes y espejos dieléctricos .

La reflexión de la luz desde una única interfaz entre dos medios se describe mediante las ecuaciones de Fresnel . Sin embargo, cuando hay varias interfaces, como en la figura, las reflexiones en sí mismas también se transmiten parcialmente y luego se reflejan parcialmente. Dependiendo de la longitud exacta del camino, estas reflexiones pueden interferir de manera destructiva o constructiva. La reflexión total de una estructura de capas es la suma de un número infinito de reflexiones.

El método de la matriz de transferencia se basa en el hecho de que, según las ecuaciones de Maxwell , existen condiciones de continuidad simples para el campo eléctrico a través de los límites de un medio al siguiente. Si se conoce el campo al principio de una capa, el campo al final de la capa se puede derivar a partir de una operación matricial simple . Una pila de capas se puede representar entonces como una matriz de sistema, que es el producto de las matrices de las capas individuales. El paso final del método implica convertir la matriz de sistema nuevamente en coeficientes de reflexión y transmisión .

Formalismo para ondas electromagnéticas

A continuación se describe cómo se aplica la matriz de transferencia a las ondas electromagnéticas (por ejemplo, la luz) de una frecuencia dada que se propagan a través de una pila de capas con incidencia normal . Se puede generalizar para tratar la incidencia en un ángulo, los medios absorbentes y los medios con propiedades magnéticas . Suponemos que las capas de la pila son normales al eje y que el campo dentro de una capa se puede representar como la superposición de una onda que viaja hacia la izquierda y hacia la derecha con número de onda , ${\displaystyle z\,}$ ${\displaystyle k\,}$

${\displaystyle E(z)=E_{r}e^{ikz}+E_{l}e^{-ikz}\,}$.

Como de la ecuación de Maxwell se deduce que el campo eléctrico y el campo magnético (su derivada normalizada) deben ser continuos a través de un límite, es conveniente representar el campo como el vector , donde ${\displaystyle E\,}$ ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ ${\textstyle (E(z),H(z))\,}$

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,}$.

Puesto que hay dos ecuaciones que relacionan y con y , estas dos representaciones son equivalentes. En la nueva representación, la propagación a lo largo de una distancia en la dirección positiva de se describe mediante la matriz que pertenece al grupo lineal especial SL( 2 , C ) ${\displaystyle E\,}$ ${\displaystyle H\,}$ ${\displaystyle E_{r}\,}$ ${\displaystyle E_{l}\,}$ ${\displaystyle L\,}$ ${\displaystyle z\,}$

${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos kL&iZ_{c}\sin kL\\{\frac {i}{Z_{c}}}\sin kL&\cos kL\end{array}}\right),}$

y

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z+L)\\H(z+L)\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(z)\\H(z)\end{array}}\right)}$

Una matriz de este tipo puede representar la propagación a través de una capa si es el número de onda en el medio y el espesor de la capa: Para un sistema con capas, cada capa tiene una matriz de transferencia , donde aumenta hacia valores más altos. La matriz de transferencia del sistema es entonces ${\displaystyle k\,}$ ${\displaystyle L\,}$ ${\displaystyle N\,}$ ${\displaystyle j\,}$ ${\displaystyle M_{j}\,}$ ${\displaystyle j\,}$ ${\displaystyle z\,}$

${\displaystyle M_{s}=M_{N}\cdot \ldots \cdot M_{2}\cdot M_{1}.}$

Por lo general, se desea conocer la reflectancia y la transmitancia de la estructura de capas. Si la pila de capas comienza en , entonces, para valores negativos , el campo se describe como ${\displaystyle z=0\,}$ ${\displaystyle z\,}$

${\displaystyle E_{L}(z)=E_{0}e^{ik_{L}z}+rE_{0}e^{-ik_{L}z},\qquad z<0,}$

donde es la amplitud de la onda entrante, el número de onda en el medio izquierdo y es el coeficiente de reflectancia de amplitud (¡no intensidad!) de la estructura de capas. En el otro lado de la estructura de capas, el campo consta de un campo transmitido que se propaga hacia la derecha. ${\displaystyle E_{0}\,}$ ${\displaystyle k_{L}\,}$ ${\displaystyle r\,}$

${\displaystyle E_{R}(z)=tE_{0}e^{ik_{R}z},\qquad z>L',}$

donde es la transmitancia de amplitud, es el número de onda en el medio más a la derecha y es el espesor total. Si y , entonces se puede resolver ${\displaystyle t\,}$ ${\displaystyle k_{R}\,}$ ${\displaystyle L'}$ ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z_{R})\\H(z_{R})\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(0)\\H(0)\end{array}}\right)}$

en términos de los elementos de la matriz del sistema y obtener ${\displaystyle M_{mn}\,}$ ${\displaystyle M_{s}\,}$

${\displaystyle t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12}+i(k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22})}}\right]}$

y

${\displaystyle r=\left[{\frac {(M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}-k_{R}M_{11})}{(-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}+k_{R}M_{11})}}\right]}$.

La transmitancia y la reflectancia (es decir, las fracciones de la intensidad incidente transmitida y reflejada por la capa) suelen tener un uso más práctico y se dan por y , respectivamente (en incidencia normal). ${\textstyle \left|E_{0}\right|^{2}}$ ${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$ ${\displaystyle R=|r|^{2}\,}$

Ejemplo

A modo de ejemplo, considere una sola capa de vidrio con un índice de refracción n y un espesor d suspendida en el aire a un número de onda k (en el aire). En el vidrio, el número de onda es . La matriz de transferencia es ${\displaystyle k'=nk\,}$

${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)}$.

El coeficiente de reflexión de amplitud se puede simplificar a

${\displaystyle r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}}$.

Esta configuración describe efectivamente un interferómetro de Fabry-Pérot o etalón: para , la reflexión desaparece. ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$

Ondas acústicas

Es posible aplicar el método de la matriz de transferencia a las ondas sonoras. En lugar del campo eléctrico E y su derivada H , se debe utilizar el desplazamiento u y la tensión , donde es el módulo de onda p . ${\displaystyle \sigma =Cdu/dz}$ ${\displaystyle C}$

Formalismo matricial de Abeles

Reflexión desde una interfaz estratificada

El método de la matriz de Abeles ^{[3] [4] [5]} es una forma computacionalmente rápida y sencilla de calcular la reflectividad especular de una interfaz estratificada, en función de la transferencia de momento perpendicular , Q _z :

${\displaystyle Q_{z}={\frac {4\pi }{\lambda }}\sin \theta =2k_{z}}$

donde θ es el ángulo de incidencia/reflexión de la radiación incidente y λ es la longitud de onda de la radiación. La reflectividad medida depende de la variación en el perfil de densidad de longitud de dispersión ( SLD ), ρ ( z ) , perpendicular a la interfaz. Aunque el perfil de densidad de longitud de dispersión normalmente es una función que varía continuamente, la estructura interfacial a menudo se puede aproximar bien mediante un modelo de losa en el que las capas de espesor ( d _n ), densidad de longitud de dispersión ( ρ _n ) y rugosidad ( σ _{n , n +1} ) se intercalan entre las superfases y subfases. A continuación, se utiliza un procedimiento de refinamiento para minimizar las diferencias entre las curvas de reflectividad teóricas y medidas, modificando los parámetros que describen cada capa.

En esta descripción, la interfaz se divide en n capas. Como el haz de neutrones incidente es refractado por cada una de las capas, el vector de onda k , en la capa n , viene dado por:

${\displaystyle k_{n}={\sqrt {{k_{z}}^{2}-4\pi ({\rho }_{n}-{\rho }_{0})}}}$

El coeficiente de reflexión de Fresnel entre la capa n y n +1 viene dado por:

${\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}}$

Dado que es poco probable que la interfaz entre cada capa sea perfectamente lisa, la rugosidad/difusión de cada interfaz modifica el coeficiente de Fresnel y se explica mediante una función de error , ^[6]

${\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}\exp(-2k_{n}k_{n+1}{\sigma _{n,n+1}}^{2}).}$

Se introduce un factor de fase, β , que tiene en cuenta el espesor de cada capa.

${\displaystyle \beta _{0}=0}$

${\displaystyle \beta _{n}=ik_{n}d_{n}}$

donde i ² = −1 . Luego se calcula una matriz característica, c _{n , para cada capa.}

${\displaystyle c_{n}=\left[{\begin{array}{cc}\exp \left(\beta _{n}\right)&r_{n,n+1}\exp \left(\beta _{n}\right)\\r_{n,n+1}\exp \left(-\beta _{n}\right)&\exp \left(-\beta _{n}\right)\end{array}}\right]}$

La matriz resultante se define como el producto ordenado de estas matrices características.

${\displaystyle M=\prod _{n}c_{n}}$

a partir de lo cual la reflectividad se calcula como:

${\displaystyle R=\left|{\frac {M_{10}}{M_{00}}}\right|^{2}}$

Véase también

• Reflectometría neutrónica
• Elipsometría
• Cálculo de Jones
• Reflectividad de rayos X
• Método de la matriz de dispersión

Referencias

1. Born, M.; Wolf, E., Principios de óptica: teoría electromagnética de la propagación, interferencia y difracción de la luz . Oxford, Pergamon Press, 1964.
2. Mackay, TG; Lakhtakia, A., El método de la matriz de transferencia en electromagnetismo y óptica . San Rafael, CA, Morgan y Claypool, 2020. doi :10.2200/S00993ED1V01Y202002EMA001
3. OS Heavens. Propiedades ópticas de películas delgadas . Butterworth, Londres (1955).
4. Nevot, L.; Croce, P. (1980). "Caracterización de superficies por reflexión rasante de rayons X. Aplicación al estudio del polissage de quelques verres silicates" (PDF) . Revue de Physique Appliquée (en francés). 15 (3). Ciencias EDP: 761–779. doi :10.1051/rphysap:01980001503076100. ISSN  0035-1687. S2CID  128834171.
5. Abelès, Florín (1950). "La théorie générale des Couches Minces" [La teoría generalizada de las películas delgadas] (PDF) . Journal de Physique et le Radium (en francés). 11 (7). Ciencias EDP: 307–309. doi :10.1051/jphysrad:01950001107030700. ISSN  0368-3842.
6. Névot y Croce (1980).

Lectura adicional

• Reflectividad multicapa: derivación de primeros principios de las probabilidades de transmisión y reflexión de una multicapa con índices de refracción complejos.
• Materiales en capas y diagramas de bandas fotónicas (Conferencia 23) en el Curso Abierto del MIT Propiedades Electrónicas, Ópticas y Magnéticas de los Materiales.
• Propagación de ondas electromagnéticas a través de películas delgadas y multicapas (clase 13) en el curso abierto del MIT sobre procesos de transporte de nano a macro. Incluye una breve discusión sobre ondas acústicas.

Enlaces externos

Hay varios programas de computadora que implementan este cálculo:

• FreeSnell es un programa informático independiente que implementa el método de matriz de transferencia, incluyendo aspectos más avanzados como películas granulares.
• Thinfilm es una interfaz web que implementa el método de matriz de transferencia, generando coeficientes de reflexión y transmisión, y también parámetros elipsométricos Psi y Delta.
• Luxpop.com es otra interfaz web que implementa el método de matriz de transferencia.
• Programas de cálculo de matrices de transferencia en Python y en Mathematica.
• Software EMPy ("Python electromagnético").
• motofit es un programa para analizar datos de reflectometría de neutrones y rayos X.
• OpenFilters es un programa para diseñar filtros ópticos.
• Py_matrix es un código Python de código abierto que implementa el método de matriz de transferencia para multicapas con tensores dieléctricos arbitrarios. Fue creado especialmente para cálculos plasmónicos y magnetoplasmónicos.
• Calculadora en el navegador y calculadora interactiva de reflectividad de Javascript que utiliza el método matricial y la aproximación de rugosidad de Nevot-Croce (núcleo de cálculo convertido desde C mediante Emscripten )