círculo generalizado

Concepto de geometría que incluye línea y círculo.

En geometría , un círculo generalizado , a veces llamado cline o circline , ^[1] es una línea recta o un círculo , las curvas de curvatura constante en el plano euclidiano .

El escenario natural de los círculos generalizados es el plano extendido, un plano junto con un punto en el infinito por el que se considera que pasa toda línea recta. Dados tres puntos distintos en el plano extendido, existe precisamente un círculo generalizado que pasa por los tres.

Los círculos generalizados aparecen a veces en la geometría euclidiana , que tiene una noción bien definida de distancia entre puntos, y donde cada círculo tiene un centro y un radio: el punto en el infinito puede considerarse infinitamente distante de cualquier otro punto, y puede considerarse una línea. como un círculo degenerado sin centro bien definido y con radio infinito ( curvatura cero ). Una reflexión a través de una línea es una isometría euclidiana (transformación que preserva la distancia) que asigna líneas a líneas y círculos a círculos; pero una inversión en un círculo no lo es, distorsionando distancias y mapeando cualquier línea a un círculo que pasa por el centro de los círculos de referencia, y viceversa.

Sin embargo, los círculos generalizados son fundamentales para la geometría inversa , en la que los círculos y las líneas se consideran indistinguibles, el punto en el infinito no se distingue de ningún otro punto y se ignoran las nociones de curvatura y distancia entre puntos. En geometría inversiva, las reflexiones, las inversiones y, más generalmente, sus composiciones , llamadas transformaciones de Möbius , asignan círculos generalizados a círculos generalizados y preservan las relaciones inversas entre objetos.

El plano extendido se puede identificar con la esfera mediante una proyección estereográfica . El punto en el infinito se convierte entonces en un punto ordinario de la esfera, y todos los círculos generalizados se convierten en círculos de la esfera.

Plano complejo extendido

Un círculo en el plano complejo especificado como una ecuación implícita en términos de centro y radio.

El plano euclidiano extendido puede identificarse con el plano complejo extendido , de modo que las ecuaciones de números complejos pueden usarse para describir rectas, circunferencias e inversiones.

Ecuación lineal bivariada

Un círculo es el conjunto de puntos en un plano que se encuentran en el radio de un punto central. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma .}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{the distance between }}z{\text{ and }}\gamma {\text{ is }}r\}}$

En el plano complejo , es un número complejo y es un conjunto de números complejos. Usando la propiedad de que un número complejo multiplicado por su conjugado es el cuadrado de su módulo (su distancia euclidiana desde el origen), una ecuación implícita es : ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}}$

Esta es una ecuación polinómica lineal bivariada homogénea en términos de la variable compleja y su conjugada de la forma ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}},}$

${\displaystyle Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,}$

donde los coeficientes y son reales y y son conjugados complejos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Al dividir por y luego invertir los pasos anteriores, el radio y el centro se pueden recuperar de cualquier ecuación de esta forma. La ecuación representa un círculo generalizado en el plano cuando es real, lo cual ocurre cuando el radio al cuadrado es positivo. Cuando es cero, la ecuación define una línea recta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle AD<BC}$ ${\displaystyle r^{2}=(BC-AD)/A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

Recíproco complejo

Que la transformación recíproca asigna círculos generalizados a círculos generalizados es sencillo de verificar: ${\displaystyle z\mapsto w=1/z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}}$

Las líneas que pasan por el origen ( ) ${\displaystyle A=D=0}$ se asignan a líneas que pasan por el origen; las líneas que no pasan por el origen ( ) ${\displaystyle A=0,D\neq 0}$ se asignan a círculos que pasan por el origen; los círculos que pasan por el origen ( ) ${\displaystyle A\neq 0,D=0}$ se asignan a líneas que no pasan por el origen; y los círculos que no pasan por el origen ( ) ${\displaystyle A\neq 0,D\neq 0}$ se asignan a círculos que no pasan por el origen.

Representación matricial compleja

La ecuación definitoria de un círculo generalizado.

${\displaystyle 0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D}$

se puede escribir como una ecuación matricial

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.}$

Simbólicamente,

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},}$

con coeficientes colocados en una matriz hermitiana invertible que representa el círculo y un vector que representa un número complejo extendido. ${\displaystyle {\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}}$

Dos de estas matrices especifican el mismo círculo generalizado si y sólo si una es un múltiplo escalar de la otra.

Para transformar el círculo generalizado representado por la transformación de Möbius, aplique la inversa de la transformación de Möbius al vector en la ecuación implícita, ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\mathfrak {G}}\mathbf {z} \right)^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\overline {({\mathfrak {G}}\mathbf {z} )}}\\[5mu]&=\mathbf {z} ^{\text{T}}\left({\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}\right){\bar {\mathbf {z} }},\end{aligned}}}$

entonces el nuevo círculo puede ser representado por la matriz ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.}$

Notas

1. Hitchman, Michael P. (2009). Geometría con una introducción a la topología cósmica. Jones y Bartlett. pag. 43.

Referencias

• Hans Schwerdtfeger , Geometría de números complejos , Publicaciones Courier Dover , 1979
• Michael Henle, "Geometría moderna: no euclidiana, proyectiva y discreta", 2.ª edición, Prentice Hall , 2001
• David W. Lyons (2021) Geometría de Möbius de LibreTexts