Índice de Dynkin

En matemáticas , el índice de Dynkin de representaciones de mayor peso de dimensión finita de un álgebra de Lie simple y compacta relaciona sus formas traza mediante ${\displaystyle I({\lambda })}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle {\frac {{\text{Tr}}_{V_{\lambda }}}{{\text{Tr}}_{V_{\mu }}}}={\frac {I(\lambda )}{I(\mu )}}.}$$

En el caso particular donde es la raíz más alta , por lo que es la representación adjunta , el índice de Dynkin es igual al número dual de Coxeter . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle I(\lambda )}$

La notación es la forma de traza en la representación . Según el lema de Schur , dado que las formas de traza son todas formas invariantes, están relacionadas por constantes, por lo que el índice está bien definido. ${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}}$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$

Dado que las formas traza son formas bilineales , podemos tomar trazas para obtener ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle I(\lambda )={\frac {\dim V_{\lambda }}{2\dim {\mathfrak {g}}}}(\lambda ,\lambda +2\rho )}$

donde el vector de Weyl

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha }$

es igual a la mitad de la suma de todas las raíces positivas de . La expresión es el valor de la ecuación cuadrática de Casimir en la representación . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (\lambda ,\lambda +2\rho )}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$

Véase también

• Forma de matar

Referencias

• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997 Springer-Verlag Nueva York, ISBN  0-387-94785-X