Esfera de Bloch

Representación geométrica del espacio de estados puros de un sistema mecánico cuántico de dos niveles

Esfera de Bloch

En mecánica cuántica y computación , la esfera de Bloch es una representación geométrica del espacio de estados puros de un sistema mecánico cuántico de dos niveles ( qubit ), llamado así en honor al físico Felix Bloch . ^[1]

Matemáticamente, cada sistema mecánico cuántico está asociado con un espacio de Hilbert complejo separable . Un estado puro de un sistema cuántico se representa mediante un vector distinto de cero en . Como los vectores y (con ) representan el mismo estado, el nivel del sistema cuántico corresponde a la dimensión del espacio de Hilbert y los estados puros se pueden representar como clases de equivalencia o rayos en un espacio de Hilbert proyectivo . ^[2] Para un espacio de Hilbert bidimensional, el espacio de todos esos estados es la línea proyectiva compleja Esta es la esfera de Bloch, que se puede mapear a la esfera de Riemann . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \psi }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}.}$

La esfera de Bloch es una unidad 2-esfera , con puntos antípodas correspondientes a un par de vectores de estado mutuamente ortogonales. Los polos norte y sur de la esfera de Bloch se eligen típicamente para corresponder a los vectores de base estándar y , respectivamente, que a su vez podrían corresponder, por ejemplo, a los estados de espín hacia arriba y hacia abajo de un electrón. Sin embargo, esta elección es arbitraria. Los puntos en la superficie de la esfera corresponden a los estados puros del sistema, mientras que los puntos interiores corresponden a los estados mixtos . ^{[3] [4]} La esfera de Bloch se puede generalizar a un sistema cuántico de nivel n , pero entonces la visualización es menos útil. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

La métrica natural de la esfera de Bloch es la métrica de Fubini-Study . La aplicación de la esfera tridimensional unitaria en el espacio de estados bidimensional a la esfera de Bloch es la fibración de Hopf , en la que cada rayo de espinores se asigna a un punto de la esfera de Bloch. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Definición

Dada una base ortonormal, cualquier estado puro de un sistema cuántico de dos niveles puede escribirse como una superposición de los vectores base y , donde el coeficiente de (o la contribución de) cada uno de los dos vectores base es un número complejo . Esto significa que el estado se describe mediante cuatro números reales. Sin embargo, solo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores base tiene algún significado físico (la fase del sistema cuántico no es directamente medible ), de modo que hay redundancia en esta descripción. Podemos tomar el coeficiente de como real y no negativo. Esto permite que el estado se describa mediante solo tres números reales, lo que da lugar a las tres dimensiones de la esfera de Bloch. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$

También sabemos por la mecánica cuántica que la probabilidad total del sistema tiene que ser uno:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$, o equivalentemente . ${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1}$

Dada esta restricción, podemos escribir utilizando la siguiente representación: ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }$, donde y . ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

La representación es siempre única, porque, aunque el valor de no es único cuando es uno de los estados (ver notación Bra-ket ) o , el punto representado por y es único. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Los parámetros y , reinterpretados en coordenadas esféricas como respectivamente la latitud con respecto al eje z y la longitud con respecto al eje x , especifican un punto ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

en la esfera unitaria en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Para estados mixtos , se considera el operador de densidad . Cualquier operador de densidad bidimensional ρ se puede expandir utilizando la identidad I y las matrices de Pauli hermíticas sin trazas , ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$,

donde se llama vector de Bloch . ${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

Este vector es el que indica el punto dentro de la esfera que corresponde a un estado mixto dado. En concreto, como característica básica del vector de Pauli , los valores propios de ρ son . Los operadores de densidad deben ser semidefinidos positivos, por lo que se deduce que . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$ ${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$

Para los estados puros, se tiene entonces

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

en consonancia con lo anterior. ^[5]

En consecuencia, la superficie de la esfera de Bloch representa todos los estados puros de un sistema cuántico bidimensional, mientras que el interior corresponde a todos los estados mixtos.

tú,en,elrepresentación

El vector de Bloch se puede representar de la siguiente manera, con referencia al operador de densidad : ^[6] ${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

dónde

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

Esta base se utiliza a menudo en la teoría del láser , donde se conoce como inversión de población . ^[7] En esta base, los números son las expectativas de las tres matrices de Pauli , lo que permite identificar las tres coordenadas con los ejes xy y z. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

Estados puros

Consideremos un sistema mecánico cuántico de nivel n . Este sistema se describe mediante un espacio de Hilbert de dimensión n H _n . El espacio de estados puros es, por definición, el conjunto de rayos de H _n .

Teorema . Sea U( n ) el grupo de Lie de matrices unitarias de tamaño n . Entonces, el espacio de estados puros de Hn puede identificarse con el espacio de clases laterales compacto _.

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

Para demostrar este hecho, nótese que existe una acción de grupo natural de U( n ) sobre el conjunto de estados de H _n . Esta acción es continua y transitiva sobre los estados puros. Para cualquier estado , el grupo de isotropía de , (definido como el conjunto de elementos de U( n ) tales que ) es isomorfo al grupo de productos ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

En términos de álgebra lineal, esto se puede justificar de la siguiente manera. Cualquiera de U( n ) que deje invariante debe tener como vector propio . Dado que el valor propio correspondiente debe ser un número complejo de módulo 1, esto da el factor U(1) del grupo de isotropía. La otra parte del grupo de isotropía está parametrizada por las matrices unitarias en el complemento ortogonal de , que es isomorfo a U( n − 1). De esto, la afirmación del teorema se deduce de hechos básicos sobre las acciones transitivas de grupos compactos. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

El hecho importante a destacar arriba es que el grupo unitario actúa transitivamente sobre estados puros.

Ahora la dimensión (real) de U( n ) es n ² . Esto es fácil de ver ya que el mapa exponencial

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

es un homeomorfismo local del espacio de matrices complejas autoadjuntas a U( n ). El espacio de matrices complejas autoadjuntas tiene dimensión real n ² .

Corolario . La dimensión real del espacio de estados puros de H _n es 2 n − 2.

De hecho,

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

Apliquemos esto para considerar la dimensión real de un registro cuántico de m qubits. El espacio de Hilbert correspondiente tiene dimensión 2 ^m .

Corolario . La dimensión real del espacio de estados puros de un registro cuántico de m qubits es 2 ^{m +1} − 2.

Trazado de estados puros de dos espinores mediante proyección estereográfica

Esfera de Bloch centrada en el origen de . Se han elegido como base un par de puntos sobre ella, y . Matemáticamente son ortogonales aunque gráficamente el ángulo entre ellos es π. En esos puntos tienen coordenadas (0,0,1) y (0,0,−1). Un espinor arbitrario sobre la esfera de Bloch se puede representar como una combinación lineal única de los dos espinores base, con coeficientes que son un par de números complejos; llamémoslos α y β . Sea su razón , que también es un número complejo . Consideremos el plano z  = 0, el plano ecuatorial de la esfera, por así decirlo, como un plano complejo y que el punto u está trazado en él como . Proyecte el punto u estereográficamente sobre la esfera de Bloch alejándose del Polo Sur —por así decirlo— (0,0,−1). La proyección es sobre un punto marcado en la esfera como . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$ ${\displaystyle u={\beta \over \alpha }}$ ${\displaystyle u_{x}+iu_{y}}$ ${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

Matemáticamente, la esfera de Bloch para un estado de dos espinores se puede mapear a una esfera de Riemann , es decir, el espacio de Hilbert proyectivo con el espacio de Hilbert complejo bidimensional como un espacio de representación de SO(3) . ^[8] Dado un estado puro ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$ ${\displaystyle H_{2}}$

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

donde y son números complejos que están normalizados de modo que ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

y tal que y , es decir, tal que y forman una base y tienen representaciones diametralmente opuestas en la esfera de Bloch, entonces sea ${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

sea ​​su proporción.

Si se considera que la esfera de Bloch está incrustada en con su centro en el origen y con radio uno, entonces el plano z  = 0 (que interseca la esfera de Bloch en un círculo máximo; el ecuador de la esfera, por así decirlo) puede considerarse como un diagrama de Argand . Dibuje el punto u en este plano, de modo que en tenga coordenadas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$

Dibuje una línea recta a través de u y a través del punto en la esfera que representa . (Sea (0,0,1) representa y (0,0,−1) representa .) Esta línea interseca la esfera en otro punto además de . (La única excepción es cuando , es decir, cuando y .) Llamemos a este punto P . El punto u en el plano z = 0 es la proyección estereográfica del punto P en la esfera de Bloch. El vector con cola en el origen y punta en P es la dirección en el espacio 3-D correspondiente al espinor . Las coordenadas de P son ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle u=\infty }$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}},}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}.}$

Operadores de densidad

Las formulaciones de la mecánica cuántica en términos de estados puros son adecuadas para sistemas aislados; en general, los sistemas mecánicos cuánticos deben describirse en términos de operadores de densidad . La esfera de Bloch parametriza no solo estados puros sino también estados mixtos para sistemas de 2 niveles. El operador de densidad que describe el estado mixto de un sistema cuántico de 2 niveles (qubit) corresponde a un punto dentro de la esfera de Bloch con las siguientes coordenadas:

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

donde es la probabilidad de los estados individuales dentro del conjunto y son las coordenadas de los estados individuales (en la superficie de la esfera de Bloch). El conjunto de todos los puntos sobre y dentro de la esfera de Bloch se conoce como la bola de Bloch. ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

Para estados de dimensiones superiores, es difícil extender esto a estados mixtos. La descripción topológica se complica por el hecho de que el grupo unitario no actúa transitivamente sobre los operadores de densidad. Además, las órbitas son extremadamente diversas, como se desprende de la siguiente observación:

Teorema . Supóngase que A es un operador de densidad en un sistema mecánico cuántico de nivel n cuyos valores propios distintos son μ ₁ , ..., μ _k con multiplicidades n ₁ , ..., n _k . Entonces el grupo de operadores unitarios V tales que VAV * = A es isomorfo (como un grupo de Lie) a

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

En particular, la órbita de A es isomorfa a

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

Es posible generalizar la construcción de la bola de Bloch a dimensiones mayores que 2, pero la geometría de dicho "cuerpo de Bloch" es más complicada que la de una bola. ^[9]

Rotaciones

Una ventaja útil de la representación de la esfera de Bloch es que la evolución del estado del cúbit se puede describir mediante rotaciones de la esfera de Bloch. La explicación más concisa de por qué esto es así es que el álgebra de Lie para el grupo de matrices unitarias y hermíticas es isomorfa al álgebra de Lie del grupo de rotaciones tridimensionales . ^[10] ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SO(3)}$

Operadores de rotación sobre la base de Bloch

Las rotaciones de la esfera de Bloch alrededor de los ejes cartesianos en la base de Bloch están dadas por ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Rotaciones sobre un eje general

Si es un vector unitario real en tres dimensiones, la rotación de la esfera de Bloch alrededor de este eje viene dada por: ${\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}$

Un dato interesante a destacar es que esta expresión es idéntica, bajo el nuevo etiquetado, a la fórmula de Euler extendida para cuaterniones .

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Derivación del generador de rotación de Bloch

Ballentine ^[12] presenta una derivación intuitiva para la transformación unitaria infinitesimal. Esto es importante para entender por qué las rotaciones de las esferas de Bloch son exponenciales de combinaciones lineales de matrices de Pauli. Por ello, aquí se ofrece un breve tratamiento de este tema. Se puede encontrar una descripción más completa en un contexto de mecánica cuántica aquí .

Consideremos una familia de operadores unitarios que representan una rotación alrededor de un eje. Como la rotación tiene un grado de libertad, el operador actúa sobre un campo de escalares tales que: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle U(0)=I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}$

dónde ${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}$

Definimos la unitaria infinitesimal como la expansión de Taylor truncada en segundo orden.

${\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}$

Por la condición unitaria:

${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

Por eso

${\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}$

Para que esta igualdad sea cierta (suponiendo que es despreciable) requerimos ${\displaystyle O\left(s^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=0}$.

Esto da como resultado una solución de la forma:

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}{\Bigg |}_{s=0}=iK}$

donde es cualquier transformación hermítica, y se llama generador de la familia unitaria. Por lo tanto ${\displaystyle K}$

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

Dado que las matrices de Pauli son matrices hermíticas unitarias y tienen vectores propios correspondientes a la base de Bloch, , podemos ver naturalmente cómo una rotación de la esfera de Bloch alrededor de un eje arbitrario se describe mediante ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ ${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}$

con el generador de rotación dado por ${\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2.}$

Enlaces externos

• Visualización de esferas de Bloch en línea por Konstantin Herb

Véase también

• Transición electrónica atómica
• Espacio girovectorial
• Versores
• Las implementaciones específicas de la esfera de Bloch se enumeran en el artículo sobre qubit .

Notas

1. Bloch 1946.
2. Bäuerle y de Kerf 1990, págs.330, 341.
3. Nielsen y Chuang 2000.
4. "Esfera de Bloch | Quantiki".
5. La matriz de densidad idempotente

   ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1\!\!1+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta /2&\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{-i\phi }\\\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{i\phi }&\sin ^{2}\theta /2\end{pmatrix}}}$

   actúa sobre el vector propio de estado con valor propio 1, por lo que es como un operador de proyección para él. ${\displaystyle (\cos \theta /2,e^{i\phi }\sin \theta /2)}$
6. Feynman, Vernon y Hellwarth 1957.
7. Milonni y Eberly 1988, pág. 340.
8. Penrose 2007, pág. 554.
9. Appleby 2007.
10. DB Westra 2008, "SU(2) y SO(3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf
11. Nielsen y Chuang 2010, "Computación cuántica e información", pág. 174
12. Ballentine 2014, "Mecánica cuántica: un desarrollo moderno", Capítulo 3

Referencias

• Appleby, DM (2007). "Medidas simétricas informativamente completas de rango arbitrario". Óptica y espectroscopia . 103 (3): 416–428. arXiv : quant-ph/0611260 . Código Bibliográfico :2007OptSp.103..416A. doi :10.1134/S0030400X07090111. S2CID  17469680.
• Bäuerle, Gerard GA; de Kerf, Eddy A. (1990). Álgebras de Lie, Parte 1: Álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y aplicaciones en física . Estudios de física matemática. Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 0-444-88776-8.
• Bloch, F. (1946). "Inducción nuclear". Physical Review . 70 (7–8): 460–474. Bibcode :1946PhRv...70..460B. doi : 10.1103/PhysRev.70.460 . ISSN  0031-899X.
• Feynman, Richard P.; Vernon, Frank L.; Hellwarth, Robert W. (1957). "Representación geométrica de la ecuación de Schrödinger para resolver problemas de máser". Revista de Física Aplicada . 28 (1): 49–52. Bibcode :1957JAP....28...49F. doi :10.1063/1.1722572. ISSN  0021-8979. S2CID  36493808.
• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63503-5.
• Milonni, Peter W.; Eberly, Joseph H. (1988). Láseres . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-62731-9.
• Penrose, Roger (2007). El camino hacia la realidad . Nueva York: National Geographic Books. ISBN 978-0-679-77631-4.