Transformacion afin

Transformación geométrica que conserva las líneas pero no los ángulos ni el origen.

Una imagen de un fractal parecido a un helecho ( helecho de Barnsley ) que exhibe autosemejanza afín . Cada una de las hojas del helecho está relacionada entre sí mediante una transformación afín. Por ejemplo, la hoja roja se puede transformar tanto en la hoja azul oscuro como en cualquiera de las hojas azul claro mediante una combinación de reflexión, rotación, escala y traslación.

En geometría euclidiana , una transformación afín o afinidad (del latín, affinis , "conectada con") es una transformación geométrica que conserva líneas y paralelismo , pero no necesariamente distancias y ángulos euclidianos .

De manera más general, una transformación afín es un automorfismo de un espacio afín (los espacios euclidianos son espacios afines específicos), es decir, una función que mapea un espacio afín sobre sí mismo preservando tanto la dimensión de cualquier subespacio afín (lo que significa que envía puntos a puntos, rectas con rectas, planos con planos, etc.) y las razones de las longitudes de segmentos de recta paralelos . En consecuencia, conjuntos de subespacios afines paralelos permanecen paralelos después de una transformación afín. Una transformación afín no necesariamente conserva los ángulos entre líneas o las distancias entre puntos, aunque sí conserva las proporciones de distancias entre puntos que se encuentran en una línea recta.

Si X es el conjunto de puntos de un espacio afín, entonces cada transformación afín en X puede representarse como la composición de una transformación lineal en X y una traducción de X. A diferencia de una transformación puramente lineal, una transformación afín no necesita preservar el origen del espacio afín. Por tanto, toda transformación lineal es afín, pero no toda transformación afín es lineal.

Ejemplos de transformaciones afines incluyen traducción, escalamiento , homotecia , similitud , reflexión , rotación , mapeo de corte y composiciones de ellas en cualquier combinación y secuencia.

Viendo un espacio afín como el complemento de un hiperplano en el infinito de un espacio proyectivo , las transformaciones afines son las transformaciones proyectivas de ese espacio proyectivo que dejan invariante el hiperplano en el infinito , restringido al complemento de ese hiperplano.

Una generalización de una transformación afín es un mapa afín ^[1] (o homomorfismo afín o mapeo afín ) entre dos espacios afines (potencialmente diferentes) sobre el mismo campo k . Sean ( X , V , k ) y ( Z , W , k ) dos espacios afines con X y Z los conjuntos de puntos y V y W los respectivos espacios vectoriales asociados sobre el campo k . Un mapa f : X → Z es un mapa afín si existe un mapa lineal m _f  : V → W tal que m _f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y ) para todo x, y en X. ^[2]

Definición

Sea X un espacio afín sobre un campo k y V su espacio vectorial asociado. Una transformación afín es una biyección f de X sobre sí mismo que es un mapa afín ; esto significa que una aplicación lineal g de V a V está bien definida por la ecuación aquí, como es habitual, la resta de dos puntos denota el vector libre desde el segundo punto al primero, y " bien definido " significa que implica que ${\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);}$ ${\displaystyle y-x=y'-x'}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}$

Si la dimensión de X es al menos dos, una transformación semiafín f de X es una biyección de X sobre sí mismo que satisface: ^[3]

1. Para cada subespacio afín d -dimensional S de X , entonces f ( S ) es también un subespacio afín d -dimensional de X.
2. Si S y T son subespacios afines paralelos de X , entonces f ( S ) yf ( T ) son paralelos.

Estas dos condiciones se satisfacen mediante transformaciones afines y expresan lo que precisamente se entiende por la expresión " f conserva el paralelismo".

Estas condiciones no son independientes ya que la segunda se deriva de la primera. ^[4] Además, si el campo k tiene al menos tres elementos, la primera condición se puede simplificar a: f es una colineación , es decir, asigna líneas a líneas. ^[5]

Estructura

Por la definición de espacio afín, V actúa sobre X , de modo que, por cada par ( x , v ) en X × V hay asociado un punto y en X. Podemos denotar esta acción por v → ( x ) = y . Aquí usamos la convención de que v → = v son dos notaciones intercambiables para un elemento de V. Fijando un punto c en X se puede definir una función m _c  : X → V por m _c ( x ) = cx → . Para cualquier c , esta función es uno a uno, por lo que tiene una función inversa m _c ⁻¹  : V → X dada por m _c ⁻¹ ( v ) = v → ( c ) . Estas funciones se pueden utilizar para convertir X en un espacio vectorial (con respecto al punto c ) definiendo: ^[6]

• ${\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}$y
• ${\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}$

Este espacio vectorial tiene origen c y formalmente debe distinguirse del espacio afín X , pero la práctica común es denotarlo con el mismo símbolo y mencionar que es un espacio vectorial después de que se haya especificado un origen. Esta identificación permite que los puntos sean vistos como vectores y viceversa.

Para cualquier transformación lineal λ de V , podemos definir la función L ( c , λ ): X → X por

${\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}$

Entonces L ( c , λ ) es una transformación afín de X que deja el punto c fijo. ^[7] Es una transformación lineal de X , vista como un espacio vectorial con origen c .

Sea σ cualquier transformación afín de X . Elija un punto c en X y considere la traslación de X por el vector , denotado por T _w . Las traducciones son transformaciones afines y la composición de transformaciones afines es una transformación afín. Para esta elección de c , existe una transformación lineal única λ de V tal que ^[8] ${\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}}$

${\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}$

Es decir, una transformación afín arbitraria de X es la composición de una transformación lineal de X (vista como un espacio vectorial) y una traslación de X.

Esta representación de transformaciones afines a menudo se toma como la definición de una transformación afín (con la elección del origen implícita). ^{[9] [10] [11]}

Representación

Como se muestra arriba, un mapa afín es la composición de dos funciones: una traducción y un mapa lineal. El álgebra vectorial ordinaria utiliza la multiplicación de matrices para representar mapas lineales y la suma de vectores para representar traslaciones. Formalmente, en el caso de dimensión finita, si el mapa lineal se representa como una multiplicación por una matriz invertible y la traslación como la suma de un vector , un mapa afín que actúa sobre un vector se puede representar como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$

Matriz aumentada

Las transformaciones afines en el plano 2D se pueden realizar mediante transformaciones lineales en tres dimensiones. La traslación se realiza cortando a lo largo del eje z y la rotación se realiza alrededor del eje z.

Usando una matriz aumentada y un vector aumentado, es posible representar tanto la traslación como el mapa lineal usando una única multiplicación de matrices . La técnica requiere que todos los vectores se aumenten con un "1" al final y que todas las matrices se aumenten con una fila adicional de ceros en la parte inferior, una columna adicional (el vector de traducción) a la derecha y un "1" en la esquina inferior derecha. Si es una matriz, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$

es equivalente a lo siguiente

${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$

La matriz aumentada mencionada anteriormente se llamamatriz de transformación afín . En el caso general, cuando el vector de la última fila no está restringido a ser , la matriz se convierte en una matriz de transformación proyectiva (ya que también se puede utilizar para realizar transformaciones proyectivas ). ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]}$

Esta representación exhibe el conjunto de todas las transformaciones afines invertibles como el producto semidirecto de y . Se trata de un grupo bajo la operación de composición de funciones, llamado grupo afín . ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$

La multiplicación ordinaria de matriz-vector siempre asigna el origen al origen y, por lo tanto, nunca podría representar una traducción, en la que el origen necesariamente debe asignarse a algún otro punto. Al agregar la coordenada adicional "1" a cada vector, esencialmente se considera el espacio que se va a mapear como un subconjunto de un espacio con una dimensión adicional. En ese espacio, el espacio original ocupa el subconjunto en el que la coordenada adicional es 1. Por tanto, el origen del espacio original se puede encontrar en . Entonces es posible una traslación dentro del espacio original mediante una transformación lineal del espacio de dimensiones superiores (en concreto, una transformación de corte). Las coordenadas en el espacio de dimensiones superiores son un ejemplo de coordenadas homogéneas . Si el espacio original es euclidiano , el espacio de dimensiones superiores es un espacio proyectivo real . ${\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)}$

La ventaja de utilizar coordenadas homogéneas es que se puede combinar cualquier número de transformaciones afines en una multiplicando las matrices respectivas. Esta propiedad se utiliza ampliamente en gráficos por computadora , visión por computadora y robótica .

Ejemplo de matriz aumentada

Supongamos que tiene tres puntos que definen un triángulo no degenerado en un plano, o cuatro puntos que definen un tetraedro no degenerado en un espacio tridimensional, o generalmente n + 1 puntos x ₁ , ..., x _{n +1} que defina un simplex no degenerado en un espacio n -dimensional. Supongamos que tiene puntos de destino correspondientes y ₁ , ..., y _{n +1} , donde estos nuevos puntos pueden estar en un espacio con cualquier número de dimensiones. (Además, los nuevos puntos no necesitan ser distintos entre sí y no necesitan formar un simplex no degenerado). La matriz aumentada única M que logra la transformación afín

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}$$

Propiedades

Propiedades preservadas

Una transformación afín conserva:

1. Colinealidad entre puntos: tres o más puntos que se encuentran en la misma recta (llamados puntos colineales) continúan siendo colineales después de la transformación.
2. paralelismo : dos o más rectas que son paralelas, continúan siéndolo después de la transformación.
3. Convexidad de conjuntos: un conjunto convexo sigue siendo convexo después de la transformación. Además, los puntos extremos del conjunto original se asignan a los puntos extremos del conjunto transformado. ^[12]
4. razones de longitudes de segmentos de línea paralelos: para distintos segmentos paralelos definidos por puntos y , y , la razón de y es la misma que la de y . ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{3}}$ ${\displaystyle p_{4}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}}$
5. baricentros de colecciones ponderadas de puntos.

Grupos

Como una transformación afín es invertible , la matriz cuadrada que aparece en su representación matricial es invertible . La representación matricial de la transformación inversa es, por tanto, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}$

Las transformaciones afines invertibles (de un espacio afín sobre sí mismo) forman el grupo afín , que tiene al grupo lineal general de grado como subgrupo y es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general de grado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$

Las transformaciones de similitud forman el subgrupo donde es un escalar multiplicado por una matriz ortogonal . Por ejemplo, si la transformación afín actúa en el plano y si el determinante de es 1 o −1 entonces la transformación es una aplicación equiareal . Tales transformaciones forman un subgrupo llamado grupo equiafín . ^[13] Una transformación que es a la vez equiafín y similar es una isometría del plano tomada con distancia euclidiana . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Cada uno de estos grupos tiene un subgrupo de transformaciones afines orientativa -conservadoras o positivas : aquellas donde el determinante de es positivo. En el último caso se trata en 3D del grupo de transformaciones rígidas ( rotaciones propias y traslaciones puras). ${\displaystyle A}$

Si hay un punto fijo, podemos tomarlo como origen y la transformación afín se reduce a una transformación lineal. Esto puede facilitar la clasificación y comprensión de la transformación. Por ejemplo, describir una transformación como una rotación de un cierto ángulo con respecto a un determinado eje puede dar una idea más clara del comportamiento general de la transformación que describirla como una combinación de una traslación y una rotación. Sin embargo, esto depende de la aplicación y el contexto.

mapas afines

Una aplicación afín entre dos espacios afines es una aplicación sobre los puntos que actúa linealmente sobre los vectores (es decir, los vectores entre puntos del espacio). En símbolos, determina una transformación lineal tal que, para cualquier par de puntos : ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}$

o

${\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P)}$.

Podemos interpretar esta definición de algunas otras maneras, como sigue.

Si se elige un origen y denota su imagen , esto significa que para cualquier vector : ${\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}}))}$.

Si también se elige un origen, este se puede descomponer como una transformación afín que envía , es decir ${\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle O\mapsto O'}$

${\displaystyle g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}}))}$,

seguido de la traslación por un vector . ${\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}}$

La conclusión es que, intuitivamente, consta de una traslación y un mapa lineal. ${\displaystyle f}$

Definición alternativa

Dados dos espacios afines y , sobre el mismo campo, una función es un mapa afín si y sólo si para cada familia de puntos ponderados de modo que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{(a_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1}$,

tenemos ^[14]

${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}a_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(a_{i})}$.

En otras palabras, preserva los baricentros . ${\displaystyle f}$

Historia

La palabra "afín" como término matemático se define en relación con las tangentes a las curvas en la Introductio in analysin infinitorum de Euler de 1748 . ^[15] Felix Klein atribuye el término "transformación afín" a Möbius y Gauss . ^[10]

Transformación de imagen

En sus aplicaciones al procesamiento de imágenes digitales , las transformaciones afines son análogas a imprimir sobre una lámina de caucho y estirar los bordes de la lámina paralelos al plano. Esta transformación reubica los píxeles que requieren interpolación de intensidad para aproximar el valor de los píxeles movidos; la interpolación bicúbica es el estándar para transformaciones de imágenes en aplicaciones de procesamiento de imágenes. Las transformaciones afines escalan, rotan, trasladan, reflejan y cortan imágenes como se muestra en los siguientes ejemplos: ^[16]

Las transformadas afines son aplicables al proceso de registro donde se alinean (registran) dos o más imágenes. Un ejemplo de registro de imágenes es la generación de imágenes panorámicas que son producto de múltiples imágenes unidas .

deformación afín

La transformación afín conserva líneas paralelas. Sin embargo, las transformaciones de estiramiento y corte deforman las formas, como muestra el siguiente ejemplo:

Este es un ejemplo de deformación de imágenes. Sin embargo, las transformaciones afines no facilitan la proyección sobre una superficie curva ni las distorsiones radiales .

En el avión

Una dilatación central. Los triángulos A1B1Z, A1C1Z y B1C1Z se asignan a A2B2Z, A2C2Z y B2C2Z, respectivamente.

Las transformaciones afines en dos dimensiones reales incluyen:

• traducciones puras,
• escalar en una dirección determinada, con respecto a una línea en otra dirección (no necesariamente perpendicular), combinado con una traslación que no es puramente en la dirección de escala; tomando "escalamiento" en un sentido generalizado incluye los casos en que el factor de escala sea cero ( proyección ) o negativo; este último incluye la reflexión y, combinado con la traducción, incluye la reflexión de deslizamiento ,
• rotación combinada con una homotecia y una traslación,
• mapeo de corte combinado con una homotecia y una traslación, o
• mapeo de compresión combinado con una homotecia y una traducción.

Para visualizar la transformación afín general del plano euclidiano , tome los paralelogramos etiquetados ABCD y A′B′C′D′ . Cualesquiera que sean las elecciones de puntos, existe una transformación afín T del plano que lleva A a A′ , y cada vértice de manera similar. Suponiendo que excluimos el caso degenerado donde ABCD tiene área cero , existe una transformación afín única T. Dibujando una cuadrícula completa de paralelogramos basada en ABCD , la imagen T ( P ) de cualquier punto P se determina observando que T ( A ) = A′ , T aplicado al segmento de línea AB es A′B′ , T aplicado a el segmento de línea AC es A′C′ y T respeta múltiplos escalares de vectores basados ​​en A . [Si A , E , F son colineales, entonces la relación longitud ( AF )/longitud ( AE ) es igual a longitud ( A ′ F ′)/longitud ( A ′ E ′).] Geométricamente, T transforma la cuadrícula según ABCD en el basado en A′B′C′D′ .

Las transformaciones afines no respetan longitudes ni ángulos; multiplican el área por un factor constante

área de A′B′C′D′ / área de ABCD .

Una T dada puede ser directa (orientación respetuosa) o indirecta (orientación inversa), y esto puede estar determinado por su efecto en áreas firmadas (como se define, por ejemplo, por el producto cruzado de vectores).

Ejemplos

Sobre los números reales

Las funciones con y en y , son precisamente las transformaciones afines de la recta real . ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\neq 0}$

En geometría plana

Una simple transformación afín en el plano real.

Efecto de aplicar varias matrices de transformación afín 2D sobre un cuadrado unitario. Tenga en cuenta que las matrices de reflexión son casos especiales de la matriz de escala.

En , la transformación que se muestra a la izquierda se logra usando el mapa dado por: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}$

Transformar los tres puntos de las esquinas del triángulo original (en rojo) da tres nuevos puntos que forman el nuevo triángulo (en azul). Esta transformación distorsiona y traduce el triángulo original.

De hecho, todos los triángulos están relacionados entre sí mediante transformaciones afines. Esto también es válido para todos los paralelogramos, pero no para todos los cuadriláteros.

Ver también

• Anamorfosis : aplicaciones artísticas de transformaciones afines.
• Geometría afín
• Proyección 3D
• Homografía
• Plano (geometría)
• función doblada

Notas

1. Berger 1987, pág. 38.
2. Samuel 1988, pag. 11.
3. Pargo y Troyer 1989, pag. sesenta y cinco.
4. Pargo y Troyer 1989, pag. 66.
5. Pargo y Troyer 1989, pag. 69.
6. Pargo y Troyer 1989, pag. 59.
7. Pargo y Troyer 1989, pag. 76,87.
8. Pargo y Troyer 1989, pag. 86.
9. Wan 1993, págs. 19-20.
10. Klein 1948, pág. 70.
11. Brannan, Esplen y Gray 1999, pág. 53.
12. Reinhard Schultz. «Transformaciones afines y convexidad» (PDF) . Consultado el 27 de febrero de 2017 .
13. Oswald Veblen (1918) Geometría proyectiva , volumen 2, págs.
14. Schneider, Philip K.; Eberly, David H. (2003). Herramientas geométricas para gráficos por computadora. Morgan Kaufman. pag. 98.ISBN​ 978-1-55860-594-7.
15. Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (en latín). vol. II.Libro II, secc. XVIII, art. 442
16. González, Rafael (2008).'Procesamiento de imágenes digitales, 3.º'. Salón Pearson. ISBN 9780131687288.

Referencias

• Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Brannan, David A.; Esplén, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometría , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
• Nomizu, Katsumi ; Sasaki, S. (1994), Geometría diferencial afín (nueva ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Klein, Felix (1948) [1939], Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , Dover
• Samuel, Pierre (1988), Geometría proyectiva , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Pargo, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Geometría afín métrica , Dover, ISBN 978-0-486-66108-7
• Wan, Zhe-xian (1993), Geometría de grupos clásicos sobre campos finitos , Chartwell-Bratt, ISBN 0-86238-326-9

enlaces externos

• Medios relacionados con la transformación afín en Wikimedia Commons
• "Transformación afín", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Operaciones geométricas: transformada afín, R. Fisher, S. Perkins, A. Walker y E. Wolfart.
• Weisstein, Eric W. "Transformación afín". MundoMatemático .
• Affine Transform de Bernard Vuilleumier, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Transformación afín con MATLAB