Forma de matar

Concepto matemático

En matemáticas , la forma Killing , llamada así por Wilhelm Killing , es una forma bilineal simétrica que desempeña un papel básico en las teorías de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . Los criterios de Cartan (criterio de solubilidad y criterio de semisimplicidad) muestran que la forma Killing tiene una estrecha relación con la semisimplicidad de las álgebras de Lie. ^[1]

Historia y nombre

La forma Killing fue introducida esencialmente en la teoría del álgebra de Lie por Élie Cartan  (1894) en su tesis. En un estudio histórico de la teoría de Lie, Borel (2001) ha descrito cómo el término "forma Killing" apareció por primera vez en 1951 durante uno de sus propios informes para el Séminaire Bourbaki ; surgió como un nombre inapropiado , ya que la forma había sido utilizada previamente por los teóricos de Lie, sin un nombre adjunto. Algunos otros autores emplean ahora el término " forma Cartan-Killing " . ^[2] A finales del siglo XIX, Killing había notado que los coeficientes de la ecuación característica de un elemento semisimple regular de un álgebra de Lie son invariantes bajo el grupo adjunto, de lo que se sigue que la forma Killing (es decir, el coeficiente de grado 2) es invariante, pero no hizo mucho uso de este hecho. Un resultado básico que utilizó Cartan fue el criterio de Cartan , que establece que la forma de Killing no es degenerada si y sólo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie simples . ^[2]

Definición

Consideremos un álgebra de Lie sobre un cuerpo K . Cada elemento x de define el endomorfismo adjunto ad( x ) (también escrito como ad _x ) de con la ayuda del corchete de Lie, como ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].}$

Ahora bien, suponiendo que es de dimensión finita, la traza de la composición de dos de tales endomorfismos define una forma bilineal simétrica ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),}$

con valores en K , la forma Killing en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Propiedades

Las siguientes propiedades se desprenden como teoremas de la definición anterior.

• La forma de matar B es bilineal y simétrica.
• La forma Killing es una forma invariante, como lo son todas las demás formas obtenidas a partir de los operadores de Casimir . La derivación de los operadores de Casimir se anula; para la forma Killing, esta desaparición se puede escribir como

${\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z])}$

donde [ , ] es el corchete de Lie .

• Si es un álgebra de Lie simple , entonces cualquier forma bilineal simétrica invariante en es un múltiplo escalar de la forma de Killing. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• La forma Killing también es invariante bajo automorfismos del álgebra , es decir, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle B(s(x),s(y))=B(x,y)}$

para s en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• El criterio de Cartan establece que un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si la forma de Killing es no degenerada .
• La forma asesina de un álgebra de Lie nilpotente es idénticamente cero.
• Si I , J son dos ideales en un álgebra de Lie con intersección cero, entonces I y J son subespacios ortogonales con respecto a la forma de Killing. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• El complemento ortogonal con respecto a B de un ideal es nuevamente un ideal. ^[3]
• Si un álgebra de Lie dada es una suma directa de sus ideales I ₁ ,..., I _n , entonces la forma de Killing de es la suma directa de las formas de Killing de los sumandos individuales. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Elementos de la matriz

Dada una base e _i del álgebra de Lie , los elementos de la matriz de la forma Killing están dados por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).}$

Aquí

${\displaystyle \left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}}$

en la notación de suma de Einstein , donde c _ij ^k son los coeficientes de estructura del álgebra de Lie. El índice k funciona como índice de columna y el índice n como índice de fila en la matriz ad( e _i )ad( e _j ) . Tomando las cantidades traza para poner k = n y sumar, podemos escribir

${\displaystyle B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}}$

La forma Killing es el tensor 2 más simple que se puede formar a partir de las constantes de estructura. La forma en sí es entonces ${\displaystyle B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.}$

En la definición indexada anterior, tenemos cuidado de distinguir los índices superiores e inferiores ( índices covariantes y contravariantes ). Esto se debe a que, en muchos casos, la forma de Killing se puede utilizar como un tensor métrico en una variedad, en cuyo caso la distinción se vuelve importante para las propiedades de transformación de los tensores. Cuando el álgebra de Lie es semisimple sobre un cuerpo de característica cero, su forma de Killing no es degenerada y, por lo tanto, se puede utilizar como un tensor métrico para aumentar y disminuir los índices. En este caso, siempre es posible elegir una base para tal que las constantes de estructura con todos los índices superiores sean completamente antisimétricas . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Las formas de Killing para algunas álgebras de Lie son (para X , Y vistas en su representación matricial fundamental): ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La tabla muestra que el índice de Dynkin para la representación adjunta es igual al doble del número de Coxeter dual .

Conexión con formas reales

Supóngase que es un álgebra de Lie semisimple sobre el cuerpo de números reales . Por el criterio de Cartan , la forma de Killing no es degenerada y puede diagonalizarse en una base adecuada con las entradas diagonales ±1 . Por la ley de inercia de Sylvester , el número de entradas positivas es un invariante de la forma bilineal, es decir, no depende de la elección de la base diagonalizante, y se llama índice del álgebra de Lie . Este es un número entre 0 y cuya dimensión es un invariante importante del álgebra de Lie real. En particular, un álgebra de Lie real se llama compacta si la forma de Killing es definida negativa (o semidefinida negativa si el álgebra de Lie no es semisimple). Nótese que esta es una de las dos definiciones no equivalentes que se usan comúnmente para la compacidad de un álgebra de Lie; la otra establece que un álgebra de Lie es compacta si corresponde a un grupo de Lie compacto. La definición de compacidad en términos de definibilidad negativa de la forma de Killing es más restrictiva, ya que utilizando esta definición se puede demostrar que bajo la correspondencia de Lie , las álgebras de Lie compactas corresponden a grupos de Lie compactos . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si es un álgebra de Lie semisimple sobre los números complejos , entonces existen varias álgebras de Lie reales no isomorfas cuya complejización es , que se denominan sus formas reales . Resulta que cada álgebra de Lie semisimple compleja admite una única forma real compacta (salvo isomorfismo) . Las formas reales de un álgebra de Lie semisimple compleja dada se etiquetan con frecuencia por el índice positivo de inercia de su forma de Killing. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por ejemplo, el álgebra lineal especial compleja tiene dos formas reales, el álgebra lineal especial real, denotada como , y el álgebra unitaria especial , denotada como . La primera es no compacta, la llamada forma real dividida , y su forma de Killing tiene signatura (2, 1) . La segunda es la forma real compacta y su forma de Killing es definida negativa, es decir, tiene signatura (0, 3) . Los grupos de Lie correspondientes son el grupo no compacto de matrices reales 2 × 2 con el determinante unitario y el grupo unitario especial , que es compacto. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

Formularios de seguimiento

Sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre el cuerpo , y sea una representación del álgebra de Lie. Sea la traza funcional sobre . Entonces podemos definir la forma de la traza para la representación como ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}:{\text{End}}(V)\rightarrow K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow K,}$

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }(X,Y)={\text{Tr}}_{V}(\rho (X)\rho (Y)).}$

Entonces la forma Killing es el caso especial en que la representación es la representación adjunta, . ${\displaystyle {\text{Tr}}_{\text{ad}}=B}$

Es fácil demostrar que esto es simétrico, bilineal e invariante para cualquier representación . ${\displaystyle \rho }$

Si además es simple y es irreducible, entonces se puede demostrar donde es el índice de la representación. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }=I(\rho )B}$ ${\displaystyle I(\rho )}$

Véase también

• Invariante de Casimir
• Campo vectorial de la muerte

Citas

1. Kirillov 2008, pág. 102.
2. Borel 2001, pág. 5
3. Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas de matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN . 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.Vea la página 207.

Referencias

• Borel, Armand (2001), Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos, Historia de las matemáticas, vol. 21, American Mathematical Society y London Mathematical Society, ISBN 0821802887
• Bump, Daniel (2004), Grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 225, Springer, doi : 10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN 978-0-387-21154-1
• Cartan, Élie (1894), Sur la estructura de los grupos de transformaciones finis et continus, Tesis, Nony
• Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de Lie afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press , ISBN 0-521-48412-X
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• "Forma de matanza", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kirillov, Alexander Jr. (2008), Introducción a los grupos de Lie y las álgebras de Lie, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 113, Cambridge University Press , CiteSeerX  10.1.1.173.1452 , doi :10.1017/CBO9780511755156, ISBN 978-0-521-88969-8, Sr.  2440737