Lagrangiano (teoría de campos)

Aplicación de la mecánica lagrangiana a las teorías de campos

La teoría de campos de Lagrange es un formalismo de la teoría clásica de campos . Es el análogo teórico de la mecánica de Lagrange . La mecánica de Lagrange se utiliza para analizar el movimiento de un sistema de partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad . La teoría de campos de Lagrange se aplica a los continuos y campos , que tienen un número infinito de grados de libertad.

Una motivación para el desarrollo del formalismo lagrangiano en campos, y más generalmente, para la teoría clásica de campos , es proporcionar una base matemática clara para la teoría cuántica de campos , que está infamemente plagada de dificultades formales que la hacen inaceptable como teoría matemática. Los lagrangianos presentados aquí son idénticos a sus equivalentes cuánticos, pero, al tratar los campos como campos clásicos, en lugar de ser cuantizados, se pueden proporcionar definiciones y obtener soluciones con propiedades compatibles con el enfoque formal convencional de las matemáticas de ecuaciones diferenciales parciales . Esto permite la formulación de soluciones en espacios con propiedades bien caracterizadas, como los espacios de Sobolev . Permite proporcionar varios teoremas, que van desde pruebas de existencia hasta la convergencia uniforme de series formales y los ajustes generales de la teoría del potencial . Además, se obtiene conocimiento y claridad mediante generalizaciones a variedades de Riemann y haces de fibras , lo que permite discernir claramente la estructura geométrica y desenredarla de las ecuaciones de movimiento correspondientes. Una visión más clara de la estructura geométrica ha permitido a su vez utilizar teoremas altamente abstractos de la geometría para obtener más conocimientos, desde el teorema de Chern-Gauss-Bonnet y el teorema de Riemann-Roch hasta el teorema del índice de Atiyah-Singer y la teoría de Chern-Simons .

Descripción general

En teoría de campos, la variable independiente se reemplaza por un evento en el espacio-tiempo ( x , y , z , t ) , o más generalmente aún por un punto s en una variedad de Riemann . Las variables dependientes se reemplazan por el valor de un campo en ese punto en el espacio-tiempo de modo que las ecuaciones de movimiento se obtienen por medio de un principio de acción , escrito como: donde la acción , , es un funcional de las variables dependientes , sus derivadas y s en sí mismo ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}$ $${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}$$

donde los corchetes denotan ; y s = { s ^α } denota el conjunto de n variables independientes del sistema, incluida la variable tiempo, y está indexado por α = 1, 2, 3, ..., n . La tipografía caligráfica, , se utiliza para denotar la densidad , y es la forma de volumen de la función de campo, es decir, la medida del dominio de la función de campo. ${\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}$

En formulaciones matemáticas, es común expresar el lagrangiano como una función en un haz de fibras , donde las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden interpretarse como la especificación de las geodésicas en el haz de fibras. El libro de texto de Abraham y Marsden ^[1] proporcionó la primera descripción completa de la mecánica clásica en términos de ideas geométricas modernas, es decir, en términos de variedades tangentes , variedades simplécticas y geometría de contacto . El libro de texto de Bleecker ^[2] proporcionó una presentación completa de las teorías de campo en física en términos de haces de fibras invariantes de calibre. Tales formulaciones eran conocidas o sospechadas mucho antes. Jost ^[3] continúa con una presentación geométrica, aclarando la relación entre las formas hamiltonianas y lagrangianas, describiendo las variedades de espín a partir de los primeros principios, etc. La investigación actual se centra en las estructuras afines no rígidas (a veces llamadas "estructuras cuánticas") en las que se reemplazan las ocurrencias de espacios vectoriales por álgebras tensoriales . Esta investigación está motivada por la comprensión innovadora de los grupos cuánticos como álgebras de Lie afines ( los grupos de Lie son, en cierto sentido, "rígidos", ya que están determinados por su álgebra de Lie. Cuando se reformulan en un álgebra tensorial, se vuelven "flexibles", teniendo infinitos grados de libertad; véase, por ejemplo, el álgebra de Virasoro ).

Definiciones

En la teoría de campos lagrangianos, el lagrangiano como función de coordenadas generalizadas se reemplaza por una densidad lagrangiana, una función de los campos en el sistema y sus derivadas, y posiblemente las coordenadas espaciales y temporales mismas. En la teoría de campos, la variable independiente t se reemplaza por un evento en el espacio-tiempo ( x , y , z , t ) o aún más generalmente por un punto s en una variedad.

A menudo, a una "densidad lagrangiana" se la denomina simplemente "lagrangiano".

Campos escalares

Para un campo escalar , la densidad lagrangiana tomará la forma: ^{[nb 1] [4]} ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$$

Para muchos campos escalares $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$$

En las formulaciones matemáticas, los campos escalares se entienden como coordenadas de un haz de fibras , y las derivadas del campo se entienden como secciones del haz de chorros .

Campos vectoriales, campos tensoriales, campos de espinores

Lo anterior se puede generalizar para campos vectoriales , campos tensoriales y campos de espinores . En física, los fermiones se describen mediante campos de espinores. Los bosones se describen mediante campos tensoriales, que incluyen campos escalares y vectoriales como casos especiales.

Por ejemplo, si hay campos escalares de valores reales , , entonces la variedad de campos es . Si el campo es un campo vectorial real , entonces la variedad de campos es isomorfa a . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Acción

La integral temporal del lagrangiano se denomina acción, denotada por S. En teoría de campos, a veces se hace una distinción entre el lagrangiano L , cuya integral temporal es la acción , y la densidad lagrangiana , que se integra sobre todo el espacio-tiempo para obtener la acción: $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$$

La integral del volumen espacial de la densidad lagrangiana es el lagrangiano; en 3D, $${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$$

A la acción se la suele denominar "acción funcional ", ya que es una función de los campos (y sus derivadas).

Forma de volumen

En presencia de gravedad o cuando se utilizan coordenadas curvilíneas generales, la densidad lagrangiana incluirá un factor de . Esto garantiza que la acción sea invariante ante transformaciones de coordenadas generales. En la literatura matemática, se considera que el espacio-tiempo es una variedad de Riemann y la integral se convierte entonces en la forma de volumen. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\sqrt {g}}}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$$

Aquí, el es el producto de cuña y es la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico en . Para el espacio-tiempo plano (por ejemplo, el espacio-tiempo de Minkowski ), el volumen unitario es uno, es decir, y por eso se omite comúnmente, cuando se discute la teoría de campos en el espacio-tiempo plano. Asimismo, el uso de los símbolos del producto de cuña no ofrece ninguna perspectiva adicional sobre el concepto ordinario de un volumen en el cálculo multivariante, y por eso también se descartan. Algunos libros de texto más antiguos, por ejemplo, Landau y Lifschitz escriben para la forma de volumen, ya que el signo menos es apropiado para tensores métricos con signatura (+−−−) o (−+++) (ya que el determinante es negativo, en cualquier caso). Cuando se discute la teoría de campos en variedades generales de Riemann, la forma de volumen generalmente se escribe en la notación abreviada donde es la estrella de Hodge . Es decir, y por eso ${\displaystyle \wedge }$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ ${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle *(1)}$ ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$$

No es raro que la notación anterior se considere totalmente superflua y se la vea con frecuencia. No se deje engañar: la forma de volumen está presente implícitamente en la integral anterior, incluso si no está escrita explícitamente. $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Las ecuaciones de Euler-Lagrange describen el flujo geodésico del campo en función del tiempo. Tomando la variación con respecto a , se obtiene ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$$

Resolviendo, respecto de las condiciones de contorno , se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange : $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$$

Ejemplos

Se han formulado una gran variedad de sistemas físicos en términos de lagrangianos sobre campos. A continuación se muestra una muestra de algunos de los más comunes que se encuentran en los libros de texto de física sobre teoría de campos.

Gravedad newtoniana

La densidad lagrangiana para la gravedad newtoniana es:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$donde Φ es el potencial gravitatorio , ρ es la densidad de masa y G en m ³ ·kg ⁻¹ ·s ⁻² es la constante gravitatoria . La densidad tiene unidades de J·m ⁻³ . Aquí el término de interacción implica una densidad de masa continua ρ en kg·m ⁻³ . Esto es necesario porque usar una fuente puntual para un campo daría como resultado dificultades matemáticas. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Este lagrangiano se puede escribir en la forma de , donde el proporciona un término cinético y la interacción el término potencial. Véase también la teoría de la gravitación de Nordström para saber cómo se podría modificar para abordar los cambios a lo largo del tiempo. Esta forma se repite en el siguiente ejemplo de una teoría de campo escalar. ${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$ ${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$ ${\displaystyle V=\rho \Phi }$

La variación de la integral con respecto a Φ es: $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$$

Después de integrar por partes, descartar la integral total y dividir por δ Φ la fórmula se convierte en: que es equivalente a: lo que da como resultado la ley de Gauss para la gravedad . $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$$ $${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

Teoría de campos escalares

El lagrangiano para un campo escalar que se mueve en un potencial se puede escribir como No es casualidad que la teoría escalar se parezca al lagrangiano de los libros de texto de pregrado para el término cinético de una partícula puntual libre escrito como . La teoría escalar es la generalización de la teoría de campos de una partícula que se mueve en un potencial. Cuando el es el potencial del sombrero mexicano , los campos resultantes se denominan campos de Higgs . ${\displaystyle V(\phi )}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$$ ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle T=mv^{2}/2}$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Modelo sigma lagrangiano

El modelo sigma describe el movimiento de una partícula puntual escalar restringida a moverse en una variedad de Riemann , como un círculo o una esfera. Generaliza el caso de campos escalares y vectoriales, es decir, campos restringidos a moverse en una variedad plana. El lagrangiano se escribe comúnmente en una de tres formas equivalentes: donde es la diferencial . Una expresión equivalente es con la métrica de Riemann en la variedad del campo; es decir, los campos son solo coordenadas locales en el gráfico de coordenadas de la variedad. Una tercera forma común es con y , el grupo de Lie SU(N) . Este grupo puede reemplazarse por cualquier grupo de Lie o, más generalmente, por un espacio simétrico . La traza es solo la forma de Killing oculta; la forma de Killing proporciona una forma cuadrática en la variedad de campo, el lagrangiano es entonces solo el pullback de esta forma. Alternativamente, el Lagrangiano también puede verse como el retroceso de la forma Maurer-Cartan al espacio-tiempo base. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$$ $${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$$ ${\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}$

En general, los modelos sigma presentan soluciones solitones topológicas . El más famoso y estudiado de ellos es el Skyrmion , que sirve como modelo del nucleón que ha resistido la prueba del tiempo.

Electromagnetismo en la relatividad especial

Consideremos una partícula puntual, una partícula cargada, que interactúa con el campo electromagnético . Los términos de interacción se reemplazan por términos que implican una densidad de carga continua ρ en A·s·m ⁻³ y una densidad de corriente en A·m ⁻² . La densidad lagrangiana resultante para el campo electromagnético es: $${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}$$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$$

Variando esto con respecto a ϕ , obtenemos lo que da como resultado la ley de Gauss . $${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$$

Variando en cambio con respecto a , obtenemos lo que da como resultado la ley de Ampère . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$$

Usando la notación tensorial , podemos escribir todo esto de manera más compacta. El término es en realidad el producto interno de dos cuatro vectores . Empaquetamos la densidad de carga en el 4-vector de corriente y el potencial en el 4-vector de potencial. Estos dos nuevos vectores son Entonces podemos escribir el término de interacción como Además, podemos empaquetar los campos E y B en lo que se conoce como el tensor electromagnético . Definimos este tensor como El término que estamos buscando resulta ser Hemos hecho uso de la métrica de Minkowski para aumentar los índices en el tensor EMF. En esta notación, las ecuaciones de Maxwell son donde ε es el tensor de Levi-Civita . Entonces, la densidad de Lagrange para el electromagnetismo en la relatividad especial escrita en términos de vectores y tensores de Lorentz es En esta notación es evidente que el electromagnetismo clásico es una teoría invariante de Lorentz. Por el principio de equivalencia , se vuelve simple extender la noción de electromagnetismo al espacio-tiempo curvo. ^{[5] [6]} ${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$ $${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$$ $${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$$ $${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$$

Electromagnetismo y ecuaciones de Yang-Mills

Usando formas diferenciales , la acción electromagnética S en el vacío sobre una variedad (pseudo) riemanniana se puede escribir (usando unidades naturales , c = ε ₀ = 1 ) como Aquí, A representa la 1-forma del potencial electromagnético, J es la 1-forma de la corriente, F es la 2-forma de la intensidad del campo y la estrella denota el operador de estrella de Hodge . Este es exactamente el mismo lagrangiano que en la sección anterior, excepto que el tratamiento aquí es libre de coordenadas; expandir el integrando en una base produce la expresión idéntica y larga. Tenga en cuenta que con las formas, no es necesaria una medida de integración adicional porque las formas tienen diferenciales de coordenadas incorporados. La variación de la acción conduce a Estas son las ecuaciones de Maxwell para el potencial electromagnético. Sustituir F = d A produce inmediatamente la ecuación para los campos, porque F es una forma exacta . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$

El campo A puede entenderse como la conexión afín en un haz de fibras U (1) . Es decir, la electrodinámica clásica, todos sus efectos y ecuaciones, pueden entenderse completamente en términos de un haz circular sobre el espacio-tiempo de Minkowski .

Las ecuaciones de Yang-Mills se pueden escribir exactamente de la misma forma que las anteriores, reemplazando el grupo de Lie U(1) del electromagnetismo por un grupo de Lie arbitrario. En el modelo estándar , se considera convencionalmente como aunque el caso general es de interés general. En todos los casos, no es necesario realizar ninguna cuantificación. Aunque las ecuaciones de Yang-Mills tienen su raíz histórica en la teoría cuántica de campos, las ecuaciones anteriores son puramente clásicas. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$

Funcional de Chern-Simons

En la misma línea que lo anterior, se puede considerar la acción en una dimensión menos, es decir, en un entorno de geometría de contacto . Esto da la función de Chern-Simons . Se escribe como $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}$$

La teoría de Chern-Simons fue profundamente explorada en física, como un modelo de juguete para una amplia gama de fenómenos geométricos que uno podría esperar encontrar en una gran teoría unificada .

Lagrangiano de Ginzburg-Landau

La densidad lagrangiana para la teoría de Ginzburg-Landau combina la lagrangiana para la teoría de campos escalares con la lagrangiana para la acción de Yang-Mills . Puede escribirse como: ^[7] donde es una sección de un fibrado vectorial con fibra . La corresponde al parámetro de orden en un superconductor ; equivalentemente, corresponde al campo de Higgs , después de notar que el segundo término es el famoso potencial de "sombrero de Sombrero" . El campo es el campo de calibración (no abeliano), es decir, el campo de Yang-Mills y es su intensidad de campo. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para la funcional de Ginzburg-Landau son las ecuaciones de Yang-Mills y donde es el operador de estrella de Hodge , es decir, el tensor completamente antisimétrico. Estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con las ecuaciones de Yang-Mills-Higgs . Otro lagrangiano estrechamente relacionado se encuentra en la teoría de Seiberg-Witten . $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$$ $${\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$$ ${\displaystyle {\star }}$

Lagrangiano de Dirac

La densidad lagrangiana para un campo de Dirac es: ^[8] donde es un espinor de Dirac , es su adjunto de Dirac , y es la notación de barra de Feynman para . No hay una necesidad particular de centrarse en los espinores de Dirac en la teoría clásica. Los espinores de Weyl proporcionan una base más general; se pueden construir directamente a partir del álgebra de Clifford del espacio-tiempo; la construcción funciona en cualquier número de dimensiones, ^[3] y los espinores de Dirac aparecen como un caso especial. Los espinores de Weyl tienen la ventaja adicional de que se pueden utilizar en un vielbein para la métrica en una variedad de Riemann; esto habilita el concepto de una estructura de espín , que, en términos generales, es una forma de formular espinores de manera consistente en un espacio-tiempo curvo. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle {\partial }\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}$

Electrodinámica cuántica lagrangiana

La densidad lagrangiana para QED combina la lagrangiana para el campo de Dirac junto con la lagrangiana para la electrodinámica de una manera invariante de calibre. Es: donde es el tensor electromagnético , D es la derivada covariante de calibre , y es la notación de Feynman para con donde es el cuatro-potencial electromagnético . Aunque la palabra "cuántico" aparece en lo anterior, se trata de un artefacto histórico. La definición del campo de Dirac no requiere cuantificación alguna, se puede escribir como un campo puramente clásico de espinores de Weyl anticonmutativos construidos a partir de los primeros principios de un álgebra de Clifford . ^[3] La formulación clásica invariante de calibre completa se da en Bleecker. ^[2] $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {D}\!\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$ ${\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$ ${\displaystyle A_{\sigma }}$

Lagrangiano cromodinámico cuántico

La densidad lagrangiana para la cromodinámica cuántica combina el lagrangiano para uno o más espinores de Dirac masivos con el lagrangiano para la acción de Yang-Mills , que describe la dinámica de un campo de calibración; el lagrangiano combinado es invariante de calibración. Puede escribirse como: ^[9] donde D es la derivada covariante de calibración de QCD , n = 1, 2, ...6 cuenta los tipos de quarks y es el tensor de intensidad de campo de gluones . En cuanto al caso de la electrodinámica anterior, la aparición de la palabra "cuántica" arriba solo reconoce su desarrollo histórico. El lagrangiano y su invariancia de calibración pueden formularse y tratarse de una manera puramente clásica. ^{[2] [3]} $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$

Gravedad de Einstein

La densidad de Lagrange para la relatividad general en presencia de campos de materia es donde es la constante cosmológica , es el escalar de curvatura , que es el tensor de Ricci contraído con el tensor métrico , y el tensor de Ricci es el tensor de Riemann contraído con un delta de Kronecker . La integral de se conoce como la acción de Einstein-Hilbert . El tensor de Riemann es el tensor de fuerza de marea , y se construye a partir de símbolos de Christoffel y derivados de los símbolos de Christoffel, que definen la conexión métrica en el espacio-tiempo. El campo gravitacional en sí mismo se atribuyó históricamente al tensor métrico; la visión moderna es que la conexión es "más fundamental". Esto se debe a la comprensión de que uno puede escribir conexiones con torsión distinta de cero . Estas alteran la métrica sin alterar la geometría ni un bit. En cuanto a la "dirección en la que apunta la gravedad" (por ejemplo, en la superficie de la Tierra, apunta hacia abajo), esto proviene del tensor de Riemann: es lo que describe el "campo de fuerza gravitacional" que sienten y al que reaccionan los cuerpos en movimiento. (Esta última afirmación debe matizarse: no existe un "campo de fuerza" en sí ; los cuerpos en movimiento siguen geodésicas en la variedad descrita por la conexión. Se mueven en una " línea recta ".) $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$

El lagrangiano para la relatividad general también se puede escribir en una forma que lo hace manifiestamente similar a las ecuaciones de Yang-Mills. Esto se llama el principio de acción de Einstein-Yang-Mills. Esto se hace notando que la mayor parte de la geometría diferencial funciona "muy bien" en fibrados con una conexión afín y un grupo de Lie arbitrario. Luego, al introducir SO(3,1) para ese grupo de simetría, es decir, para los cuerpos de marco , se obtienen las ecuaciones anteriores. ^{[2] [3]}

Sustituyendo este lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange y tomando el tensor métrico como el campo, obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein es el tensor de momento y energía y se define por donde es el determinante del tensor métrico cuando se lo considera como una matriz. Generalmente, en relatividad general, la medida de integración de la acción de la densidad de Lagrange es . Esto hace que la coordenada integral sea independiente, ya que la raíz del determinante métrico es equivalente al determinante jacobiano . El signo menos es una consecuencia de la firma métrica (el determinante por sí mismo es negativo). ^[5] Este es un ejemplo de la forma de volumen , discutida previamente, que se manifiesta en el espacio-tiempo no plano. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.}$$ ${\displaystyle g}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

Electromagnetismo en la relatividad general

La densidad de Lagrange del electromagnetismo en la relatividad general también contiene la acción de Einstein-Hilbert desde arriba. El lagrangiano electromagnético puro es precisamente un lagrangiano de la materia . El lagrangiano es ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}$$

Este lagrangiano se obtiene simplemente reemplazando la métrica de Minkowski en el lagrangiano plano anterior con una métrica más general (posiblemente curva) . Podemos generar las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de un campo EM usando este lagrangiano. El tensor de energía-momento es Se puede demostrar que este tensor de energía-momento no tiene traza, es decir, que Si tomamos la traza de ambos lados de las ecuaciones de campo de Einstein, obtenemos Por lo que la falta de traza del tensor de energía-momento implica que el escalar de curvatura en un campo electromagnético se desvanece. Las ecuaciones de Einstein son entonces Además, las ecuaciones de Maxwell son donde es la derivada covariante . Para el espacio libre, podemos establecer el tensor de corriente igual a cero, . Resolver las ecuaciones de Einstein y Maxwell alrededor de una distribución de masa esféricamente simétrica en el espacio libre conduce al agujero negro cargado de Reissner-Nordström , con el elemento de línea definitorio (escrito en unidades naturales y con carga Q ): ^[5] ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ $${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ $${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$$ $${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$$ $${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$ $${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$$ ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle j^{\mu }=0}$ $${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$$

Una forma posible de unificar los lagrangianos electromagnéticos y gravitacionales (mediante el uso de una quinta dimensión) está dada por la teoría de Kaluza-Klein . ^[2] Efectivamente, uno construye un fibrado afín, al igual que para las ecuaciones de Yang-Mills dadas anteriormente, y luego considera la acción por separado en las partes de 4 y 1 dimensión. Tales factorizaciones , como el hecho de que la 7-esfera puede escribirse como un producto de la 4-esfera y la 3-esfera, o que la 11-esfera es un producto de la 4-esfera y la 7-esfera, explicaron gran parte del entusiasmo inicial por el hallazgo de una teoría del todo . Desafortunadamente, la 7-esfera resultó no ser lo suficientemente grande como para encerrar todo el modelo estándar , frustrando estas esperanzas.

Ejemplos adicionales

• El modelo BF Lagrangian, abreviatura de "Background Field", describe un sistema con dinámica trivial, cuando se escribe en una variedad de espacio-tiempo plana. En un espacio-tiempo topológicamente no trivial, el sistema tendrá soluciones clásicas no triviales, que pueden interpretarse como solitones o instantones . Existe una variedad de extensiones, que forman las bases para las teorías de campos topológicos .

Véase también

• Cálculo de variaciones
• Teoría clásica de campos covariantes
• Ecuación de Euler-Lagrange
• Derivada funcional
• Integral funcional
• Coordenadas generalizadas
• Mecánica hamiltoniana
• Teoría de campos hamiltoniana
• Término cinético
• Coordenadas lagrangianas y eulerianas
• Mecánica lagrangiana
• Punto de Lagrangiano
• Sistema lagrangiano
• Teorema de Noether
• Función Onsager-Mahlup
• Principio de mínima acción
• Teoría de campos escalares

Notas

1. Es un abuso estándar de notación abreviar todas las derivadas y coordenadas en la densidad lagrangiana de la siguiente manera: ver four-gradient . El μ es un índice que toma valores 0 (para la coordenada temporal) y 1, 2, 3 (para las coordenadas espaciales), por lo que estrictamente solo estaría presente una derivada o coordenada. En general, todas las derivadas espaciales y temporales aparecerán en la densidad lagrangiana, por ejemplo en coordenadas cartesianas, la densidad lagrangiana tiene la forma completa: Aquí escribimos lo mismo, pero usando ∇ para abreviar todas las derivadas espaciales como un vector. $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x_{\mu })}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$$

Citas

1. Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden, (1967) "Fundamentos de la mecánica"
2. David Bleecker, (1981) "Teoría de calibre y principios variacionales" Addison-Wesley
3. Jurgen Jost, (1995) "Geometría riemanniana y análisis geométrico", Springer
4. Mandl, F.; Shaw, G. (2010). "Teoría de campos de Lagrange". Teoría cuántica de campos (2.ª ed.). Wiley. págs. 25–38. ISBN 978-0-471-49684-7.
5. Zee, Anthony (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Princeton University Press. pp. 344–390. ISBN 9780691145587.
6. Cahill, Kevin (2013). Matemáticas físicas . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107005211.
7. Jost, Jürgen (2002). "El funcional de Ginzburg-Landau". Geometría riemanniana y análisis geométrico (tercera edición). Springer-Verlag. págs. 373-381. ISBN 3-540-42627-2.
8. Itzykson-Zuber, ecuación 3-152
9. Claude Itykson y Jean-Bernard Zuber, (1980) "Teoría cuántica de campos"