Línea proyectiva sobre un anillo

Construcción proyectiva en la teoría de anillos

Ocho colores ilustran la línea proyectiva sobre el campo de Galois GF(7)

En matemáticas , la línea proyectiva sobre un anillo es una extensión del concepto de línea proyectiva sobre un cuerpo . Dado un anillo A (con 1), la línea proyectiva P ¹ ( A ) sobre A consiste en puntos identificados por coordenadas proyectivas . Sea A ^× el grupo de unidades de A ; los pares ( a , b ) y ( c , d ) de A × A están relacionados cuando hay una u en A ^× tal que ua = c y ub = d . Esta relación es una relación de equivalencia . Una clase de equivalencia típica se escribe U [ a , b ] .

P ¹ ( A ) = { U [ a , b ] | aA + bA = A } , es decir, U [ a , b ] está en la recta proyectiva si el ideal unilateral generado por a y b es todo  A .

La recta proyectiva P ¹ ( A ) está dotada de un grupo de homografías . Las homografías se expresan mediante el uso del anillo de matrices sobre A y su grupo de unidades V de la siguiente manera: Si c está en Z( A ^× ), el centro de A ^× , entonces la acción de grupo de la matriz sobre P ¹ ( A ) es la misma que la acción de la matriz identidad. Tales matrices representan un subgrupo normal N de V . Las homografías de P ¹ ( A ) corresponden a elementos del grupo cociente V  /  N . ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}c&0\\0&c\end{smallmatrix}}\right)}$

P ¹ ( A ) se considera una extensión del anillo A ya que contiene una copia de A debido a la incrustación E  : a → U [ a , 1] . La aplicación inversa multiplicativa u → 1/ u , ordinariamente restringida a A ^× , se expresa mediante una homografía en P ¹ ( A ):

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1,a]\thicksim U[a^{-1},1].}$

Además, para u , v ∈ A ^× , la aplicación a → uav se puede extender a una homografía:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\0&v\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U[av,u]\thicksim U[u^{-1}av,1].}$

Como u es arbitrario, se puede sustituir por u ⁻¹ . Las homografías en P ¹ ( A ) se denominan transformaciones lineales-fraccionales ya que

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),1].}$

Instancias

Seis colores ilustran la línea proyectiva sobre el campo de Galois GF(5)

Los anillos que son cuerpos son los más conocidos: la línea proyectiva sobre GF(2) tiene tres elementos: U [0, 1] , U [1, 0] y U [1, 1] . Su grupo de homografía es el grupo de permutación sobre estos tres. ^{[1] : 29}

El anillo Z  / 3 Z , o GF(3), tiene los elementos 1, 0 y −1; su línea proyectiva tiene los cuatro elementos U [1, 0] , U [1, 1] , U [0, 1] , U [1, −1] ya que tanto 1 como −1 son unidades . El grupo de homografía en esta línea proyectiva tiene 12 elementos, también descritos con matrices o como permutaciones. ^{[1] : 31} Para un cuerpo finito GF( q ), la línea proyectiva es la geometría de Galois PG(1, q ) . JWP Hirschfeld ha descrito las tétradas armónicas en las líneas proyectivas para q = 4, 5, 7, 8, 9. ^[2]

Sobre anillos discretos

Considérese P ¹ ( Z  /  n Z ) cuando n es un número compuesto . Si p y q son primos distintos que dividen a n , entonces ⟨ p ⟩ y ⟨ q ⟩ son ideales maximales en Z  /  n Z y por la identidad de Bézout hay a y b en Z tales que ap + bq = 1 , de modo que U [ p , q ] está en P ¹ ( Z  /  n Z ) pero no es una imagen de un elemento bajo la incrustación canónica. La totalidad de P ¹ ( Z  /  n Z ) se completa con elementos U [ up , vq ] , donde u ≠ v y u , v ∈ A ^× , siendo A ^× las unidades de Z  /  n Z . Las instancias Z  /  n Z se dan aquí para n = 6, 10 y 12, donde según la aritmética modular el grupo de unidades del anillo es ( Z  / 6 Z ) ^× = {1, 5} , ( Z  / 10 Z ) ^× = {1, 3, 7, 9} y ( Z  / 12 Z ) ^× = {1, 5, 7, 11} respectivamente. La aritmética modular confirmará que, en cada tabla, una letra dada representa múltiples puntos. En estas tablas, un punto U [ m , n ] está etiquetado por m en la fila en la parte inferior de la tabla y n en la columna a la izquierda de la tabla. Por ejemplo, el punto en el infinito A = U [ v , 0] , donde v es una unidad del anillo.

Los puntos adicionales se pueden asociar con Q ⊂ R ⊂ C , los racionales en el semiplano superior complejo extendido . El grupo de homografías en P ¹ ( Z  /  n Z ) se denomina subgrupo de congruencia principal . ^[3]

Para los números racionales Q , la homogeneidad de coordenadas significa que cada elemento de P ¹ ( Q ) puede ser representado por un elemento de P ¹ ( Z ). De manera similar, una homografía de P ¹ ( Q ) corresponde a un elemento del grupo modular , los automorfismos de P ¹ ( Z ).

Sobre anillos continuos

La línea proyectiva sobre un anillo de división da como resultado un único punto auxiliar ∞ = U [1, 0] . Algunos ejemplos son la línea proyectiva real , la línea proyectiva compleja y la línea proyectiva sobre cuaterniones . Estos ejemplos de anillos topológicos tienen la línea proyectiva como su compactificación de un punto . El caso del cuerpo de números complejos C tiene el grupo de Möbius como su grupo de homografía.

La línea proyectiva sobre los números duales fue descrita por Josef Grünwald en 1906. ^[4] Este anillo incluye un n nilpotente distinto de cero que satisface nn = 0 . El plano { z = x + yn | x , y ∈ R } de los números duales tiene una línea proyectiva que incluye una línea de puntos U [1, xn ], x ∈ R . ^[5] Isaak Yaglom lo ha descrito como un "plano galileano inverso" que tiene la topología de un cilindro cuando se incluye la línea suplementaria. ^{[6] : 149–153} De manera similar, si A es un anillo local , entonces P ¹ ( A ) está formado por puntos adyacentes correspondientes a los elementos del ideal maximal de  A .

La línea proyectiva sobre el anillo M de números complejos divididos introduce líneas auxiliares { U [1, x (1 + j)] | x ∈ R } y { U [1, x (1 − j)] | x ∈ R } Usando la proyección estereográfica, el plano de números complejos divididos se cierra con estas líneas a un hiperboloide de una hoja. ^{[6] : 174–200  [7]} La ​​línea proyectiva sobre M puede llamarse el plano de Minkowski cuando se caracteriza por el comportamiento de las hipérbolas bajo el mapeo homográfico.

Módulos

La línea proyectiva P ¹ ( A ) sobre un anillo A también puede identificarse como el espacio de módulos proyectivos en el módulo A ⊕ A . Un elemento de P ¹ ( A ) es entonces un sumando directo de A ⊕ A . Este enfoque más abstracto sigue la visión de la geometría proyectiva como la geometría de subespacios de un espacio vectorial , a veces asociada con la teoría reticular de Garrett Birkhoff ^[8] o el libro Linear Algebra and Projective Geometry de Reinhold Baer . En el caso del anillo de enteros racionales Z , la definición de sumando del módulo de P ¹ ( Z ) limita la atención a U [ m , n ] , m coprimo con n , y elimina las incrustaciones que son una característica principal de P ¹ ( A ) cuando A es topológico. El artículo de 1981 de W. Benz, Hans-Joachim Samaga y Helmut Scheaffer menciona la definición de sumando directo.

En un artículo "Representaciones proyectivas: líneas proyectivas sobre anillos" ^[9] se utilizan el grupo de unidades de un anillo matricial M ₂ ( R ) y los conceptos de módulo y bimódulo para definir una línea proyectiva sobre un anillo. El grupo de unidades se denota por GL(2, R ) , adoptando la notación del grupo lineal general , donde R se toma habitualmente como un cuerpo.

La línea proyectiva es el conjunto de órbitas bajo GL(2, R ) del submódulo cíclico libre R (1, 0) de R × R . Extendiendo la teoría conmutativa de Benz, la existencia de un inverso multiplicativo derecho o izquierdo de un elemento de anillo está relacionada con P ¹ ( R ) y GL(2, R ) . Se caracteriza la propiedad de finitud de Dedekind . Lo más significativo es que la representación de P ¹ ( R ) en un espacio proyectivo sobre un anillo de división K se logra con un ( K , R ) -bimódulo U que es un espacio vectorial izquierdo K y un módulo derecho R. Los puntos de P ¹ ( R ) son subespacios de P ¹ ( K , U × U ) isomorfos a sus complementos.

Relación cruzada

Una homografía h que lleva tres elementos particulares del anillo a , b , c a los puntos de la línea proyectiva U [0, 1] , U [1, 1] , U [1, 0] se llama homografía de razón cruzada . A veces ^{[10] [11]} la razón cruzada se toma como el valor de h en un cuarto punto x  : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .

Para construir h a partir de a , b , c las homografías del generador

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

Se utilizan, prestando atención a los puntos fijos : +1 y −1 se fijan bajo inversión, U [1, 0] se fija bajo traslación y la "rotación" con u deja U [0, 1] y U [1, 0] fijas. Las instrucciones son colocar c primero, luego llevar a a U [0, 1] con traslación y, finalmente, usar la rotación para mover b a U [1, 1] .

Lema: Si A es un anillo conmutativo y b − a , c − b , c − a son todas unidades, entonces ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ es una unidad.

Prueba: Evidentemente es una unidad, como se requiere. ${\displaystyle {\frac {b-a}{(b-c)(c-a)}}={\frac {(b-c)+(c-a)}{(b-c)(c-a)}}}$

Teorema: Si ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ es una unidad, entonces existe una homografía h en G( A ) tal que

h ( a ) = U [0, 1] , h ( b ) = U [1, 1] , y h ( c ) = U [1, 0] .

Demostración: El punto p = ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ es la imagen de b después de que a se pone a 0 y luego se invierte a U [1, 0] , y la imagen de c se lleva a U [0, 1] . Como p es una unidad, su inversa utilizada en una rotación moverá p a U [1, 1] , lo que da como resultado que a , b , c estén todos colocados correctamente. El lema se refiere a condiciones suficientes para la existencia de h .

Una aplicación de la razón cruzada define el conjugado armónico proyectivo de una tripleta a , b , c , como el elemento x que satisface ( x , a , b , c ) = −1 . Una cuádruple de este tipo es una tétrada armónica . Las tétradas armónicas en la línea proyectiva sobre un cuerpo finito GF( q ) se utilizaron en 1954 para delimitar los grupos lineales proyectivos PGL(2, q ) para q = 5, 7 y 9, y demostrar isomorfismos accidentales . ^[12]

Cadenas

La línea real en el plano complejo se permuta con círculos y otras líneas reales bajo transformaciones de Möbius , que en realidad permutan la incrustación canónica de la línea proyectiva real en la línea proyectiva compleja . Supongamos que A es un álgebra sobre un cuerpo F , generalizando el caso donde F es el cuerpo de números reales y A es el cuerpo de números complejos. La incrustación canónica de P ¹ ( F ) en P ¹ ( A ) es

${\displaystyle U_{F}[x,1]\mapsto U_{A}[x,1],\quad U_{F}[1,0]\mapsto U_{A}[1,0].}$

Una cadena es la imagen de P ¹ ( F ) bajo una homografía en P ¹ ( A ). Cuatro puntos se encuentran en una cadena si y sólo si su razón cruzada está en F . Karl von Staudt explotó esta propiedad en su teoría de los "trazos reales" [reeler Zug]. ^[13]

Paralelismo puntual

Dos puntos de P ¹ ( A ) son paralelos si no hay una cadena que los conecte. Se ha adoptado la convención de que los puntos son paralelos entre sí. Esta relación es invariante bajo la acción de una homografía en la línea proyectiva. Dados tres puntos no paralelos por pares, existe una única cadena que conecta los tres. ^[14]

Historia

August Ferdinand Möbius investigó las transformaciones de Möbius entre su libro Cálculo baricéntrico (1827) y su artículo de 1855 "Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung". A Karl Wilhelm Feuerbach y Julius Plücker también se les atribuye el origen del uso de coordenadas homogéneas. Eduard Study en 1898 y Élie Cartan en 1908 escribieron artículos sobre números hipercomplejos para las Enciclopedias de Matemáticas alemana y francesa , respectivamente, donde utilizan estas aritméticas con transformaciones fraccionarias lineales en imitación de las de Möbius. En 1902, Theodore Vahlen contribuyó con un artículo breve pero bien referenciado que exploraba algunas transformaciones fraccionarias lineales de un álgebra de Clifford . ^[15] El anillo de números duales D le dio a Josef Grünwald la oportunidad de exhibir P ¹ ( D ) en 1906. ^[4] Corrado Segre (1912) continuó el desarrollo con ese anillo. ^[5]

Arthur Conway , uno de los primeros en adoptar la relatividad a través de transformaciones biquaterniones , consideró la transformación cuaternion-multiplicativa-inversa en su estudio de relatividad de 1911. ^[16] En 1947, PG Gormley describió algunos elementos de la geometría cuaternionaria inversa en Irlanda. ^[17] En 1968, Complex Numbers in Geometry de Isaak Yaglom apareció en inglés, traducido del ruso. Allí, utiliza P ¹ ( D ) para describir la geometría de línea en el plano euclidiano y P ¹ ( M ) para describirla para el plano de Lobachevski. El texto de Yaglom A Simple Non-Euclidean Geometry apareció en inglés en 1979. Allí, en las páginas 174 a 200, desarrolla la geometría minkowskiana y describe P ¹ ( M ) como el "plano inverso de Minkowski". El original ruso del texto de Yaglom se publicó en 1969. Entre las dos ediciones, Walter Benz (1973) publicó su libro , ^[7] que incluía las coordenadas homogéneas tomadas de  M.

Véase también

• El huerto de Euclides

Notas y referencias

1. Rankin, RA (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X
2. Hirschfeld, JWP (1979). Geometrías proyectivas sobre cuerpos finitos . Oxford University Press . pág. 129. ISBN. 978-0-19-850295-1.
3. Saniga, Metod; Planat, Michel; Kibler, Maurice R.; Pracna, Petr (2007), "Una clasificación de las líneas proyectivas sobre pequeños anillos", Chaos, Solitons & Fractals , 33 (4): 1095–1102, arXiv : math/0605301 , Bibcode :2007CSF....33.1095S, doi :10.1016/j.chaos.2007.01.008, MR  2318902
4. Grünwald, Josef (1906), "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie", Monatshefte für Mathematik , 17 : 81–136, doi :10.1007/BF01697639
5. Corrado Segre (1912) "Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali", Papel XL de Opere , también Atti della R. Academia della Scienze di Torino , vol XLVII.
6. Yaglom, Isaak (1979), Una geometría no euclidiana simple y su base física , Springer, ISBN 0387-90332-1, Sr.  0520230
7. Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geometrie der Algebren , §2.1 Projective Gerade über einem Ring, §2.1.2 Die proyectivo Gruppe, §2.1.3 Transitivitätseigenschaften, §2.1.4 Doppelverhaltnisse, Springer ISBN 0-387-05786-2 Señor 353137 
8. Birkhoff y Maclane (1953) Encuesta de álgebra moderna , págs. 293-298, o edición AKP Classics de 1997, págs. 312-317
9. Blunck, A.; Havlicek, H. (2000), "Representaciones proyectivas: líneas proyectivas sobre anillos", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 70 : 287–299, doi :10.1007/BF02940921, MR  1809553Este artículo utiliza una definición alternativa de línea proyectiva sobre un anillo que restringe los elementos de la línea proyectiva sobre Z a aquellos de la forma U [ m , n ) donde m y n son coprimos.
10. Jones, Gareth; Singerman, David (1987), Funciones complejas , Cambridge University Press , págs. 23, 24
11. Joseph A. Thas (1968/9) "Relación cruzada de un punto ordenado cuádruple en la línea proyectiva sobre un álgebra asociativa con un elemento unitario" (en holandés) Simon Stevin 42:97–111 MR 0266032
12. Dieudonné, Jean (1954), "Les Isomorphisms Exceptionals entre les groups classiques finis", Canadian Journal of Mathematics , 6 : 305–315, doi :10.4153/CJM-1954-029-0
13. von Staudt, Karl (1856), Beträge zur Geometrie der Lage
14. Walter Benz , Hans-Joachim Samaga y Helmut Scheaffer (1981) "Ratios cruzadas y un tratamiento unificador de la noción de Reeller Zug de von Staudt", págs. 127-150 en Geometría: el punto de vista de von Staudt , Peter Plaumann y Karl Strambach editores, Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Bad Windsheim, julio/agosto de 1980, D. Reidel , ISBN 90-277-1283-2 , MR 0621313 
15. Vahlen, Theodore (1902), "Über Bewegungen und complexe Zahlen", Mathematische Annalen , 55 (4): 585–593, doi :10.1007/BF01450354
16. Conway, Arthur (1911), "Sobre la aplicación de cuaterniones a algunos desarrollos recientes de la teoría eléctrica", Actas de la Real Academia Irlandesa , 29 : 1–9, en particular la página 9
17. Gormley, PG (1947), "Proyección estereográfica y el grupo fraccionario lineal de transformaciones de cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa , Sección A , 51 : 67–85

• Brewer, Sky (2012), "Relación cruzada proyectiva en números hipercomplejos", Advances in Applied Clifford Algebras , doi :10.1007/s00006-12-0335-7 (inactivo 2024-06-30){{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of June 2024 (link)
• Yaglom, IM (1968), Números complejos en geometría

Lectura adicional

• Ancochea, G. (1942), "Le théorèm de von Staudt en géométrie projective quaternionienne", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 184 : 193–198, doi :10.1515/crll.1942.184.193
• Limaye, NB (1972), "Razones cruzadas y proyectividades de una línea", Mathematische Zeitschrift , 129 : 49–53, doi :10.1007/BF01229540, MR  0314823
• Limaye, BV; Limaye, NB (1977), "El teorema fundamental para la línea proyectiva sobre anillos conmutativos", Aequationes Mathematica , 16 (3): 275–281, doi :10.1007/BF01836039, MR  0513873
• Limaye, BV; Limaye, NB (1977), "El teorema fundamental para la línea proyectiva sobre anillos locales no conmutativos", Archiv der Mathematik , 28 (1): 102–109, doi :10.1007/BF01223897, MR  0480495
• Wild, Marcel (2006), "El teorema fundamental de la geometría proyectiva para un módulo dos de longitud arbitraria", Rocky Mountain Journal of Mathematics , 36 (6): 2075–2080, doi :10.1216/rmjm/1181069362

Enlaces externos

• Mitod Saniga (2006) Líneas proyectivas sobre anillos finitos (pdf) del Instituto Astronómico de la Academia Eslovaca de Ciencias