Entero

Número en {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Los números enteros dispuestos en una línea numérica

Un número entero es el número cero ( ), un número natural positivo (1, 2, 3, . . .), o la negación de un número natural positivo ( −1 , −2, −3, . . .). ^[1] Las negaciones o inversos aditivos de los números naturales positivos se denominan enteros negativos . ^[2] El conjunto de todos los números enteros a menudo se denota con la letra Z en negrita o negrita de pizarra . ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El conjunto de los números naturales es un subconjunto del cual a su vez es un subconjunto del conjunto de todos los números racionales a su vez un subconjunto de los números reales ^[a] Al igual que el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros es infinito numerable . Un entero puede considerarse como un número real que puede escribirse sin un componente fraccionario . Por ejemplo, 21, 4, 0 y −2048 son números enteros, mientras que 9,75, ⁠5 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$+1/2⁠ , 5/4 y  √ 2 no lo son. ^[8]

Los números enteros forman el grupo más pequeño y el anillo más pequeño que contiene a los números naturales . En la teoría de números algebraicos , los números enteros a veces se califican como números enteros racionales para distinguirlos de los números enteros algebraicos más generales . De hecho, los números enteros (racionales) son números enteros algebraicos que también son números racionales .

Historia

La palabra entero proviene del latín entero que significa "entero" o (literalmente) "intacto", de in ("no") más tangere ("tocar"). "Entero" deriva del mismo origen a través de la palabra francesa entier , que significa tanto entero como entero . ^[9] Históricamente, el término se usaba para un número que era múltiplo de 1, ^{[10] [11]} o para la parte entera de un número mixto . ^{[12] [13]} Solo se consideraban los números enteros positivos, lo que hacía que el término fuera sinónimo de los números naturales . La definición de entero se expandió con el tiempo para incluir números negativos a medida que se reconocía su utilidad. ^[14] Por ejemplo, Leonhard Euler en sus Elementos de álgebra de 1765 definió los números enteros para incluir números positivos y negativos. ^[15]

La frase el conjunto de los números enteros no se utilizó hasta finales del siglo XIX, cuando Georg Cantor introdujo el concepto de conjuntos infinitos y la teoría de conjuntos . El uso de la letra Z para denotar el conjunto de números enteros proviene de la palabra alemana Zahlen ("números") ^{[3] [4]} y se ha atribuido a David Hilbert . ^[16] El primer uso conocido de la notación en un libro de texto aparece en Algèbre escrito por el colectivo Nicolas Bourbaki , que data de 1947. ^{[3] [17]} La ​​notación no se adoptó inmediatamente, por ejemplo, otro libro de texto utilizó la letra J ^[18] y un artículo de 1960 utilizó Z para denotar los números enteros no negativos. ^[19] Pero en 1961, Z se utilizaba generalmente en los textos de álgebra modernos para denotar los números enteros positivos y negativos. ^[20]

El símbolo se suele utilizar para denotar varios conjuntos, con un uso variable entre los distintos autores: , o para los números enteros positivos, o para los números enteros no negativos, y para los números enteros distintos de cero. Algunos autores utilizan para los números enteros distintos de cero, mientras que otros lo utilizan para los números enteros no negativos, o para {–1, 1} (el grupo de unidades de ). Además, se utiliza para denotar el conjunto de números enteros módulo p (es decir, el conjunto de clases de congruencia de números enteros), o el conjunto de números enteros p -ádicos . ^{[21] [22]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Los números enteros eran sinónimos de los números enteros hasta principios de la década de 1950. ^{[23] [24] [25]} A fines de la década de 1950, como parte del movimiento New Math , ^[26] los maestros de escuela primaria estadounidenses comenzaron a enseñar que los números enteros se referían a los números naturales , excluyendo los números negativos, mientras que los números enteros incluían los números negativos. ^{[27] [28]} Los números enteros siguen siendo ambiguos hasta el día de hoy. ^[29]

Propiedades algebraicas

Los números enteros pueden considerarse como puntos discretos, igualmente espaciados en una línea numérica infinitamente larga . En la imagen anterior, los números enteros no negativos se muestran en azul y los números enteros negativos en rojo.

Al igual que los números naturales , , es cerrado bajo las operaciones de adición y multiplicación , es decir, la suma y el producto de dos números enteros cualesquiera es un número entero. Sin embargo, con la inclusión de los números naturales negativos (y, lo que es más importante,  ), , a diferencia de los números naturales, también es cerrado bajo la resta . ^[30] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los números enteros forman un anillo que es el más básico de todos, en el sentido siguiente: para cualquier anillo, existe un único homomorfismo de anillo de los números enteros en este anillo. Esta propiedad universal , a saber, ser un objeto inicial en la categoría de anillos , caracteriza al anillo  . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$no está cerrado bajo la división , ya que el cociente de dos números enteros (por ejemplo, 1 dividido por 2) no necesita ser un número entero. Aunque los números naturales están cerrados bajo la exponenciación , los números enteros no lo están (ya que el resultado puede ser una fracción cuando el exponente es negativo).

La siguiente tabla enumera algunas de las propiedades básicas de la suma y la multiplicación para cualquier número entero a , b y c :

Las primeras cinco propiedades enumeradas anteriormente para la adición indican que , bajo la adición, es un grupo abeliano . También es un grupo cíclico , ya que cada entero distinto de cero se puede escribir como una suma finita 1 + 1 + ... + 1 o (−1) + (−1) + ... + (−1) . De hecho, bajo la adición es el único grupo cíclico infinito, en el sentido de que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Las primeras cuatro propiedades enumeradas anteriormente para la multiplicación indican que bajo la multiplicación hay un monoide conmutativo . Sin embargo, no todo entero tiene un inverso multiplicativo (como es el caso del número 2), lo que significa que bajo la multiplicación no hay un grupo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Todas las reglas de la tabla de propiedades anterior (excepto la última), cuando se toman en conjunto, dicen que junto con la suma y la multiplicación es un anillo conmutativo con unidad . Es el prototipo de todos los objetos de dicha estructura algebraica . Solo aquellas igualdades de expresiones son verdaderas en  para todos los valores de las variables, que son verdaderas en cualquier anillo conmutativo unitario. Ciertos números enteros distintos de cero se asignan a cero en ciertos anillos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La falta de divisores de cero en los números enteros (última propiedad de la tabla) significa que el anillo conmutativo  es un dominio integral . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La falta de inversos multiplicativos, lo que equivale a que no esté cerrado bajo división, significa que no es un cuerpo . El cuerpo más pequeño que contiene a los números enteros como subanillo es el cuerpo de los números racionales . El proceso de construcción de los racionales a partir de los números enteros puede imitarse para formar el cuerpo de fracciones de cualquier dominio integral. Y de vuelta, a partir de un cuerpo de números algebraicos (una extensión de los números racionales), se puede extraer su anillo de números enteros , que incluye como subanillo a . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Aunque la división ordinaria no está definida en , la división "con resto" sí lo está. Se llama división euclidiana y posee la siguiente propiedad importante: dados dos enteros a y b con b ≠ 0 , existen enteros únicos q y r tales que a = q × b + r y 0 ≤ r < | b | , donde | b | denota el valor absoluto de b . El entero q se llama cociente y r se llama resto de la división de a por b . El algoritmo euclidiano para calcular máximos comunes divisores funciona mediante una secuencia de divisiones euclidianas. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Lo anterior dice que es un dominio euclidiano . Esto implica que es un dominio ideal principal y cualquier entero positivo puede escribirse como productos de primos de una manera esencialmente única . ^[31] Este es el teorema fundamental de la aritmética . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Propiedades de la teoría del orden

${\displaystyle \mathbb {Z} }$es un conjunto totalmente ordenado sin límite superior o inferior . El orden de viene dado por: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Un entero es positivo si es mayor que cero y negativo si es menor que cero. El cero se define como ni negativo ni positivo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La ordenación de números enteros es compatible con las operaciones algebraicas de la siguiente manera:

1. Si a < b y c < d , entonces a + c < b + d
2. si a < b y 0 < c , entonces ac < bc .

De ello se deduce que junto con el ordenamiento anterior se obtiene un anillo ordenado . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los números enteros son el único grupo abeliano totalmente ordenado no trivial cuyos elementos positivos están bien ordenados . ^[32] Esto es equivalente a la afirmación de que cualquier anillo de valoración noetheriano es un cuerpo o un anillo de valoración discreto .

Construcción

Desarrollo tradicional

En la enseñanza primaria, los números enteros se definen a menudo intuitivamente como la unión de los números naturales (positivos), cero , y las negaciones de los números naturales. Esto se puede formalizar de la siguiente manera. ^[33] Primero construya el conjunto de números naturales según los axiomas de Peano , llame a esto . Luego construya un conjunto que sea disjunto de y en correspondencia uno a uno con mediante una función . Por ejemplo, tome como los pares ordenados con la aplicación . Finalmente, sea 0 algún objeto que no esté en o , por ejemplo el par ordenado . Luego, los números enteros se definen como la unión . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (1,n)}$ ${\displaystyle \psi =n\mapsto (1,n)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P\cup P^{-}\cup \{0\}}$

Las operaciones aritméticas tradicionales pueden definirse entonces sobre los números enteros de manera fragmentaria , para cada uno de los números positivos, negativos y cero. Por ejemplo, la negación se define de la siguiente manera: $${\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

El estilo tradicional de definición conduce a muchos casos diferentes (cada operación aritmética debe definirse en cada combinación de tipos de números enteros) y hace que sea tedioso demostrar que los números enteros obedecen las diversas leyes de la aritmética. ^[34]

Clases de equivalencia de pares ordenados

Los puntos rojos representan pares ordenados de números naturales . Los puntos rojos vinculados son clases de equivalencia que representan los números enteros azules al final de la línea.

En las matemáticas modernas de teoría de conjuntos, a menudo se utiliza una construcción más abstracta ^{[35] [36]} que permite definir operaciones aritméticas sin distinción de casos. ^[37] De este modo, los números enteros se pueden construir formalmente como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales ( a , b ) . ^[38]

La intuición es que ( a , b ) representa el resultado de restar b de a . ^[38] Para confirmar nuestra expectativa de que 1 − 2 y 4 − 5 denotan el mismo número, definimos una relación de equivalencia ~ en estos pares con la siguiente regla:

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$

Precisamente cuando

${\displaystyle a+d=b+c.}$

La suma y la multiplicación de números enteros se pueden definir en términos de las operaciones equivalentes sobre los números naturales; ^[38] al utilizar [( a , b )] para denotar la clase de equivalencia que tiene a ( a , b ) como miembro, se tiene:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}$

La negación (o inverso aditivo) de un número entero se obtiene invirtiendo el orden del par:

${\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}$

Por lo tanto, la resta se puede definir como la suma del inverso aditivo:

${\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}$

El ordenamiento estándar de los números enteros viene dado por:

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}$ Si y sólo si ${\displaystyle a+d<b+c.}$

Se verifica fácilmente que estas definiciones son independientes de la elección de representantes de las clases de equivalencia.

Cada clase de equivalencia tiene un miembro único que tiene la forma ( n ,0) o (0, n ) (o ambas a la vez). El número natural n se identifica con la clase [( n ,0)] (es decir, los números naturales se incorporan a los números enteros mediante el mapeo que envía n a [( n ,0)] ), y la clase [(0, n )] se denota − n (esto cubre todas las clases restantes y le da a la clase [(0,0)] una segunda vez ya que −0 = 0.

Por lo tanto, [( a , b )] se denota por

${\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}}$

Si los números naturales se identifican con los números enteros correspondientes (utilizando la incrustación mencionada anteriormente), esta convención no crea ninguna ambigüedad.

Esta notación recupera la representación familiar de los números enteros como {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

Algunos ejemplos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}}$

Otros enfoques

En la informática teórica, los demostradores de teoremas automatizados y los motores de reescritura de términos utilizan otros enfoques para la construcción de números enteros . Los números enteros se representan como términos algebraicos construidos utilizando unas pocas operaciones básicas (por ejemplo, cero , succ , pred ) y, posiblemente, utilizando números naturales , que se supone que ya están construidos (utilizando, por ejemplo, el enfoque de Peano ).

Existen al menos diez construcciones de este tipo de números enteros con signo. ^[39] Estas construcciones difieren en varios aspectos: el número de operaciones básicas utilizadas para la construcción, el número (normalmente, entre 0 y 2) y los tipos de argumentos aceptados por estas operaciones; la presencia o ausencia de números naturales como argumentos de algunas de estas operaciones, y el hecho de que estas operaciones sean constructores libres o no, es decir, que el mismo entero se pueda representar utilizando sólo uno o muchos términos algebraicos.

La técnica de construcción de números enteros presentada en la sección anterior corresponde al caso particular en el que existe una única operación básica par que toma como argumentos dos números naturales y , y devuelve un entero (igual a ). Esta operación no es libre ya que el entero 0 puede escribirse par (0,0), o par (1,1), o par (2,2), etc. Esta técnica de construcción es utilizada por el asistente de demostraciones Isabelle ; sin embargo, muchas otras herramientas utilizan técnicas de construcción alternativas, destacando las basadas en constructores libres, que son más simples y pueden implementarse de manera más eficiente en las computadoras. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x-y}$

Ciencias de la Computación

Un entero es a menudo un tipo de datos primitivo en los lenguajes informáticos . Sin embargo, los tipos de datos enteros solo pueden representar un subconjunto de todos los números enteros, ya que las computadoras prácticas tienen una capacidad finita. Además, en la representación común del complemento a dos , la definición inherente de signo distingue entre "negativo" y "no negativo" en lugar de "negativo, positivo y 0". (Sin embargo, es ciertamente posible que una computadora determine si un valor entero es verdaderamente positivo). Los tipos de datos de aproximación de enteros de longitud fija (o subconjuntos) se denotan int o Integer en varios lenguajes de programación (como Algol68 , C , Java , Delphi , etc.).

Las representaciones de longitud variable de números enteros, como bignums , pueden almacenar cualquier número entero que quepa en la memoria de la computadora. Otros tipos de datos enteros se implementan con un tamaño fijo, generalmente una cantidad de bits que es una potencia de 2 (4, 8, 16, etc.) o una cantidad memorable de dígitos decimales (por ejemplo, 9 o 10).

Cardinalidad

El conjunto de los números enteros es infinito numerable , lo que significa que es posible emparejar cada número entero con un número natural único. Un ejemplo de este tipo de emparejamiento es

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . ,(1 −  k , 2 k  − 1), ( k , 2 k  ), . . .

En términos más técnicos, se dice que la cardinalidad de es igual a ℵ ₀ ( aleph-nulo ). El emparejamiento entre elementos de y se denomina biyección . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Factorización canónica de un entero positivo
• Número entero complejo
• Hiperentero
• Complejidad de números enteros
• Red de enteros
• Parte entera
• Secuencia de números enteros
• Función con valor entero
• Símbolos matemáticos
• Paridad (matemáticas)
• Entero profinito

Notas al pie

1. Más precisamente, cada sistema está integrado en el siguiente, mapeado isomórficamente a un subconjunto. ^[5] La contención teórica de conjuntos comúnmente asumida puede obtenerse construyendo los números reales, descartando cualquier construcción anterior y definiendo los otros conjuntos como subconjuntos de los reales. ^[6] Tal convención es "una cuestión de elección", pero no lo es. ^[7]

Referencias

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Fuentes

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Enlaces externos

• "Número entero", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Números enteros positivos: tablas de divisores y herramientas de representación numérica
• Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros cf OEIS
• Weisstein, Eric W. "Entero". MundoMatemático .

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