operada

Generalización de propiedades de asociatividad.

En matemáticas , una operada es una estructura que consta de operaciones abstractas , teniendo cada una de ellas un número finito fijo de entradas (argumentos) y una salida, así como una especificación de cómo componer estas operaciones. Dada una operada , se define un álgebra como un conjunto junto con operaciones concretas en este conjunto que se comportan como las operaciones abstractas de . Por ejemplo, existe una operada de Lie tal que las álgebras anteriores son precisamente las álgebras de Lie ; en cierto sentido codifica de forma abstracta las operaciones que son comunes a todas las álgebras de Lie. Una operada es a sus álgebras lo que un grupo es a sus representaciones de grupo . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Historia

Las óperas se originan en topología algebraica ; fueron introducidos para caracterizar espacios de bucles iterados por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt en 1968 ^{[1] [2]} y por J. Peter May en 1972. ^[3]

Martin Markl, Steve Shnider y Jim Stasheff escriben en su libro sobre óperas: ^[4]

"El nombre operad y la definición formal aparecen por primera vez a principios de la década de 1970 en "The Geometry of Iterated Loop Spaces" de J. Peter May, pero un año o más antes, Boardman y Vogt describieron el mismo concepto bajo el nombre de categorías de operadores en estándar. form , inspirado en los PROP y PACT de Adams y Mac Lane. De hecho, hay abundante prehistoria. Weibel [Wei] señala que el concepto surgió por primera vez hace un siglo en "Un tratado sobre álgebra universal" de AN Whitehead . 1898."

La palabra "ópera" fue creada por May como un acrónimo de "operaciones" y " mónada " (y también porque su madre era cantante de ópera). ^[5]

El interés por las óperas se renovó considerablemente a principios de los años 90 cuando, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich , Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que algunos fenómenos de dualidad en la teoría de la homotopía racional podían explicarse utilizando la dualidad de óperas de Koszul. ^{[6] [7]} Desde entonces, las óperas han encontrado muchas aplicaciones, como en la cuantificación de deformaciones de variedades de Poisson , la conjetura de Deligne , ^[8] o la homología de gráficos en el trabajo de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .

Intuición

Supongamos que es un conjunto y para definimos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle P(n):=\{f:X^{n}\to X\}}$,

el conjunto de todas las funciones desde el producto cartesiano de copias de hasta . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Podemos componer estas funciones: dada , , la función ${\displaystyle f\in P(n)}$ ${\displaystyle f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})}$

${\displaystyle f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$

se define de la siguiente manera: dados los argumentos de , los dividimos en bloques, el primero con argumentos, el segundo con argumentos, etc., y luego los aplicamos al primer bloque, al segundo bloque, etc. Luego aplicamos a la lista de valores obtenidos de tal manera. ${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

También podemos permutar argumentos, es decir, tenemos una acción correcta del grupo simétrico en , definida por ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle P(n)}$

${\displaystyle (f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})}$

Para y . ​ ${\displaystyle f\in P(n)}$ ${\displaystyle s\in S_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$

La definición de operado simétrico que se proporciona a continuación captura las propiedades esenciales de estas dos operaciones y . ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle *}$

Definición

Operada no simétrica

Una operada no simétrica (a veces llamada operada sin permutaciones , u operada simple o no ${\displaystyle \Sigma }$ ) consta de lo siguiente:

• una secuencia de conjuntos, cuyos elementos se llaman operaciones -arias , ${\displaystyle (P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n}$
• un elemento llamado identidad , ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P(1)}$
• para todos los números enteros positivos , una función de composición ${\displaystyle n}$ ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ :P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}),\end{aligned}}}$

satisfaciendo los siguientes axiomas de coherencia:

• identidad : ${\displaystyle \theta \circ (1,\ldots ,1)=\theta =1\circ \theta }$
• asociatividad :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \circ {\Big (}\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}){\Big )}\\={}&{\Big (}\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}){\Big )}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{aligned}}}$

Operada simétrica

Una operada simétrica (a menudo llamada simplemente operada ) es una operada no simétrica como la anterior, junto con una acción derecha del grupo simétrico en for , denotada por y que satisface ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle *}$

• Equivarianza : dada una permutación , ${\displaystyle t\in S_{n}}$

${\displaystyle (\theta *t)\circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})=(\theta \circ (\theta _{t(1)},\ldots ,\theta _{t(n)}))*t'}$

(donde en el lado derecho se refiere al elemento de que actúa sobre el conjunto dividiéndolo en bloques, el primero de tamaño , el segundo de tamaño , hasta el enésimo bloque de tamaño , y luego permuta estos bloques en , manteniendo cada bloque intacto) ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

y permutaciones dadas , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}\in S_{k_{i}}}$

${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_{n})}$

(donde denota el elemento de que permuta el primero de estos bloques por , el segundo por , etc., y mantiene intacto su orden general). ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})}$ ${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

Las acciones de permutación en esta definición son vitales para la mayoría de las aplicaciones, incluida la aplicación original para bucles de espacios.

Morfismos

Un morfismo de óperas consiste en una secuencia ${\displaystyle f:P\to Q}$

${\displaystyle (f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

eso:

• conserva la identidad: ${\displaystyle f(1)=1}$
• conserva la composición: para cada operación n -aria y operaciones , ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$

${\displaystyle f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ (f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}$

• conserva las acciones de permutación: . ${\displaystyle f(x*s)=f(x)*s}$

Por lo tanto, los operadores forman una categoría denotada por . ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}}$

En otras categorías

Hasta ahora las óperas sólo se han considerado en la categoría de conjuntos. De manera más general, es posible definir operadores en cualquier categoría monoide simétrica C. En ese caso, cada uno es un objeto de C , la composición es un morfismo en C (donde denota el producto tensorial de la categoría monoide), y las acciones de los elementos del grupo simétrico están dadas por isomorfismos en C. ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle P(n)\otimes P(k_{1})\otimes \cdots \otimes P(k_{n})\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$ ${\displaystyle \otimes }$

Un ejemplo común es la categoría de espacios topológicos y mapas continuos, con el producto monoidal dado por el producto cartesiano . En este caso, una operada topológica viene dada por una secuencia de espacios (en lugar de conjuntos) . Entonces se supone que los mapas de estructura de la operada (la composición y las acciones de los grupos simétricos) son continuos. El resultado se llama ópera topológica . De manera similar, en la definición de un morfismo de óperas, sería necesario suponer que los mapas involucrados son continuos. ${\displaystyle \{P(n)\}_{n\geq 0}}$

Otras configuraciones comunes para definir óperas incluyen, por ejemplo, módulos sobre un anillo conmutativo , complejos de cadenas , grupoides (o incluso la propia categoría de categorías), coalgebras , etc.

Definición algebrista

Dado un anillo conmutativo R consideramos la categoría de módulos sobre R . Una operada sobre R se puede definir como un objeto monoide en la categoría monoide de endofunctores ( es una mónada ) que satisface alguna condición de finitud. ^{[nota 1]} ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle (T,\gamma ,\eta )}$ ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$

Por ejemplo, un objeto monoide en la categoría de "endofunctores polinomiales" es una operada. ^[8] De manera similar, una operada simétrica se puede definir como un objeto monoide en la categoría de -objetos , donde significa un grupo simétrico. ^[9] Un objeto monoide en la categoría de especies combinatorias es una operada en conjuntos finitos. ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Una operada en el sentido anterior a veces se considera como un anillo generalizado . Por ejemplo, Nikolai Durov define sus anillos generalizados como objetos monoides en la categoría monoide de endofunctores en ese viaje con colímites filtrados. ^[10] Esta es una generalización de un anillo ya que cada anillo ordinario R define una mónada que envía un conjunto X al conjunto subyacente del módulo R libre generado por X. ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle \Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle R^{(X)}}$

Entendiendo los axiomas

Axioma de asociatividad

"Asociatividad" significa que la composición de las operaciones es asociativa (la función es asociativa), análoga al axioma de la teoría de categorías que ; no significa que las operaciones en sí sean asociativas como operaciones. Compárese con la operación asociativa que aparece a continuación. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

La asociatividad en la teoría de óperas significa que se pueden escribir expresiones que involucran operaciones sin ambigüedad a partir de las composiciones omitidas, del mismo modo que la asociatividad para operaciones permite escribir productos sin ambigüedad a partir de los paréntesis omitidos.

Por ejemplo, si es una operación binaria, que se escribe como o . Entonces eso puede ser asociativo o no. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (a,b)}$ ${\displaystyle (ab)}$ ${\displaystyle \theta }$

Entonces lo que comúnmente se escribe se escribe inequívocamente de manera operádica como . Esto envía a (se aplica a los dos primeros y la identidad al tercero), y luego a la izquierda se "multiplica" por . Esto queda más claro cuando se representa como un árbol: ${\displaystyle ((ab)c)}$ ${\displaystyle \theta \circ (\theta ,1)}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (ab,c)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle c}$

lo que produce una operación triaria:

Sin embargo, la expresión es a priori ambigua: podría significar si las composiciones internas se realizan primero, o podría significar si las composiciones externas se realizan primero (las operaciones se leen de derecha a izquierda). Escribiendo , esto es versus . Es decir, al árbol le faltan "paréntesis verticales": ${\displaystyle (((ab)c)d)}$ ${\displaystyle \theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))}$ ${\displaystyle (\theta \circ (\theta ,1))\circ ((\theta ,1),1)}$ ${\displaystyle x=\theta ,y=(\theta ,1),z=((\theta ,1),1)}$ ${\displaystyle x\circ (y\circ z)}$ ${\displaystyle (x\circ y)\circ z}$

Si las dos filas superiores de operaciones se componen primero (pone un paréntesis hacia arriba en la línea; hace la composición interna primero), se obtiene el siguiente resultado: ${\displaystyle (ab)c\ \ d}$

que luego se evalúa sin ambigüedades para producir una operación 4-aria. Como expresión comentada:

${\displaystyle \theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{c}),1_{d}))}$

Si las dos filas inferiores de operaciones se componen primero (pone un paréntesis hacia abajo en la línea; hace la composición exterior primero), se obtiene el siguiente resultado: ${\displaystyle ab\quad c\ \ d}$

que luego se evalúa sin ambigüedades para producir una operación 4-aria:

El axioma de la operada de asociatividad es que estos producen el mismo resultado y, por tanto, que la expresión es inequívoca. ${\displaystyle (((ab)c)d)}$

Axioma de identidad

El axioma de identidad (para una operación binaria) se puede visualizar en un árbol como:

lo que significa que las tres operaciones obtenidas son iguales: la precomposición o poscomposición con la identidad no hace diferencia. En cuanto a las categorías, es un corolario del axioma de identidad. ${\displaystyle 1\circ 1=1}$

Ejemplos

Operada de endomorfismo en conjuntos y álgebras de óperas

Las operaciones más básicas son las que figuran en la sección "Intuición" anterior. Para cualquier conjunto , obtenemos la operad de endomorfismo que consta de todas las funciones . Estas operaciones son importantes porque sirven para definir álgebras de operaciones . Si es una operada, el álgebra de una operada está dada por un conjunto y un morfismo de operada . Intuitivamente, tal morfismo convierte cada operación "abstracta" en una operación "concreta" en el conjunto . Por lo tanto , un álgebra de operaciones over consiste en un conjunto junto con operaciones concretas que siguen las reglas especificadas de forma abstracta por la operada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{X}}$ ${\displaystyle X^{n}\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Endomorfismo operado en espacios vectoriales y álgebras de óperas.

Si k es un campo , podemos considerar la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre k ; esto se convierte en una categoría monoidal utilizando el producto tensorial ordinario sobre k. Luego podemos definir las operaciones de endomorfismo en esta categoría, de la siguiente manera. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. La operación de endomorfismo de V consta de ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}=\{{\mathcal {End}}_{V}(n)\}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$= el espacio de mapas lineales , ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V}$
2. (composición) dada , , ..., , su composición está dada por el mapa , ${\displaystyle f\in {\mathcal {End}}_{V}(n)}$ ${\displaystyle g_{1}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{1})}$ ${\displaystyle g_{n}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{n})}$ ${\displaystyle V^{\otimes k_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_{n}}\ {\overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\longrightarrow }}\ V^{\otimes n}\ {\overset {f}{\to }}\ V}$
3. (identidad) El elemento de identidad es el mapa de identidad , ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$
4. (acción de grupo simétrica) opera permutando los componentes de los tensores en . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

Si es una ópera, un álgebra de ópera k -lineal está dada por un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k y un morfismo de ópera ; esto equivale a especificar operaciones multilineales concretas en V que se comportan como las operaciones de . (Observe la analogía entre óperas y álgebras de óperas y anillos y módulos: un módulo sobre un anillo R está dado por un grupo abeliano M junto con un homomorfismo de anillo ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)}$

Dependiendo de las aplicaciones, son posibles variaciones de lo anterior: por ejemplo, en topología algebraica, en lugar de espacios vectoriales y productos tensoriales entre ellos, se utilizan espacios topológicos (razonables) y productos cartesianos entre ellos.

Operadas de "cosita"

Composición operística en la pequeña operad de 2 discos, explicada en el texto.

La pequeña operación de 2 discos es una operación topológica que consta de listas ordenadas de n discos separados dentro del disco unitario centrado en el origen. El grupo simétrico actúa sobre tales configuraciones permutando la lista de pequeños discos. La composición operística para discos pequeños se ilustra en la figura adjunta a la derecha, donde un elemento se compone con un elemento para producir el elemento obtenido al reducir la configuración de e insertarlo en el i- ésimo disco de , para . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \theta \in P(3)}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(2)\times P(3)\times P(4)}$ ${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(9)}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle i=1,2,3}$

De manera análoga, se pueden definir los pequeños n-discos operados considerando configuraciones de n -bolas disjuntas dentro de la bola unitaria de . ^[12] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Originalmente, Michael Boardman y Rainer Vogt definieron la operada de pequeños n-cubos o la operada de pequeños intervalos (inicialmente llamada pequeños n -cubos PROP ) de manera similar, en términos de configuraciones de hipercubos n -dimensionales alineados con ejes disjuntos (n- intervalos dimensionales ) dentro del hipercubo unitario . ^[13] Posteriormente se generalizó en mayo ^[14] a los pequeños cuerpos convexos operad , y "pequeños discos" es un caso de "folclore" derivado de los "pequeños cuerpos convexos". ^[15]

Árboles enraizados

En teoría de grafos, los árboles enraizados forman una operada natural. Aquí está el conjunto de todos los árboles enraizados con n hojas, donde las hojas están numeradas del 1 al n. El grupo opera en este conjunto permutando las etiquetas de las hojas. La composición operádica se obtiene reemplazando la i -ésima hoja de por la raíz del i -ésimo árbol , para , uniendo así los n árboles y formando un árbol más grande, cuya raíz se considera la misma que la raíz de y cuya las hojas están numeradas en orden. ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle T\circ (S_{1},\ldots ,S_{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Operada de queso suizo

La ópera del queso suizo .

La operada del queso suizo es una operada topológica de dos colores definida en términos de configuraciones de discos n -dimensionales disjuntos dentro de una unidad de n -semidisco y n -semidiscos dimensionales, centrados en la base del semidisco unitario y ubicados dentro de él. La composición operística proviene de pegar configuraciones de "pequeños" discos dentro del disco unitario en los "pequeños" discos de otro semidisco unitario y configuraciones de "pequeños" discos y semidiscos dentro del semidisco unitario en el otro semidisco unitario.

La ópera del queso suizo fue definida por Alexander A. Voronov . ^[16] Maxim Kontsevich lo utilizó para formular una versión en queso suizo de la conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild. ^[17] La ​​conjetura de Kontsevich fue probada en parte por Po Hu, Igor Kriz y Alexander A. Voronov ^[18] y luego completamente por Justin Thomas. ^[19]

Operada asociativa

Otra clase de ejemplos de óperas son aquellas que capturan las estructuras de estructuras algebraicas, como las álgebras asociativas, las álgebras conmutativas y las álgebras de Lie. Cada uno de estos puede exhibirse como una operada presentada de forma finita, en cada uno de estos tres generados por operaciones binarias.

Por ejemplo, la operada asociativa es una operada simétrica generada por una operación binaria , sujeta únicamente a la condición de que ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).}$

Esta condición corresponde a la asociatividad de la operación binaria ; escribiendo multiplicativamente, la condición anterior es . Esta asociatividad de la operación no debe confundirse con la asociatividad de composición que se cumple en cualquier operada; vea el axioma de asociatividad, arriba. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (a,b)}$ ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$

En la operada asociativa, cada uno viene dado por el grupo simétrico , sobre el que actúa por multiplicación recta. El compuesto permuta sus entradas en bloques según y dentro de bloques según el apropiado . ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau _{i}}$

Las álgebras sobre la operada asociativa son precisamente los semigrupos : conjuntos unidos con una única operación asociativa binaria. Las k -álgebras lineales sobre la operada asociativa son precisamente las k- álgebras asociativas .

Operación simétrica terminal

La operada simétrica terminal es la operada que tiene una única operación n -aria para cada n , y cada una actúa de manera trivial. Las álgebras sobre esta operada son los semigrupos conmutativos; las k -álgebras lineales son las k -álgebras asociativas conmutativas . ${\displaystyle S_{n}}$

Operadas de los grupos de trenzas.

De manera similar, hay una no operada para la cual cada una está dada por el grupo de trenzas de Artin . Además, esta no operada tiene la estructura de una operada trenzada, lo que generaliza la noción de operada de grupos simétricos a grupos trenzados. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Álgebra lineal

En álgebra lineal , los espacios vectoriales reales pueden considerarse álgebras sobre el operado de todas las combinaciones lineales ^{[ cita requerida ]} . Esta operada está definida por for , con la acción obvia de permutar componentes, y la composición está dada por la concatenación de los vectores , donde . El vector, por ejemplo, representa la operación de formar una combinación lineal con coeficientes 2,3,-5,0,... ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }(n)=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\circ ({\vec {y_{1}}},\ldots ,{\vec {y_{n}}})}$ ${\displaystyle x^{(1)}{\vec {y_{1}}},\ldots ,x^{(n)}{\vec {y_{n}}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(x^{(1)},\ldots ,x^{(n)})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(2,3,-5,0,\dots )}$

Este punto de vista formaliza la noción de que las combinaciones lineales son el tipo más general de operación en un espacio vectorial: decir que un espacio vectorial es un álgebra sobre la operada de combinaciones lineales es precisamente la afirmación de que todas las operaciones algebraicas posibles en un espacio vectorial son combinaciones lineales. Las operaciones básicas de suma de vectores y multiplicación escalar son un conjunto generador para la operada de todas las combinaciones lineales, mientras que la operada de combinaciones lineales codifica canónicamente todas las operaciones posibles en un espacio vectorial.

De manera similar, se puede considerar que las combinaciones afines , las combinaciones cónicas y las combinaciones convexas corresponden a los suboperados donde los términos del vector suman 1, los términos son todos no negativos o ambos, respectivamente. Gráficamente, estos son el hiperplano afín infinito, el hiperoctante infinito y el simplex infinito. Esto formaliza lo que se entiende por ser o ser espacios modelo simplex estándar, y observaciones tales como que cada politopo convexo acotado es la imagen de un simplex. Aquí las suboperadas corresponden a operaciones más restringidas y, por tanto, a teorías más generales. ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Operada de anillo conmutativo y operación de Lie

La operada de anillo conmutativo es una operada cuyas álgebras son los anillos conmutativos. Está definido por , con la acción obvia de y la composición operádica dada al sustituir variables por polinomios (con variables renumeradas). Se puede definir una operada similar cuyas álgebras sean álgebras asociativas y conmutativas sobre algún campo de base fijo. El dual Koszul de esta operada es la operada de Lie (cuyas álgebras son las álgebras de Lie), y viceversa. ${\displaystyle P(n)=\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Operadas libres

Las construcciones algebraicas típicas (p. ej., construcción de álgebra libre) pueden extenderse a operaciones. Denotemos la categoría cuyos objetos son conjuntos sobre los que actúa el grupo. Luego está un funtor olvidadizo , que simplemente olvida la composición operística. Es posible construir un adjunto izquierdo para este funtor olvidadizo (esta es la definición habitual de funtor libre ). Dada una colección de operaciones E , es la operada libre en E. ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}\to \prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle \Gamma :\prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}\to {\mathsf {Oper}}}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$

Como un grupo o un anillo, la construcción libre permite expresar una operada en términos de generadores y relaciones. Por representación libre de una operada , nos referimos a escribir como un cociente de una operada libre donde E describe generadores de y el núcleo del epimorfismo describe las relaciones. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Gamma (E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {O}}}$

Una operada (simétrica) se llama cuadrática si tiene una presentación libre tal que es el generador y la relación está contenida en . ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}(n)\}}$ ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(2)}$ ${\displaystyle \Gamma (E)(3)}$

Clones

Los clones son el caso especial de operaciones que también se cierran bajo argumentos de identificación juntos ("reutilizando" algunos datos). Los clones se pueden definir de manera equivalente como operadas que también son un minion (o clonoide ).

Operadas en la teoría de la homotopía.

En Stasheff (2004), Stasheff escribe:

Las óperas son particularmente importantes y útiles en categorías con una buena noción de "homotopía", donde desempeñan un papel clave en la organización de jerarquías de homotopías superiores.

Ver también

• PRO (teoría de categorías)
• Álgebra sobre una operada
• Operada de orden superior
• operación E∞
• Pseudoálgebra
• multicategoría

Notas

1. "finitud" se refiere al hecho de que sólo se permite un número finito de entradas en la definición de una operación. Por ejemplo, la condición se cumple si se puede escribir

   ${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{n=1}^{\infty }T_{n}\otimes V^{\otimes n}}$,

   ${\displaystyle \gamma (V):T_{n}\otimes T_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes T_{i_{n}}\to T_{i_{1}+\dots +i_{n}}}$.

Citas

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2. Boardman, JM ; Vogt, RM (1973). Estructuras algebraicas invariantes de homotopía en espacios topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 347.doi : 10.1007 /bfb0068547. ISBN 978-3-540-06479-4. ISSN  0075-8434.
3. Mayo, JP (1972). La geometría de los espacios de bucles iterativos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 271. CiteSeerX 10.1.1.146.3172 . doi :10.1007/bfb0067491. ISBN  978-3-540-05904-2. ISSN  0075-8434.
4. "Operadas en álgebra, topología y física": Martin Markl, Steve Shnider, Jim Stasheff, Encuestas y monografías matemáticas, volumen: 96; 2002
5. Mayo, J. Peter . "Óperas, álgebras y módulos" (PDF) . math.uchicago.edu . pag. 2 . Consultado el 28 de septiembre de 2018 .
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Referencias

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enlaces externos

• operado en el laboratorio n
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html