Operador autoadjunto

Operador lineal igual a su propio adjunto

En matemáticas , un operador autoadjunto en un espacio vectorial complejo V con producto interno es una función lineal A (de V a sí misma) que es su propio adjunto . Si V es de dimensión finita con una base ortonormal dada , esto es equivalente a la condición de que la matriz de A sea una matriz hermítica , es decir, igual a su transpuesta conjugada A ^{∗ . Por el} teorema espectral de dimensión finita , V tiene una base ortonormal tal que la matriz de A relativa a esta base es una matriz diagonal con entradas en los números reales . Este artículo trata de aplicar generalizaciones de este concepto a operadores en espacios de Hilbert de dimensión arbitraria. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Los operadores autoadjuntos se utilizan en el análisis funcional y la mecánica cuántica . En la mecánica cuántica, su importancia radica en la formulación de Dirac-von Neumann de la mecánica cuántica, en la que los observables físicos como la posición , el momento , el momento angular y el espín se representan mediante operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert. De particular importancia es el operador hamiltoniano definido por ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi ,}$

que como observable corresponde a la energía total de una partícula de masa m en un campo potencial real V. Los operadores diferenciales son una clase importante de operadores ilimitados .

La estructura de los operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert de dimensión infinita se asemeja esencialmente al caso de dimensión finita. Es decir, los operadores son autoadjuntos si y solo si son unitariamente equivalentes a operadores de multiplicación de valor real . Con las modificaciones adecuadas, este resultado se puede extender a operadores posiblemente ilimitados en espacios de dimensión infinita. Dado que un operador autoadjunto definido en todas partes está necesariamente limitado, es necesario prestar más atención a la cuestión del dominio en el caso ilimitado. Esto se explica a continuación con más detalle.

Definiciones

Sea un espacio de Hilbert y un operador no acotado (es decir, no necesariamente acotado) con un dominio denso . Esta condición se cumple automáticamente cuando es de dimensión finita ya que para cada operador lineal en un espacio de dimensión finita. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A=H}$

El gráfico de un operador (arbitrario) es el conjunto Se dice que un operador extiende si Esto se escribe como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)\subseteq G(B).}$ ${\displaystyle A\subseteq B.}$

Sea el producto interno lineal conjugado en el segundo argumento. El operador adjunto actúa sobre el subespacio formado por los elementos tales que ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\subseteq H}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.}$

El operador definido densamente se llama simétrico (o hermítico ) si , es decir, si y para todo . Equivalentemente, es simétrico si y sólo si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle Ax=A^{*}x}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {Dom} A.}$

Como es denso en , los operadores simétricos siempre se pueden cerrar (es decir, el cierre de es el gráfico de un operador). Si es una extensión cerrada de , la extensión cerrada más pequeña de debe estar contenida en . Por lo tanto, ${\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\supseteq \operatorname {Dom} A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{**}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle A\subseteq A^{**}\subseteq A^{*}}$

para operadores simétricos y

${\displaystyle A=A^{**}\subseteq A^{*}}$

para operadores simétricos cerrados. ^[1]

El operador definido densamente se llama autoadjunto si , es decir, si y solo si es simétrico y . De manera equivalente, un operador simétrico cerrado es autoadjunto si y solo si es simétrico. Si es autoadjunto, entonces es real para todo , es decir, ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\langle x,Ax\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in H}$

${\displaystyle \langle x,Ax\rangle ={\overline {\langle Ax,x\rangle }}={\overline {\langle x,Ax\rangle }}\in \mathbb {R} ,\quad \forall x\in H.}$

Se dice que un operador simétrico es esencialmente autoadjunto si el cierre de es autoadjunto. De manera equivalente, es esencialmente autoadjunto si tiene una única extensión autoadjunta. En términos prácticos, tener un operador esencialmente autoadjunto es casi tan bueno como tener un operador autoadjunto, ya que solo necesitamos tomar el cierre para obtener un operador autoadjunto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En física, el término hermítico se refiere tanto a operadores simétricos como a operadores autoadjuntos. La diferencia sutil entre ambos suele pasarse por alto.

Operadores autoadjuntos acotados

Sea un espacio de Hilbert y un operador simétrico. Según el teorema de Hellinger-Toeplitz , si entonces es necesariamente acotado. ^[3] Un operador acotado es autoadjunto si ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:H\to H}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in H.}$

Todo operador acotado puede escribirse en la forma compleja donde y son operadores autoadjuntos acotados. ^[4] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle T=A+iB}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle B:H\to H}$

Alternativamente, cada operador lineal acotado positivo es autoadjunto si el espacio de Hilbert es complejo . ^[5] ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle H}$

Propiedades

Un operador autoadjunto acotado definido en tiene las siguientes propiedades: ^{[6] [7]} ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A\right)=H}$

• ${\displaystyle A:H\to \operatorname {Im} A\subseteq H}$es invertible si la imagen de es densa en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H.}$
• ${\displaystyle \left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1\right\}}$
• Los valores propios de son reales y los vectores propios correspondientes son ortogonales. ${\displaystyle A}$
• Si es un valor propio de entonces , donde si y es un operador autoadjunto compacto . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\lambda |\leq \|A\|}$ ${\displaystyle |\lambda |=\|A\|}$ ${\displaystyle \|x\|=1}$ ${\displaystyle A}$

Espectro de operadores autoadjuntos

Sea un operador ilimitado. ^[8] El conjunto resolutivo (o conjunto regular ) de se define como ${\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\exists (A-\lambda I)^{-1}\;{\text{bounded and densely defined}}\right\}.}$

Si es acotado, la definición se reduce a ser biyectiva en . El espectro de se define como el complemento ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A).}$

En dimensiones finitas, consiste exclusivamente en valores propios (complejos) . ^[9] El espectro de un operador autoadjunto es siempre real (es decir, ), aunque también existen operadores no autoadjuntos con espectro real. ^{[10] [11]} Sin embargo, para operadores acotados ( normales ), el espectro es real si y solo si el operador es autoadjunto. ^[12] Esto implica, por ejemplo, que un operador no autoadjunto con espectro real es necesariamente ilimitado. ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {R} }$

Como preliminar, defina y con . Luego, para cada uno y cada una ${\displaystyle S=\{x\in \operatorname {Dom} A\mid \Vert x\Vert =1\},}$ ${\displaystyle \textstyle m=\inf _{x\in S}\langle Ax,x\rangle }$ ${\displaystyle \textstyle M=\sup _{x\in S}\langle Ax,x\rangle }$ ${\displaystyle m,M\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A,}$

${\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}$

dónde ${\displaystyle \textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.}$

De hecho, sea por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A\setminus \{0\}.}$

${\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq {\frac {|\langle (A-\lambda )x,x\rangle |}{\Vert x\Vert }}=\left|\left\langle A{\frac {x}{\Vert x\Vert }},{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\rangle -\lambda \right|\cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert .}$

Si entonces y se llama acotado inferiormente . ${\displaystyle \lambda \notin [m,M],}$ ${\displaystyle d(\lambda )>0,}$ ${\displaystyle A-\lambda I}$

Teorema  :  El operador autoadjunto tiene espectro real

Prueba

Sea autoadjunto y denote con Es suficiente para demostrar que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R_{\lambda }=A-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].}$

1. Sea El objetivo es probar la existencia y la delimitación de y demostrar que Comenzamos demostrando que y ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus [m,M].}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1},}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} R_{\lambda }^{-1}=H.}$ ${\displaystyle \ker R_{\lambda }=\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }=H.}$
   1. Como se muestra arriba, está acotado por debajo, es decir, con la trivialidad de lo que sigue. ${\displaystyle R_{\lambda }}$ ${\displaystyle \Vert R_{\lambda }x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}$ ${\displaystyle d(\lambda )>0.}$ ${\displaystyle \ker R_{\lambda }}$
   2. Queda por demostrar que , en efecto, ${\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }=H.}$
      1. ${\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }}$es cerrada. Para probar esto, escoja una secuencia que converja a algún Dado que es fundamental . Por lo tanto, converge a algún Además, y Los argumentos presentados hasta ahora son válidos para cualquier operador simétrico. Ahora se deduce de la autoadjunción que es cerrada, por lo que y en consecuencia ${\displaystyle y_{n}=R_{\lambda }x_{n}\in \operatorname {Im} R_{\lambda }}$ ${\displaystyle y\in H.}$ $${\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|\leq {\frac {1}{d(\lambda )}}\|y_{n}-y_{m}\|,}$$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x\in H.}$ ${\displaystyle y_{n}+\lambda x_{n}=Ax_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}+\lambda x_{n}\to y+\lambda x.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} R_{\lambda },}$ ${\displaystyle Ax=y+\lambda x\in \operatorname {Im} A,}$ ${\displaystyle y=R_{\lambda }x\in \operatorname {Im} R_{\lambda }.}$
      2. ${\displaystyle \operatorname {Im} R_{\lambda }}$es denso en La autoadjunción de (ie ) implica y por lo tanto . La inclusión posterior implica y, en consecuencia, ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{*}=R_{\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {Im} R_{\lambda }\right)^{\perp }=\ker R_{\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\in \mathbb {C} \setminus [m,M]}$ ${\displaystyle d({\bar {\lambda }})>0}$ ${\displaystyle \ker R_{\bar {\lambda }}=\{0\}.}$
2. Ahora se ha demostrado que el operador es biyectivo, por lo que existe y está definido en todas partes. El gráfico de es el conjunto Como es cerrado (porque es), entonces es Por el teorema del grafo cerrado , está acotado, por lo que ${\displaystyle R_{\lambda }\colon \operatorname {Dom} A\to H}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}$ ${\displaystyle \{(R_{\lambda }x,x)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.}$ ${\displaystyle R_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}.}$ ${\displaystyle R_{\lambda }^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda \notin \sigma (A).}$

Teorema  :  El operador simétrico con espectro real es autoadjunto

Prueba

1. ${\displaystyle A}$es simétrica; por lo tanto y para cada . Sea Si entonces y los operadores son ambos biyectivos. ${\displaystyle A\subseteq A^{*}}$ ${\displaystyle A-\lambda I\subseteq A^{*}-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].}$ ${\displaystyle \lambda \notin [m,M]}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}\notin [m,M]}$ ${\displaystyle \{A-\lambda I,A-{\bar {\lambda }}I\}:\operatorname {Dom} A\to H}$
2. ${\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I.}$En efecto, . Es decir, si entonces no sería inyectiva (es decir ). Pero y, por lo tanto, Esto contradice la biyectividad. ${\displaystyle H=\operatorname {Im} (A-\lambda I)\subseteq \operatorname {Im} (A^{*}-\lambda I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A-\lambda I)\subsetneq \operatorname {Dom} (A^{*}-\lambda I)}$ ${\displaystyle A^{*}-\lambda I}$ ${\displaystyle \ker(A^{*}-\lambda I)\neq \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)^{\perp }=\ker(A^{*}-\lambda I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)\neq H.}$
3. La igualdad muestra que ie es autoadjunto. En efecto, basta con demostrar que Para cada y ${\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I}$ ${\displaystyle A=A^{*},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}\subseteq A.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A^{*}}$ ${\displaystyle y=A^{*}x,}$ $${\displaystyle A^{*}x=y\Leftrightarrow (A^{*}-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow (A-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow Ax=y.}$$

Teorema espectral

En la literatura de física, el teorema espectral se enuncia a menudo diciendo que un operador autoadjunto tiene una base ortonormal de vectores propios. Sin embargo, los físicos son muy conscientes del fenómeno del "espectro continuo"; por lo tanto, cuando hablan de una "base ortonormal" se refieren a una base ortonormal en el sentido clásico o a algún análogo continuo de la misma. En el caso del operador de momento , por ejemplo, los físicos dirían que los vectores propios son las funciones , que claramente no están en el espacio de Hilbert . (Los físicos dirían que los vectores propios son "no normalizables"). Los físicos luego continuarían diciendo que estos "vectores propios generalizados" forman una "base ortonormal en el sentido continuo" para , después de reemplazar el delta de Kronecker habitual por una función delta de Dirac . ^[13] ${\textstyle P=-i{\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle f_{p}(x):=e^{ipx}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ ${\displaystyle \delta \left(p-p'\right)}$

Aunque estas afirmaciones pueden parecer desconcertantes para los matemáticos, se pueden hacer rigurosas mediante el uso de la transformada de Fourier, que permite expresar una función general como una "superposición" (es decir, integral) de las funciones , aunque estas funciones no estén en . La transformada de Fourier "diagonaliza" el operador de momento; es decir, lo convierte en el operador de multiplicación por , donde es la variable de la transformada de Fourier. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle e^{ipx}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

El teorema espectral en general se puede expresar de manera similar como la posibilidad de "diagonalizar" un operador al mostrar que es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. Otras versiones del teorema espectral tienen la intención de capturar la idea de que un operador autoadjunto puede tener "vectores propios" que no están realmente en el espacio de Hilbert en cuestión.

Forma del operador de multiplicación del teorema espectral

En primer lugar, sea un espacio de medida σ-finito y una función medible en . Entonces el operador , definido por ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle h:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )}$

${\displaystyle T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},}$

se llama operador de multiplicación . ^[14] Cualquier operador de multiplicación es un operador autoadjunto. ^[15]

En segundo lugar, dos operadores y con dominios densos y en espacios de Hilbert y , respectivamente, son unitariamente equivalentes si y solo si existe una transformación unitaria tal que: ^[16] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$

• ${\displaystyle U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,}$
• ${\displaystyle UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.}$

Si son unitariamente equivalentes y están acotados, entonces ; si es autoadjunto, entonces también lo es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Teorema  :  Cualquier operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación, es decir, ^[17] ${\displaystyle A}$

${\displaystyle UAU^{-1}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in U\operatorname {Dom} (A)}$

El teorema espectral se cumple tanto para operadores autoadjuntos acotados como ilimitados. La prueba de este último se obtiene mediante reducción al teorema espectral para operadores unitarios . ^[18] Podríamos notar que si es la multiplicación por , entonces el espectro de es simplemente el rango esencial de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h}$

También existen versiones más completas del teorema espectral que involucran integrales directas y llevan consigo la noción de "vectores propios generalizados". ^[19]

Cálculo funcional

Una aplicación del teorema espectral es definir un cálculo funcional . Es decir, si es una función en la recta real y es un operador autoadjunto, deseamos definir el operador . El teorema espectral muestra que si se representa como el operador de multiplicación por , entonces es el operador de multiplicación por la composición . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(T)}$ ${\displaystyle f\circ h}$

Un ejemplo de la mecánica cuántica es el caso en el que es el operador hamiltoniano . Si tiene una base ortonormal verdadera de vectores propios con valores propios , entonces puede definirse como el operador único acotado con valores propios tales que: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle f({\hat {H}}):=e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$ ${\displaystyle f(\lambda _{j}):=e^{-it\lambda _{j}/\hbar }}$

${\displaystyle f({\hat {H}})e_{j}=f(\lambda _{j})e_{j}.}$

El objetivo del cálculo funcional es extender esta idea al caso donde tiene espectro continuo (es decir, donde no tiene vectores propios normalizables). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Se ha acostumbrado a introducir la siguiente notación

${\displaystyle \operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}$

donde es la función indicadora del intervalo . La familia de operadores de proyección E(λ) se denomina resolución de la identidad para T . Además, se puede demostrar la siguiente representación integral de Stieltjes para T : ${\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}$

${\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} (\lambda ).}$

Formulación en la literatura de física

En mecánica cuántica, la notación de Dirac se utiliza como expresión combinada tanto para el teorema espectral como para el cálculo funcional de Borel . Es decir, si H es autoadjunto y f es una función de Borel ,

${\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|}$

con

${\displaystyle H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle }$

donde la integral recorre todo el espectro de H . La notación sugiere que H está diagonalizada por los vectores propios Ψ _E . Tal notación es puramente formal . La resolución de la identidad (a veces llamada medidas con valores de proyección ) se asemeja formalmente a las proyecciones de rango 1 . En la notación de Dirac, las mediciones (proyectivas) se describen mediante valores propios y estados propios , ambos objetos puramente formales. Como era de esperar, esto no sobrevive al paso a la resolución de la identidad. En la última formulación, las mediciones se describen utilizando la medida espectral de , si el sistema se prepara en antes de la medición. Alternativamente, si uno quisiera preservar la noción de estados propios y hacerla rigurosa, en lugar de meramente formal, puede reemplazar el espacio de estados por un espacio de Hilbert manipulado adecuado . ${\displaystyle \left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Si f = 1 , el teorema se denomina resolución de la unidad:

${\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$

En el caso de que sea la suma de un operador hermítico H y un operador antihermítico (ver matriz antihermítica ) , se define el conjunto de base biortogonal ${\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma }$ ${\displaystyle -i\Gamma }$

${\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle }$

y escribe el teorema espectral como:

${\displaystyle f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|}$

(Véase la partición de Feshbach-Fano para el contexto donde aparecen dichos operadores en la teoría de dispersión ).

Formulación para operadores simétricos

El teorema espectral se aplica únicamente a operadores autoadjuntos, y no en general a operadores simétricos. No obstante, en este punto podemos dar un ejemplo simple de un operador simétrico (específicamente, un operador esencialmente autoadjunto) que tiene una base ortonormal de vectores propios. Consideremos el espacio complejo de Hilbert L ² [0,1] y el operador diferencial

${\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

con todas las funciones infinitamente diferenciables de valor complejo f en [0, 1] que satisfacen las condiciones de contorno ${\displaystyle \mathrm {Dom} (A)}$

${\displaystyle f(0)=f(1)=0.}$

Luego, la integración por partes del producto interno muestra que A es simétrica. ^{[nb 1]} Las funciones propias de A son las senoides

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }$

con los valores propios reales n ² π ² ; la ortogonalidad bien conocida de las funciones seno se deduce como consecuencia de que A es simétrica.

Se puede observar que el operador A tiene una inversa compacta , lo que significa que la ecuación diferencial correspondiente Af = g se resuelve mediante algún operador integral (y, por lo tanto, compacto) G . El operador simétrico compacto G tiene entonces una familia contable de vectores propios que son completos en L ² . Lo mismo puede decirse entonces de A .

Espectro de puntos puros

Un operador autoadjunto A en H tiene espectro puntual puro si y solo si H tiene una base ortonormal { e _i } _{i ∈ I} que consiste en vectores propios para A .

Ejemplo . El hamiltoniano para el oscilador armónico tiene un potencial cuadrático V , es decir

${\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.}$

Este hamiltoniano tiene un espectro de puntos puro; esto es típico de los hamiltonianos de estados ligados en la mecánica cuántica. ^{[ aclaración necesaria ] [20]} Como se señaló en un ejemplo anterior, una condición suficiente para que un operador simétrico ilimitado tenga vectores propios que formen una base del espacio de Hilbert es que tenga una inversa compacta.

Operadores simétricos vs operadores autoadjuntos

Aunque la distinción entre un operador simétrico y un operador (esencialmente) autoadjunto es sutil, es importante ya que la autoadjunción es la hipótesis del teorema espectral. Aquí analizamos algunos ejemplos concretos de la distinción.

Condiciones de contorno

En el caso en que el espacio de Hilbert sea un espacio de funciones en un dominio acotado, estas distinciones tienen que ver con un problema familiar en física cuántica: no se puede definir un operador (como el operador de momento o el operador hamiltoniano) en un dominio acotado sin especificar condiciones de contorno . En términos matemáticos, elegir las condiciones de contorno equivale a elegir un dominio apropiado para el operador. Consideremos, por ejemplo, el espacio de Hilbert (el espacio de funciones integrables al cuadrado en el intervalo [0,1]). Definamos un operador de momento A en este espacio mediante la fórmula habitual, fijando la constante de Planck en 1: ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$

${\displaystyle Af=-i{\frac {df}{dx}}.}$

Ahora debemos especificar un dominio para A , lo que equivale a elegir condiciones de contorno. Si elegimos

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},}$

entonces A no es simétrico (porque los términos de contorno en la integración por partes no se desvanecen).

Si elegimos

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

Luego, utilizando la integración por partes, se puede verificar fácilmente que A es simétrico. Sin embargo, este operador no es esencialmente autoadjunto ^[21] , básicamente porque hemos especificado demasiadas condiciones de contorno en el dominio de A , lo que hace que el dominio del adjunto sea demasiado grande (ver también el ejemplo a continuación).

En concreto, con la elección anterior del dominio para A , el dominio del cierre de A es ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

mientras que el dominio del adjunto de A es ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.}$

Es decir, el dominio del cierre tiene las mismas condiciones de contorno que el dominio de A mismo, sólo un supuesto de suavidad menos estricto. Mientras tanto, dado que hay "demasiadas" condiciones de contorno en A , hay "muy pocas" (en realidad, ninguna en este caso) para . Si calculamos para usando la integración por partes, entonces como se desvanece en ambos extremos del intervalo, no se necesitan condiciones de contorno en para cancelar los términos de contorno en la integración por partes. Por lo tanto, cualquier función suficientemente suave está en el dominio de , con . ^[22] ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \langle g,Af\rangle }$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Dom} (A)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}g=-i\,dg/dx}$

Como el dominio de la clausura y el dominio del adjunto no concuerdan, A no es esencialmente autoadjunto. Después de todo, un resultado general dice que el dominio del adjunto de es el mismo que el dominio del adjunto de A . Por lo tanto, en este caso, el dominio del adjunto de es mayor que el dominio de sí mismo, lo que demuestra que no es autoadjunto, lo que por definición significa que A no es esencialmente autoadjunto. ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$

El problema con el ejemplo anterior es que impusimos demasiadas condiciones de contorno en el dominio de A. Una mejor elección de dominio sería utilizar condiciones de contorno periódicas:

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)\}.}$

Con este dominio, A es esencialmente autoadjunto. ^[23]

En este caso, podemos entender las implicaciones de las cuestiones de dominio para el teorema espectral. Si utilizamos la primera opción de dominio (sin condiciones de contorno), todas las funciones para son vectores propios, con valores propios , y por lo tanto el espectro es todo el plano complejo. Si utilizamos la segunda opción de dominio (con condiciones de contorno de Dirichlet), A no tiene vectores propios en absoluto. Si utilizamos la tercera opción de dominio (con condiciones de contorno periódicas), podemos encontrar una base ortonormal de vectores propios para A , las funciones . Por lo tanto, en este caso encontrar un dominio tal que A sea autoadjunto es un compromiso: el dominio tiene que ser lo suficientemente pequeño para que A sea simétrico, pero lo suficientemente grande para que . ${\displaystyle f_{\beta }(x)=e^{\beta x}}$ ${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle -i\beta }$ ${\displaystyle f_{n}(x):=e^{2\pi inx}}$ ${\displaystyle D(A^{*})=D(A)}$

Operadores de Schrödinger con potenciales singulares

Un ejemplo más sutil de la distinción entre operadores simétricos y (esencialmente) autoadjuntos proviene de los operadores de Schrödinger en mecánica cuántica. Si la energía potencial es singular, en particular si el potencial no está acotado por debajo, el operador de Schrödinger asociado puede no ser esencialmente autoadjunto. En una dimensión, por ejemplo, el operador

${\displaystyle {\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}}$

no es esencialmente autoadjunto en el espacio de funciones suaves y de rápida desintegración. ^[24] En este caso, la falla de la autoadjunción esencial refleja una patología en el sistema clásico subyacente: una partícula clásica con un potencial escapa al infinito en un tiempo finito. Este operador no tiene un autoadjunto único , pero sí admite extensiones autoadjuntas obtenidas al especificar "condiciones de contorno en el infinito". (Como es un operador real, conmuta con conjugación compleja. Por lo tanto, los índices de deficiencia son automáticamente iguales, que es la condición para tener una extensión autoadjunta). ${\displaystyle -x^{4}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

En este caso, si definimos inicialmente en el espacio de funciones suaves y de decaimiento rápido, el adjunto será "el mismo" operador (es decir, dado por la misma fórmula) pero en el dominio más grande posible, es decir ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.}$

Es posible entonces demostrar que no es un operador simétrico, lo que ciertamente implica que no es esencialmente autoadjunto. De hecho, tiene vectores propios con valores propios imaginarios puros, ^{[25] [26]} lo cual es imposible para un operador simétrico. Esta extraña ocurrencia es posible debido a una cancelación entre los dos términos en : Hay funciones en el dominio de para las cuales ni ni están por separado en , pero la combinación de ellas que ocurren en está en . Esto permite que sean no simétricos, aunque ambos y son operadores simétricos. Este tipo de cancelación no ocurre si reemplazamos el potencial repulsivo con el potencial confinante . ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle d^{2}f/dx^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}f(x)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$ ${\displaystyle d^{2}/dx^{2}}$ ${\displaystyle X^{4}}$ ${\displaystyle -x^{4}}$ ${\displaystyle x^{4}}$

Operadores no autoadjuntos en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, los observables corresponden a operadores autoadjuntos. Según el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro , los operadores autoadjuntos son precisamente los generadores infinitesimales de grupos unitarios de operadores de evolución temporal . Sin embargo, muchos problemas físicos se formulan como una ecuación de evolución temporal que involucra operadores diferenciales para los cuales el hamiltoniano solo es simétrico. En tales casos, o bien el hamiltoniano es esencialmente autoadjunto, en cuyo caso el problema físico tiene soluciones únicas, o bien se intenta encontrar extensiones autoadjuntas del hamiltoniano correspondientes a diferentes tipos de condiciones de contorno o condiciones en el infinito.

Ejemplo. El operador de Schrödinger unidimensional con el potencial , definido inicialmente en funciones suaves y compactas, es esencialmente autoadjunto para 0 < α ≤ 2 pero no para α > 2 . ^{[27] [28]} ${\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }}$

La falla de la autoadjunción esencial tiene una contraparte en la dinámica clásica de una partícula con potencial : la partícula clásica escapa al infinito en un tiempo finito. ^[29] ${\displaystyle \alpha >2}$ ${\displaystyle V(x)}$

Ejemplo. No existe un operador de momento autoadjunto para una partícula que se mueve sobre una semirrecta. Sin embargo, el hamiltoniano de una partícula "libre" sobre una semirrecta tiene varias extensiones autoadjuntas que corresponden a diferentes tipos de condiciones de contorno. Físicamente, estas condiciones de contorno están relacionadas con las reflexiones de la partícula en el origen. ^[30] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$

Ejemplos

Un operador simétrico que no es esencialmente autoadjunto

Primero consideramos el espacio de Hilbert y el operador diferencial ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '}$

definida en el espacio de funciones de valores complejos continuamente diferenciables en [0,1], que satisfacen las condiciones de contorno

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)=0.}$

Entonces D es un operador simétrico como se puede demostrar mediante la integración por partes . Los espacios N ₊ , N ₋ (definidos a continuación) están dados respectivamente por las soluciones distribucionales de la ecuación

${\displaystyle {\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}}$

que están en L ² [0, 1]. Se puede demostrar que cada uno de estos espacios de solución es unidimensional, generado por las funciones x → e ^−x y x → e ^x respectivamente. Esto demuestra que D no es esencialmente autoadjunto, ^[31] pero sí tiene extensiones autoadjuntas. Estas extensiones autoadjuntas están parametrizadas por el espacio de aplicaciones unitarias N ₊ → N ₋ , que en este caso resulta ser el círculo unitario T .

En este caso, la falla de la autoadjunción esencial se debe a una elección "incorrecta" de las condiciones de contorno en la definición del dominio de . Como es un operador de primer orden, solo se necesita una condición de contorno para asegurar que sea simétrico. Si reemplazamos las condiciones de contorno dadas anteriormente por la condición de contorno única ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)}$,

entonces D seguiría siendo simétrica y ahora, de hecho, sería esencialmente autoadjunta. Este cambio de condiciones de contorno da una extensión esencialmente autoadjunta particular de D . Otras extensiones esencialmente autoadjuntas surgen de la imposición de condiciones de contorno de la forma . ${\displaystyle \phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)}$

Este ejemplo simple ilustra un hecho general sobre las extensiones autoadjuntas de operadores diferenciales simétricos P en un conjunto abierto M. Están determinadas por las aplicaciones unitarias entre los espacios de valores propios.

${\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}}$

donde P _dist es la extensión distribucional de P .

Operadores de coeficientes constantes

A continuación damos el ejemplo de operadores diferenciales con coeficientes constantes . Sea

${\displaystyle P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}$

sea ​​un polinomio en R ⁿ con coeficientes reales , donde α varía en un conjunto (finito) de índices múltiples . Por lo tanto

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

y

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}$

También utilizamos la notación

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.}$

Entonces el operador P (D) se define en el espacio de funciones infinitamente diferenciables de soporte compacto en R ⁿ por

${\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }$

es esencialmente autoadjunto en L ² ( R ⁿ ).

Teorema  —  Sea P una función polinómica en R ⁿ con coeficientes reales, F la transformada de Fourier considerada como una función unitaria L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ ). Entonces F * P (D) F es esencialmente autoadjunta y su única extensión autoadjunta es el operador de multiplicación por la función P .

De manera más general, consideremos operadores diferenciales lineales que actúan sobre funciones de valor complejo infinitamente diferenciables de soporte compacto. Si M es un subconjunto abierto de R ⁿ

${\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)}$

donde a _α son funciones infinitamente diferenciables (no necesariamente constantes). P es un operador lineal .

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).}$

Correspondiente a P existe otro operador diferencial, el adjunto formal de P

${\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)}$

Teorema  :  El adjunto P * de P es una restricción de la extensión distribucional del adjunto formal a un subespacio apropiado de . Específicamente: ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {dom} P^{*}=\left\{u\in L^{2}(M):P^{\mathrm {*form} }u\in L^{2}(M)\right\}.}$$

Teoría de la multiplicidad espectral

La representación de multiplicación de un operador autoadjunto, aunque extremadamente útil, no es una representación canónica. Esto sugiere que no es fácil extraer de esta representación un criterio para determinar cuándo los operadores autoadjuntos A y B son unitariamente equivalentes. La representación de grano más fino que ahora analizamos implica multiplicidad espectral. Este círculo de resultados se denomina teoría de multiplicidad espectral de Hahn - Hellinger .

Multiplicidad uniforme

Primero definimos la multiplicidad uniforme :

Definición . Un operador autoadjunto A tiene multiplicidad uniforme n donde n es tal que 1 ≤ n ≤ ω si y solo si A es unitariamente equivalente al operador M _f de multiplicación por la función f ( λ ) = λ en

${\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\text{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}}$

donde H _n es un espacio de Hilbert de dimensión n . El dominio de M _f consiste en funciones vectoriales ψ en R tales que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .}$

Las medidas aditivas contables no negativas μ , ν son mutuamente singulares si y solo si están respaldadas por conjuntos de Borel disjuntos.

Teorema  —  Sea A un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable H . Entonces existe una secuencia ω de medidas finitas contablemente aditivas en R (algunas de las cuales pueden ser idénticamente 0) tales que las medidas son singulares por pares y A es unitariamente equivalente al operador de multiplicación por la función f ( λ ) = λ en $${\displaystyle \left\{\mu _{\ell }\right\}_{1\leq \ell \leq \omega }}$$ $${\displaystyle \bigoplus _{1\leq \ell \leq \omega }L_{\mu _{\ell }}^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{\ell }\right).}$$

Esta representación es única en el siguiente sentido: para dos representaciones cualesquiera del mismo A , las medidas correspondientes son equivalentes en el sentido de que tienen los mismos conjuntos de medida 0.

Integrales directas

El teorema de multiplicidad espectral se puede reformular utilizando el lenguaje de las integrales directas de los espacios de Hilbert:

Teorema  —  ^[32] Cualquier operador autoadjunto en un espacio de Hilbert separable es unitariamente equivalente a la multiplicación por la función λ ↦ λ en $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}$$

A diferencia de la versión del teorema espectral con operador de multiplicación, la versión integral directa es única en el sentido de que la clase de equivalencia de medida de μ (o equivalentemente sus conjuntos de medida 0) está determinada de forma única y la función medible está determinada casi en todas partes con respecto a μ . ^[33] La función es la función de multiplicidad espectral del operador. ${\displaystyle \lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })}$ ${\displaystyle \lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)}$

Ahora podemos enunciar el resultado de la clasificación para operadores autoadjuntos: Dos operadores autoadjuntos son unitariamente equivalentes si y solo si (1) sus espectros concuerdan como conjuntos, (2) las medidas que aparecen en sus representaciones integrales directas tienen los mismos conjuntos de medida cero, y (3) sus funciones de multiplicidad espectral concuerdan casi en todas partes con respecto a la medida en la integral directa. ^[34]

Ejemplo: estructura del Laplaciano

El laplaciano en R ⁿ es el operador

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.}$

Como se ha comentado anteriormente, el laplaciano está diagonalizado por la transformada de Fourier. En realidad, es más natural considerar el negativo del laplaciano −Δ, ya que como operador no es negativo (véase operador elíptico ).

Teorema  :  Si n = 1, entonces −Δ tiene multiplicidad uniforme ; de lo contrario, −Δ tiene multiplicidad uniforme . Además, la medida μ _mult puede tomarse como una medida de Lebesgue en [0, ∞). ${\displaystyle {\text{mult}}=2}$ ${\displaystyle {\text{mult}}=\omega }$

Véase también

• Operador compacto en el espacio de Hilbert
• Operador ilimitado
• Adjunto hermítico
• Operador normal
• Operador positivo
• Fórmula de Helffer-Sjöstrand

Observaciones

1. Se invita al lector a realizar la integración por partes dos veces y verificar que las condiciones de contorno dadas garantizan que los términos de contorno en la integración por partes se desvanezcan. ${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}$

Notas

1. Reed y Simon 1980, págs. 255-256
2. Griffel 2002, pág. 224
3. Hall 2013 Corolario 9.9
4. Griffel 2002, pág. 238
5. Reed y Simon 1980, pág. 195
6. Rudin 1991, págs. 326-327
7. Griffel 2002, págs. 224-230, 241
8. Hall 2013, págs. 133, 177
9. de la Madrid Modino 2001, págs. 95–97
10. Hall 2013 Sección 9.4
11. Bebiano & da Providencia 2019.
12. Rudin 1991, págs. 327
13. Hall 2013, págs. 123-130
14. Hall 2013, pág. 207
15. Akhiezer 1981, pág. 152
16. Akhiezer 1981, págs. 115-116
17. Hall 2013, págs. 127, 207
18. Hall 2013 Sección 10.4
19. Hall 2013, págs. 144-147, 206-207
20. Ruelle 1969
21. Proposición 9.27 del Salón 2013
22. Proposición 9.28 del Salón 2013
23. Hall 2013 Ejemplo 9.25
24. Hall 2013 Teorema 9.41
25. Berezin y Shubin 1991 pág. 85
26. Sala 2013 Sección 9.10
27. Berezin y Shubin 1991, págs.55, 86
28. Hall 2013, págs. 193-196
29. Hall 2013 Capítulo 2, Ejercicio 4
30. Bonneau, Faraut y Valent 2001
31. Hall 2013 Sección 9.6
32. Hall 2013 Teoremas 7.19 y 10.9
33. Proposición 7.22 del Salón 2013
34. Proposición 7.24 del Salón 2013

Referencias

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