dualidad koszul

¿Qué es la dualidad de Koszul en general?

En matemáticas , la dualidad de Koszul , llamada así en honor al matemático francés Jean-Louis Koszul , es cualquiera de los diversos tipos de dualidades que se encuentran en la teoría de representación de las álgebras de Lie , las álgebras abstractas ( álgebra semisimple ) ^[1] y la topología (p. ej., cohomología equivariante ^[2] ). El ejemplo prototipo es la correspondencia BGG, debida a Joseph Bernstein , Israel Gelfand y Sergei Gelfand. ^[3] Se trata de una dualidad entre la categoría derivada de un álgebra simétrica y la de un álgebra exterior . La importancia de la noción reside en la sospecha de que la dualidad de Koszul parece bastante ubicua en la naturaleza. ^{[ cita necesaria ]}

Dualidad de Koszul para módulos graduados sobre álgebras de Koszul

El caso más simple, y en cierto sentido prototípico, de la dualidad de Koszul surge de la siguiente manera: para un espacio vectorial unidimensional V sobre un campo k , con espacio vectorial dual , el álgebra exterior de V tiene dos componentes no triviales, a saber ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \bigwedge ^{1}V=V,\quad \bigwedge ^{0}V=k.}$

Este álgebra exterior y el álgebra simétrica de , sirven para construir un complejo de cadena de dos pasos ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{*})}$

${\displaystyle V\otimes _{k}\operatorname {Sym} (V^{*})\to k\otimes _{k}\operatorname {Sym} (V^{*})}$

cuyo diferencial es inducido por el mapa de evaluación natural

${\displaystyle V\otimes _{k}V^{*}\to k,\quad v\otimes _{k}\varphi \mapsto \varphi (v).}$

Al elegir una base de V , se puede identificar con el anillo polinómico en una variable, y el complejo de cadena anterior se vuelve isomorfo al complejo. ${\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{*})}$ ${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle k[t]{\stackrel {t}{\longrightarrow }}k[t]}$

cuyo diferencial es la multiplicación por t . Este cálculo muestra que la cohomología del complejo anterior es 0 en el término de la izquierda y k en el término de la derecha. En otras palabras, k (considerado como un complejo de cadena concentrado en un solo grado) es casi isomorfo al complejo anterior, lo que proporciona un vínculo estrecho entre el álgebra exterior de V y el álgebra simétrica de su dual.

Dual de Koszul de un álgebra de Koszul

La dualidad de Koszul, tal como la tratan Alexander Beilinson , Victor Ginzburg y Wolfgang Soergel ^[4], puede formularse utilizando la noción de álgebra de Koszul . Un ejemplo de tal álgebra A de Koszul es el álgebra simétrica en un espacio vectorial de dimensión finita. De manera más general, se puede demostrar que cualquier álgebra de Koszul es un álgebra cuadrática , es decir, de la forma ${\displaystyle S(V)}$

${\displaystyle A=T(V)/R,}$

donde es el álgebra tensorial en un espacio vectorial de dimensión finita y es un submódulo de . El dual de Koszul coincide entonces con el dual cuadrático ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T^{2}(V)=V\otimes V}$

${\displaystyle A^{!}:=T(V^{*})/R'}$

donde es el dual ( k -lineal) y consta de aquellos elementos en los que los elementos de R (es decir, las relaciones en A ) desaparecen. El dual de Koszul está dado por , el álgebra exterior del dual de V . En general, el dual de un álgebra de Koszul vuelve a ser un álgebra de Koszul. Su anillo opuesto está dado por el anillo graduado de autoextensiones del campo subyacente k, considerado como un módulo A : ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle R'\subset V^{*}\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle A=S(V)}$ ${\displaystyle A^{!}=\Lambda (V^{*})}$

${\displaystyle (A^{!})^{\text{opp}}=\operatorname {Ext} _{A}^{*}(k,k).}$

dualidad koszul

Si un álgebra es Koszul, existe una equivalencia entre ciertas subcategorías de las categorías derivadas de módulos graduados y . Estas subcategorías se definen por ciertas condiciones de acotación en la clasificación versus el grado cohomológico de un complejo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{!}}$

Variantes

Como alternativa a pasar a ciertas subcategorías de las categorías derivadas de y obtener equivalencias, es posible obtener equivalencias entre ciertos cocientes de las categorías de homotopía. ^[5] Generalmente estos cocientes son mayores que la categoría derivada, ya que se obtienen factorizando alguna subcategoría de la categoría de complejos acíclicos, pero tienen la ventaja de que cada complejo de módulos determina algún elemento de la categoría, sin necesidad de imponer condiciones de acotación. Una reformulación diferente da una equivalencia entre la categoría derivada de y la categoría 'codificada' de la coalgebra . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{!}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A^{!})^{*}}$

Una extensión de la dualidad de Koszul a D -módulos establece una equivalencia similar de categorías derivadas entre dg-módulos sobre el dg-álgebra de diferenciales de Kähler en una variedad algebraica suave X y los -módulos. ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle \Omega _{X}}$ ${\displaystyle D_{X}}$

Dualidad de Koszul para óperas

Ginzburg y Kapranov formularon una extensión del concepto anterior de dualidad de Koszul, quienes introdujeron la noción de ópera cuadrática y definieron el dual cuadrático de dicha ópera. ^[9] De manera muy aproximada, una operada es una estructura algebraica que consiste en un objeto de n -operaciones arias para todo n . Un álgebra sobre una operada es un objeto sobre el cual actúan estas n -operaciones arias. Por ejemplo, hay una operada llamada operada asociativa cuyas álgebras son álgebras asociativas, es decir, según el contexto preciso, anillos no conmutativos (o, según el contexto, anillos graduados no conmutativos, anillos graduados diferenciales). Las álgebras sobre la llamada ópera conmutativa son álgebras conmutativas, es decir, anillos conmutativos (posiblemente graduados, graduados diferenciales). Otro ejemplo más es la operada de Lie cuyas álgebras son álgebras de Lie . La dualidad cuadrática mencionada anteriormente es tal que la operación asociativa es autodual, mientras que la operación conmutativa y la de Lie se corresponden entre sí bajo esta dualidad.

La dualidad de Koszul para óperas establece una equivalencia entre álgebras sobre óperas duales. El caso especial de álgebras asociativas devuelve el funtor mencionado anteriormente. ${\displaystyle A\mapsto A^{!}}$

Ver también

• álgebra de Zinbiel

Notas

1. Ben Webster, Álgebras de Koszul y dualidad de Koszul. 1 de noviembre de 2007
2. Mark Goresky , Robert Kottwitz y Robert MacPherson . Cohomología equivalente, dualidad de Koszul y teorema de localización. Invenciones Mathematicae 131 (1998).
3. Joseph Bernstein , Israel Gelfand y Sergei Gelfand. Paquetes algebraicos y problemas de álgebra lineal ${\displaystyle P^{n}}$ . Funkts. Anal. Prilozh. 12 (1978); Traducción al inglés en Functional Analysis and its Applications 12 (1978), 212-214
4. Alexander Beilinson , Victor Ginzburg , Wolfgang Soergel. Patrones de dualidad de Koszul en la teoría de la representación , Journal of the American Mathematical Society 9 (1996), no. 2, 473-527.
5. Fløystad, Gunnar (1 de enero de 2006). "Dualidad Koszul y equivalencias de categorías". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 358 (6): 2373–2398. arXiv : matemáticas/0012264 . doi : 10.1090/S0002-9947-05-04035-3 . ISSN  0002-9947.
6. Kapranov, Mikhail M. Sobre módulos DG sobre el complejo de Rham y el functor de ciclos de fuga . Geometría algebraica (Chicago, IL, 1989), 57–86, Lecture Notes in Math., 1479, Springer, Berlín, 1991.
7. Positselski, Leonid: arXiv :0905.2621 Dos tipos de categorías derivadas, dualidad Koszul y correspondencia comodulo-contramódulo. , Memoria. América. Matemáticas. Soc. 212 (2011), núm. 996, vi+133 págs. ISBN 978-0-8218-5296-5 , ver Apéndice B 
8. Faltings, Gerd ; Chai, Ching-Li. Degeneración de variedades abelianas. Con un apéndice de David Mumford . Springer-Verlag, Berlín, 1990. xii+316 págs. ISBN 3-540-52015-5 . Sección VI.3 
9. Ginzburg, Víctor; Kapranov, Mijaíl. Dualidad Koszul para óperas. Duque Matemáticas. J. 76 (1994), núm. 1, 203–272.

Referencias

• Priddy, resoluciones de Stewart B. Koszul . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense 152 (1970), 39–60.

enlaces externos

• http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXXIII-Koszul.pdf
• http://people.mpim-bonn.mpg.de/geordie/Soergel.pdf
• http://arxiv.org/pdf/1109.6117v1.pdf