Identidad de cuatro cuadrados de Euler

Producto de sumas de cuatro cuadrados expresado como suma de cuatro cuadrados

En matemáticas , la identidad de cuatro cuadrados de Euler dice que el producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de cuatro cuadrados , es en sí mismo una suma de cuatro cuadrados.

Identidad algebraica

Para cualquier par de cuádruples de un anillo conmutativo , las siguientes expresiones son iguales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[3mu]&\qquad =\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}\\[3mu]&\qquad \qquad +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Euler escribió sobre esta identidad en una carta fechada el 4 de mayo de 1748 a Goldbach ^{[1] [2]} (pero utilizó una convención de signos diferente a la anterior). Se puede verificar con álgebra elemental .

La identidad fue utilizada por Lagrange para demostrar su teorema de los cuatro cuadrados . Más específicamente, implica que es suficiente demostrar el teorema para los números primos , después de lo cual se sigue el teorema más general. La convención de signos utilizada anteriormente corresponde a los signos obtenidos al multiplicar dos cuaterniones. Se pueden obtener otras convenciones de signos cambiando cualquier por , y/o cualquier por . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle -a_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle -b_{k}}$

Si y son números reales , la identidad expresa el hecho de que el valor absoluto del producto de dos cuaterniones es igual al producto de sus valores absolutos, de la misma manera que lo hace la identidad de dos cuadrados de Brahmagupta-Fibonacci para los números complejos . Esta propiedad es la característica definitiva de las álgebras de composición . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$

El teorema de Hurwitz establece que una identidad de forma,

$${\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dots +b_{n}^{2}\right)=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dots +c_{n}^{2}}$$

donde son funciones bilineales de y solo es posible para n = 1, 2, 4 u 8. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

Prueba de identidad mediante cuaterniones

Comentario: La prueba de la identidad de cuatro cuadrados de Euler se realiza mediante una evaluación algebraica simple. Los cuaterniones se derivan de la identidad de cuatro cuadrados, que puede escribirse como el producto de dos productos internos de vectores de cuatro dimensiones, lo que da como resultado nuevamente un producto interno de vectores de cuatro dimensiones: ( a · a )( b · b ) = ( a × b )·( a × b ) . Esto define la regla de multiplicación de cuaterniones a × b , que simplemente refleja la identidad de Euler y algunas matemáticas de los cuaterniones. Los cuaterniones son, por así decirlo, la "raíz cuadrada" de la identidad de cuatro cuadrados. Pero sigamos con la prueba:

Sean y un par de cuaterniones. Sus cuaterniones conjugados son y . Entonces ${\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}$ ${\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k}$ ${\displaystyle \beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}$

$${\displaystyle A:=\alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}$$

y

$${\displaystyle B:=\beta \beta ^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}.}$$

El producto de estos dos es , donde es un número real, por lo que puede conmutar con el cuaternión , dando como resultado ${\displaystyle AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}}$ ${\displaystyle \beta \beta ^{*}}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}}$

$${\displaystyle AB=\alpha \beta \beta ^{*}\alpha ^{*}.}$$

No son necesarios los paréntesis anteriores, porque los cuaterniones se asocian . El conjugado de un producto es igual al producto conmutado de los conjugados de los factores del producto, por lo que

$${\displaystyle AB=\alpha \beta (\alpha \beta )^{*}=\gamma \gamma ^{*}}$$

¿Dónde está el producto de Hamilton de y : ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\left(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle \right)\left(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_{4}\rangle \right)\\[3mu]&=a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})\\&\qquad +\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]\gamma &=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}}$$

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad -(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}}$$

Si donde es la parte escalar y es la parte vectorial, entonces ${\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle }$ ${\displaystyle \gamma ^{*}=r-{\vec {u}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \gamma ^{*}&=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {u}}\times {\vec {u}}\\&=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.\end{aligned}}}$$

Entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}AB=\gamma \gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.\end{aligned}}}$$

La identidad de Pfister

Pfister encontró otra identidad cuadrada para cualquier potencia par: ^[3]

Si son solo funciones racionales de un conjunto de variables, de modo que cada una tiene un denominador , entonces es posible que todas . ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle n=2^{m}}$

Así pues, otra identidad de cuatro cuadrados es la siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[5mu]&\quad =\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}\right)^{2}\\&\quad \qquad +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

donde y están dados por ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}\end{aligned}}}$$

Por cierto, la siguiente identidad también es verdadera:

$${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)^{2}\left(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)}$$

Véase también

• Identidad de Brahmagupta-Fibonacci (suma de dos cuadrados)
• La identidad de ocho cuadrados de Degen
• La identidad de dieciséis cuadrados de Pfister
• Plaza latina

Referencias

1. Leonhard Euler: vida, obra y legado , RE Bradley y CE Sandifer (eds), Elsevier, 2007, pág. 193
2. Evoluciones matemáticas , A. Shenitzer y J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, pág. 174
3. Teorema de Keith Conrad Pfister sobre sumas de cuadrados de la Universidad de Connecticut

Enlaces externos

• Una colección de identidades algebraicas Archivado el 6 de marzo de 2012 en Wayback Machine
• [1] Carta CXV de Euler a Goldbach