En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , de modo que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. La elongación de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite de elongación infinita, ya no una elipse sino una parábola ).
Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero para su perímetro (también conocido como circunferencia ) se requiere integración para obtener una solución exacta.
Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es:
Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es:
Una elipse también puede definirse en términos de un foco y una línea exterior a la elipse llamada directriz: para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es constante. Esta relación constante es la excentricidad mencionada anteriormente:
Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería . Por ejemplo, la órbita de cada planeta del Sistema Solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto focal (más precisamente, el foco es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas a menudo se describen bien mediante elipsoides . Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo una proyección paralela o en perspectiva . La elipse es también la figura de Lissajous más simple formada cuando los movimientos horizontales y verticales son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en óptica .
El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apolonio de Perge en sus Cónicas .
Definición como lugar geométrico de puntos
Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:
Dados dos puntos fijos llamados focos y una distancia que es mayor que la distancia entre los focos, la elipse es el conjunto de puntos tales que la suma de las distancias es igual a :
El punto medio del segmento de línea que une los focos se llama centro de la elipse. La línea que pasa por los focos se llama eje mayor y la línea perpendicular a ella que pasa por el centro se llama eje menor .El eje mayor corta la elipse en dos vértices que tienen una distancia al centro de . La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente es la excentricidad .
El caso produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse.
La ecuación se puede ver de otra manera (ver figura):
Si es un círculo con centro y radio , entonces la distancia de un punto al círculo es igual a la distancia al foco :
se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la elipse. [1] [2] Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse usando una línea directriz a continuación.
Utilizando las esferas de Dandelin , se puede demostrar que cualquier sección de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.
En coordenadas cartesianas
Ecuación estándar
La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:
Los focos son los puntos ,
Los vértices son .
Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al otro foco . Por lo tanto el punto está en la elipse siempre que:
Eliminando los radicales mediante cuadrados adecuados y utilizando (ver diagrama) se obtiene la ecuación estándar de la elipse: [3]
o, resuelto para y :
Los parámetros de ancho y altura se denominan semiejes mayor y semieje menor . Los puntos superior e inferior son los covértices . Las distancias desde un punto de la elipse hasta los focos izquierdo y derecho son y .
De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por tanto, con respecto al origen.
Parámetros
Ejes principales
A lo largo de este artículo, los ejes semimayor y semimenor se denotan como y , respectivamente, es decir
En principio, la ecuación de la elipse canónica puede tener (y por lo tanto la elipse sería más alta que ancha). Esta forma se puede convertir a la forma estándar transponiendo los nombres de las variables y y los nombres de los parámetros y
Excentricidad lineal
Esta es la distancia desde el centro a un foco: .
Excentricidad
La excentricidad se puede expresar como:
suponiendo que una elipse con ejes iguales ( ) tiene excentricidad cero y es un círculo.
Recto semilato
La longitud de la cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor, se llama lado recto . La mitad de esta longitud es el semilado recto . Un cálculo muestra: [4]
El semilato recto es igual al radio de curvatura en los vértices (ver sección curvatura).
Tangente
Una línea arbitraria interseca una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente línea exterior , tangente y secante . A través de cualquier punto de una elipse existe una única tangente. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación de coordenadas:
Demostración:
Sea un punto de una elipse y sea la ecuación de cualquier recta que contenga . Insertando la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse y respetando se obtiene:
Existen entonces casos:
Entonces la recta y la elipse tienen solo un punto en común, y es una tangente. La dirección de la tangente tiene un vector perpendicular , por lo que la recta tangente tiene ecuación para algún . Como está sobre la tangente y la elipse, se obtiene .
Entonces la línea tiene un segundo punto en común con la elipse y es secante.
Utilizando (1) se encuentra que es un vector tangente en el punto , lo que prueba la ecuación vectorial.
Si y son dos puntos de la elipse tales que , entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo). (Si , la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal").
Elipse desplazada
Si la elipse estándar se desplaza para tener centro , su ecuación es
Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y .
Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y sólo si C∆ < 0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. [7] : 63
Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de los semiejes mayor y menor conocidos , las coordenadas del centro y el ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas:
Estas expresiones pueden derivarse de la ecuación canónica
mediante una transformación euclidiana de las coordenadas :
Por el contrario, los parámetros de forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de forma general mediante las ecuaciones: [3]
donde atan2 es la función arcotangente de 2 argumentos.
El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo con el eje x , sino que tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (ver § Dibujar elipses más abajo). [8]
Representación racional
Con las fórmulas de sustitución y trigonométricas se obtiene
y la ecuación paramétrica racional de una elipse
que cubre cualquier punto de la elipse excepto el vértice izquierdo .
Para esta fórmula se representa el cuarto superior derecho de la elipse que se mueve en sentido antihorario con un aumento del vértice izquierdo. El límite
Alternativamente, si se considera que el parámetro es un punto en la línea proyectiva real , entonces la parametrización racional correspondiente es
Una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la elipse, se puede obtener a partir de la derivada de la representación estándar :
Reemplazando y de la representación estándar se obtiene:
Aquí se muestra la pendiente de la tangente en el punto correspondiente de la elipse, que es la mitad superior e inferior de la elipse. Los vértices que tienen tangentes verticales no están cubiertos por la representación.
La ecuación de la tangente en el punto tiene la forma . La incógnita aún se puede determinar introduciendo las coordenadas del punto de la elipse correspondiente :
Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo sobre la ortóptica contiene otra demostración, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.
Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación .
Representación paramétrica
Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , el círculo unitario , , se proyecta sobre la elipse:
Aquí está el centro y son las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares.
Vértices
Los cuatro vértices de la elipse son , para un parámetro definido por:
(Si , entonces .) Esto se deduce de la siguiente manera. El vector tangente en el punto es:
En un parámetro de vértice , la tangente es perpendicular a los ejes mayor/menor, por lo que:
Al expandir y aplicar las identidades se obtiene la ecuación para
Área
Del teorema de Apolonio (ver abajo) se obtiene: El área de una elipse es
Semiejes
Con las abreviaturas, los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como:
Resolviendo este sistema no lineal para se obtienen los semiejes:
Representación implícita
Resolviendo la representación paramétrica para mediante la regla de Cramer y utilizando , se obtiene la representación implícita
de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores
apuntan a dos puntos conjugados y son aplicables las herramientas desarrolladas anteriormente.
Ejemplo : Para la elipse con ecuación los vectores son
Elipse estándar rotada
Para ello se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar rotada por un ángulo :
Elipse en el espacio
La definición de elipse en esta sección da una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permiten vectores en el espacio.
Formas polares
Forma polar relativa al centro
En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es [7] : 75
donde es la excentricidad, no el número de Euler.
Forma polar relativa al foco
Si en cambio utilizamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular todavía medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es
donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y positivo si esa dirección apunta lejos del centro.
Cada una de las dos rectas paralelas al eje menor, y a una distancia de éste, se llama directriz de la elipse (ver diagrama).
Para un punto arbitrario de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad:
La prueba del par se deriva del hecho de que y satisfacen la ecuación
El segundo caso se prueba de forma análoga.
La inversa también es cierta y se puede utilizar para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):
Para cualquier punto (foco), cualquier recta (directriz) que no pase por , y cualquier número real con la elipse es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la recta es :
La extensión a , que es la excentricidad de un círculo, no está permitida en este contexto en el plano euclidiano. Sin embargo, se puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito en el plano proyectivo .
(La elección da como resultado una parábola y, si , una hipérbola).
Prueba
Sea , y supongamos que es un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones
y
La sustitución produce
Esta es la ecuación de una elipse ( ), o de una parábola ( ), o de una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama).
Si , introduzca nuevos parámetros de modo que , y entonces la ecuación anterior se convierte en
que es la ecuación de una elipse con centro , eje x como eje mayor y semieje mayor/menor .
Construcción de una directriz
Debido a que el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde), se puede construir como se muestra en el diagrama. La directriz es la perpendicular al eje principal en el punto .
Elipse general
Si el foco es y la directriz , se obtiene la ecuación
(El lado derecho de la ecuación utiliza la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ).
Propiedad de reflexión de foco a foco
Una elipse posee la siguiente propiedad:
La normal en un punto biseca el ángulo entre las líneas .
Prueba
Como la línea tangente es perpendicular a la normal, una afirmación equivalente es que la tangente es la bisectriz del ángulo externo de las líneas a los focos (ver diagrama). Sea el punto en la línea con distancia al foco , donde es el semieje mayor de la elipse. Sea línea la bisectriz del ángulo externo de las líneas y Tome cualquier otro punto en Por la desigualdad del triángulo y el teorema de la bisectriz del ángulo , por lo tanto debe estar fuera de la elipse. Como esto es cierto para cada elección de solo interseca la elipse en el único punto, también debe ser la línea tangente.
Solicitud
Los rayos de un foco se reflejan en la elipse hacia el segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad de reflexión de una parábola (véase la galería de susurros ).
Además, debido a la propiedad de reflexión de foco a foco de las elipses, si se permite que los rayos continúen propagándose, los rayos reflejados eventualmente se alinearán estrechamente con el eje mayor.
Diámetros conjugados
Definición de diámetros conjugados
Un círculo tiene la siguiente propiedad:
Los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran en un diámetro.
Una transformación afín conserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, por lo que esta propiedad es válida para cualquier elipse. (Tenga en cuenta que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).
Definición
Dos diámetros de una elipse son conjugados si los puntos medios de las cuerdas paralelas a se encuentran en
Del diagrama se desprende lo siguiente:
Dos diámetros de una elipse son conjugados siempre que las tangentes en y sean paralelas a .
Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.
En la ecuación paramétrica para una elipse general dada anteriormente,
cualquier par de puntos pertenece a un diámetro, y el par pertenece a su diámetro conjugado.
Para la representación paramétrica común de la elipse con ecuación se obtiene: Los puntos
(signos: (+,+) o (−,−) )
(signos: (−,+) o (+,−) )
son conjugados y
En el caso de un círculo la última ecuación colapsa a
Teorema de Apolonio sobre diámetros conjugados
Para una elipse con semiejes se cumple lo siguiente: [9] [10]
Sean y sean mitades de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces
.
El triángulo de lados (ver diagrama) tiene un área constante , que también se puede expresar como . es la altura del punto y el ángulo entre los medios diámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (ver sección propiedades métricas) se puede escribir como .
El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la
Prueba
Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica
Los dos puntos están en diámetros conjugados (ver sección anterior). A partir de fórmulas trigonométricas se obtiene y
El área del triángulo generado por es
y del diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces la de . Por lo tanto
Tangentes ortogonales
Para la elipse, los puntos de intersección de las tangentes ortogonales se encuentran en el círculo .
Este círculo se llama círculo ortóptico o director de la elipse (no debe confundirse con la directriz circular definida anteriormente).
Dibujar elipses
Las elipses aparecen en geometría descriptiva como imágenes (proyección paralela o central) de círculos. Existen varias herramientas para dibujar una elipse. Las computadoras proporcionan el método más rápido y preciso para dibujar una elipse. Sin embargo, existen herramientas técnicas ( elipsógrafos ) para dibujar una elipse sin una computadora. El principio era conocido por el matemático del siglo V Proclo , y la herramienta ahora conocida como traba elíptica fue inventada por Leonardo da Vinci . [11]
Si no se dispone de un elipsógrafo, se puede dibujar una elipse utilizando una aproximación de los cuatro círculos osculadores en los vértices.
Para cualquier método descrito a continuación, es necesario conocer los ejes y semiejes (o equivalentemente: los focos y el semieje mayor). Si esta presunción no se cumple, se deben conocer al menos dos diámetros conjugados. Con la ayuda de la construcción de Rytz se pueden recuperar los ejes y semiejes.
Construcción del punto de La Hire
La siguiente construcción de puntos individuales de una elipse se debe a de La Hire . [12] Se basa en la representación paramétrica estándar de una elipse:
Dibuja los dos círculos centrados en el centro de la elipse con los radios y los ejes de la elipse.
Dibuje una línea a través del centro , que interseca los dos círculos en los puntos y , respectivamente.
Dibuje una línea que pase por ella paralela al eje menor y una línea que pase por ella paralela al eje mayor. Estas líneas se encuentran en un punto de la elipse (vea el diagrama).
Repita los pasos (2) y (3) con diferentes líneas a través del centro.
El método de La Hire
Animación del método
Método de alfileres y cuerdas
La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos de modo que la suma de las distancias a los focos sea constante conduce a un método para dibujar una elipse utilizando dos chinchetas , un trozo de cuerda y un lápiz. En este método, se clavan las chinchetas en el papel en dos puntos, que se convierten en los focos de la elipse. Se ata una cuerda en cada extremo a las dos chinchetas; su longitud después de atarla es de . La punta del lápiz traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. Utilizando dos clavijas y una cuerda, los jardineros utilizan este procedimiento para delinear un macizo de flores elíptico, por lo que se llama la elipse del jardinero . El arquitecto bizantino Antemio de Tralles ( c. 600 ) describió cómo se podía utilizar este método para construir un reflector elíptico, [13] y fue elaborado en un tratado del siglo IX ahora perdido por Al-Ḥasan ibn Mūsā . [14]
Los dos métodos siguientes se basan en la representación paramétrica (véase § Representación paramétrica estándar , más arriba):
Esta representación se puede modelar técnicamente mediante dos métodos sencillos. En ambos casos se deben conocer el centro, los ejes y los semiejes .
Método 1
El primer método comienza con
una tira de papel de longitud .
El punto en el que se encuentran los semiejes está marcado con . Si la tira se desliza con ambos extremos sobre los ejes de la elipse deseada, entonces el punto traza la elipse. Para la prueba se muestra que el punto tiene la representación paramétrica , donde parámetro es el ángulo de la pendiente de la tira de papel.
Una realización técnica del movimiento de la tira de papel se puede lograr mediante un par de Tusi (ver animación). El dispositivo es capaz de dibujar cualquier elipse con una suma fija , que es el radio del círculo grande. Esta restricción puede ser una desventaja en la vida real. Más flexible es el segundo método de la tira de papel.
Construcción de una elipse: método de tiras de papel 1
Elipses con pareja de Tusi. Dos ejemplos: rojo y cian.
Una variación del método de la tira de papel 1 utiliza la observación de que el punto medio de la tira de papel se mueve en el círculo con centro (de la elipse) y radio . Por lo tanto, la tira de papel se puede cortar en un punto en mitades, conectarlas nuevamente mediante una junta en y el extremo deslizante fijado en el centro (ver diagrama). Después de esta operación, el movimiento de la mitad inalterada de la tira de papel no cambia. [15] Esta variación requiere solo una zapata deslizante.
Variación del método de la tira de papel 1
Animación de la variación del método de la tira de papel 1
Método 2
El segundo método comienza con
una tira de papel de longitud .
Se marca el punto que divide la tira en dos subtiras de longitud y . La tira se coloca sobre los ejes como se describe en el diagrama. Luego, el extremo libre de la tira traza una elipse, mientras que la tira se mueve. Para la prueba, se reconoce que el punto de trazado puede describirse paramétricamente por , donde parámetro es el ángulo de pendiente de la tira de papel.
Este método es la base de varias elipsografías (ver sección a continuación).
De manera similar a la variación del método de tira de papel 1, se puede establecer una variación del método de tira de papel 2 (ver diagrama) cortando la parte entre los ejes en mitades.
Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.
Para la generación de puntos de la elipse se utilizan los lápices en los vértices . Sea un covértice superior de la elipse y .
es el centro del rectángulo . El lado del rectángulo se divide en n segmentos de línea iguales y esta división se proyecta paralela a la diagonal como dirección sobre el segmento de línea y se asigna la división como se muestra en el diagrama. La proyección paralela junto con la inversión de la orientación es parte de la proyección proyectiva entre los lápices en y necesarios. Los puntos de intersección de dos líneas relacionadas cualesquiera y son puntos de la elipse definida de forma única. Con la ayuda de los puntos se pueden determinar los puntos del segundo cuarto de la elipse. Análogamente se obtienen los puntos de la mitad inferior de la elipse.
La generación de Steiner también se puede definir para hipérbolas y parábolas. A veces se la denomina método del paralelogramo porque se pueden utilizar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.
Como hipotrocoide
La elipse es un caso especial de hipotrocoide cuando , como se muestra en la imagen adyacente. El caso especial de un círculo en movimiento con radio dentro de un círculo con radio se denomina par de Tusi .
Ángulos inscritos y forma de tres puntos
Círculos
Un círculo con ecuación está determinado únicamente por tres puntos que no están en una línea. Una forma sencilla de determinar los parámetros es utilizar el teorema del ángulo inscrito para círculos:
Para cuatro puntos (ver diagrama) la siguiente afirmación es verdadera:
Los cuatro puntos están en un círculo si y sólo si los ángulos en y son iguales.
Generalmente los ángulos inscritos se miden en grados o radianes θ , pero en este caso es más conveniente la siguiente medida:
Para medir el ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente:
Teorema del ángulo inscrito para círculos
Para cuatro puntos no más de tres de ellos en una recta, tenemos lo siguiente (ver diagrama):
Los cuatro puntos están en un círculo, si y solo si los ángulos en y son iguales. En términos de la medición de ángulos anterior, esto significa:
Al principio, la medida solo está disponible para cuerdas no paralelas al eje y, pero la fórmula final funciona para cualquier cuerda.
Ecuación del círculo en forma de tres puntos
Como consecuencia, se obtiene una ecuación para el círculo determinado por tres puntos no colineales :
El radio es la distancia entre cualquiera de los tres puntos y el centro.
Elipses
En esta sección se considera la familia de elipses definidas por ecuaciones con una excentricidad fija . Es conveniente utilizar el parámetro:
y escribir la ecuación de la elipse como:
donde q es fijo y varía con los números reales. (Estas elipses tienen sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas: si , el eje mayor es paralelo al eje x ; si , es paralelo al eje y ).
Al igual que un círculo, una elipse está determinada por tres puntos que no están en una línea.
Para esta familia de elipses, se introduce la siguiente medida angular q-análoga , que no es una función de la medida angular habitual θ : [16] [17]
Para medir un ángulo entre dos rectas con ecuaciones se utiliza el cociente:
Teorema del ángulo inscrito para elipses
Dados cuatro puntos , no hay tres de ellos en una línea (ver diagrama).
Los cuatro puntos están en una elipse con ecuación si y solo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medida anterior, es decir, si
En un principio, la medida solo está disponible para cuerdas que no son paralelas al eje y. Pero la fórmula final funciona para cualquier cuerda. La demostración se obtiene a partir de un cálculo sencillo. Para la dirección de la demostración, dado que los puntos están en una elipse, se puede suponer que el centro de la elipse es el origen.
Forma de tres puntos de la ecuación de la elipse
En consecuencia, se obtiene una ecuación para la elipse determinada por tres puntos no colineales :
Por ejemplo, para y se obtiene la forma de tres puntos
y después de la conversión
De manera análoga al caso del círculo, la ecuación se puede escribir más claramente utilizando vectores:
Cualquier elipse puede describirse en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto de la elipse es Si se permite que el punto sea un punto arbitrario diferente del origen, entonces
El punto se asigna a la línea , no al centro de la elipse.
Esta relación entre puntos y líneas es una biyección .
Esta relación entre puntos y líneas generadas por una cónica se denomina relación polo-polar o polaridad . El polo es el punto y el polar la línea.
Mediante el cálculo se pueden confirmar las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la elipse:
Para un punto (polo) de la elipse, la polar es la tangente en ese punto (ver diagrama: ).
Para un polo fuera de la elipse, los puntos de intersección de su polar con la elipse son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan (ver diagrama: ).
Para un punto dentro de la elipse, el polar no tiene ningún punto en común con la elipse (ver diagrama: ).
El punto de intersección de dos polares es el polo de la línea que pasa por sus polos.
Los focos y , respectivamente, y las directrices y , respectivamente, pertenecen a pares de polos y polares. Como son pares polares pares con respecto al círculo , las directrices se pueden construir con compás y regla (véase Geometría inversa ).
También existen relaciones polo-polares para hipérbolas y parábolas.
Propiedades métricas
Todas las propiedades métricas que se indican a continuación se refieren a una elipse con ecuación
a excepción de la sección sobre el área encerrada por una elipse inclinada, donde se dará la forma generalizada de la ecuación ( 1 ).
Área
El área encerrada por una elipse es:
donde y son las longitudes de los semiejes mayor y semieje menor, respectivamente. La fórmula del área es intuitiva: comience con un círculo de radio (por lo que su área es ) y estírelo por un factor para hacer una elipse. Esto escala el área por el mismo factor: [18] Sin embargo, usar el mismo enfoque para la circunferencia sería falaz: compare las integrales y . También es fácil demostrar rigurosamente la fórmula del área usando la integración de la siguiente manera. La ecuación ( 1 ) se puede reescribir como Para esta curva es la mitad superior de la elipse. Entonces, el doble de la integral de sobre el intervalo será el área de la elipse:
La segunda integral es el área de un círculo de radio que es, Entonces
Una elipse definida implícitamente por tiene área
El área también se puede expresar en términos de excentricidad y la longitud del semieje mayor como (obtenido al resolver el aplanamiento y luego calcular el semieje menor).
Hasta ahora hemos tratado con elipses erectas , cuyos ejes mayor y menor son paralelos a los ejes y . Sin embargo, algunas aplicaciones requieren elipses inclinadas . En la óptica de haces de partículas cargadas, por ejemplo, el área encerrada de una elipse erecta o inclinada es una propiedad importante del haz, su emitancia . En este caso, todavía se aplica una fórmula simple, a saber:
donde , son los puntos de corte y , son los valores máximos. Se deduce directamente del teorema de Apolonio.
La circunferencia de la elipse se puede evaluar en términos del uso de la media aritmético-geométrica de Gauss ; [19] este es un método iterativo que converge cuadráticamente (ver aquí para más detalles).
La serie infinita exacta es:
donde es el factorial doble (extendido a números enteros impares negativos de la forma habitual, dando y ).
Esta serie converge, pero al expandirla en términos de James Ivory , [20] Bessel [21] y Kummer [22] derivaron una expresión que converge mucho más rápidamente. Se escribe de manera más concisa en términos del coeficiente binomial con :
Los coeficientes son ligeramente más pequeños (por un factor de ), pero también son numéricamente mucho más pequeños que excepto en y . Para excentricidades menores a 0,5 ( ), el error está en los límites del punto flotante de doble precisión después del término. [23]
Srinivasa Ramanujan dio dos aproximaciones cercanas para la circunferencia en el §16 de "Ecuaciones modulares y aproximaciones a "; [24] son
y
donde tiene el mismo significado que el anterior. Los errores en estas aproximaciones, que se obtuvieron empíricamente, son del orden de y respectivamente.
Longitud del arco
De manera más general, la longitud del arco de una porción de la circunferencia, en función del ángulo subtendido (o las coordenadas x de dos puntos cualesquiera en la mitad superior de la elipse), está dada por una integral elíptica incompleta . La mitad superior de una elipse está parametrizada por
Entonces la longitud del arco desde hasta es:
Esto es equivalente a
donde es la integral elíptica incompleta de segundo tipo con parámetro
Algunos límites inferiores y superiores de la circunferencia de la elipse canónica son [25 ]
Aquí el límite superior es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse, y el límite inferior es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los puntos finales de los ejes mayor y menor.
y el radio de curvatura , ρ = 1/κ, en el punto : El radio de curvatura de una elipse, en función del ángulo θ desde el centro, es: donde e es la excentricidad.
Radio de curvatura en los dos vértices y los centros de curvatura:
Radio de curvatura en los dos covértices y los centros de curvatura: El lugar geométrico de todos los centros de curvatura se denomina evoluta . En el caso de una elipse, la evoluta es un astroide .
En geometría triangular
Las elipses aparecen en la geometría triangular como
Elipse de Steiner : elipse que pasa por los vértices del triángulo con centro en el centroide,
Si la superficie del agua se altera en un foco de un tanque de agua elíptico, las ondas circulares de esa perturbación, después de reflejarse en las paredes, convergen simultáneamente en un único punto: el segundo foco . Esto es consecuencia de que la longitud total del recorrido es la misma a lo largo de cualquier trayectoria de rebote en la pared entre los dos focos.
De manera similar, si se coloca una fuente de luz en un foco de un espejo elíptico , todos los rayos de luz en el plano de la elipse se reflejan en el segundo foco. Dado que ninguna otra curva suave tiene esta propiedad, se puede utilizar como una definición alternativa de una elipse. (En el caso especial de un círculo con una fuente en su centro, toda la luz se reflejaría de vuelta al centro). Si la elipse se gira a lo largo de su eje mayor para producir un espejo elipsoidal (específicamente, un esferoide alargado ), esta propiedad se mantiene para todos los rayos que salen de la fuente. Alternativamente, se puede utilizar un espejo cilíndrico con sección transversal elíptica para enfocar la luz de una lámpara fluorescente lineal a lo largo de una línea del papel; dichos espejos se utilizan en algunos escáneres de documentos .
Las ondas sonoras se reflejan de manera similar, por lo que en una gran sala elíptica una persona que se encuentre en un foco puede escuchar a una persona que se encuentre en el otro foco notablemente bien. El efecto es aún más evidente bajo un techo abovedado con forma de sección de un esferoide alargado. Una sala de este tipo se llama cámara de susurros . El mismo efecto se puede demostrar con dos reflectores con forma de las tapas de los extremos de dicho esferoide, colocados uno frente al otro a la distancia adecuada. Algunos ejemplos son el National Statuary Hall en el Capitolio de los Estados Unidos (donde se dice que John Quincy Adams utilizó esta propiedad para espiar asuntos políticos); el Tabernáculo Mormón en la Manzana del Templo en Salt Lake City , Utah ; en una exposición sobre el sonido en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago ; frente al Auditorio Foellinger de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign ; y también en una cámara lateral del Palacio de Carlos V, en la Alhambra .
En términos más generales, en el problema gravitacional de dos cuerpos , si los dos cuerpos están ligados entre sí (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son elipses similares con el baricentro común siendo uno de los focos de cada elipse. El otro foco de cualquiera de las elipses no tiene significado físico conocido. La órbita de cualquiera de los cuerpos en el marco de referencia del otro también es una elipse, con el otro cuerpo en el mismo foco.
Las órbitas elípticas keplerianas son el resultado de cualquier fuerza de atracción dirigida radialmente cuya intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Por lo tanto, en principio, el movimiento de dos partículas con cargas opuestas en el espacio vacío también sería una elipse. (Sin embargo, esta conclusión ignora las pérdidas debidas a la radiación electromagnética y los efectos cuánticos , que se vuelven significativos cuando las partículas se mueven a alta velocidad).
Para órbitas elípticas , las relaciones útiles que involucran la excentricidad son:
dónde
es el radio en el apoápside , es decir, la distancia más lejana de la órbita al baricentro del sistema, que es un foco de la elipse
es el radio en el periapsis , la distancia más cercana
La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones es también una elipse. Tal es el caso, por ejemplo, de un péndulo largo que puede moverse libremente en dos dimensiones; de una masa unida a un punto fijo mediante un resorte perfectamente elástico ; o de cualquier objeto que se mueva bajo la influencia de una fuerza de atracción que es directamente proporcional a su distancia a un atractor fijo. Sin embargo, a diferencia de las órbitas keplerianas, estas "órbitas armónicas" tienen el centro de atracción en el centro geométrico de la elipse y tienen ecuaciones de movimiento bastante simples.
Visualización de fases
En electrónica , la fase relativa de dos señales sinusoidales se puede comparar introduciéndolas en las entradas verticales y horizontales de un osciloscopio . Si la figura de Lissajous es una elipse, en lugar de una línea recta, las dos señales están desfasadas.
Engranajes elípticos
Dos engranajes no circulares con el mismo contorno elíptico, cada uno de ellos pivotando alrededor de un foco y colocado en el ángulo adecuado, giran suavemente mientras mantienen el contacto en todo momento. Alternativamente, pueden estar conectados por una cadena de eslabones o una correa de distribución , o en el caso de una bicicleta el plato principal puede ser elíptico, o un ovoide similar a una elipse en forma. Dichos engranajes elípticos pueden usarse en equipos mecánicos para producir velocidad angular variable o par a partir de una rotación constante del eje motriz, o en el caso de una bicicleta para permitir una velocidad de rotación de manivela variable con ventaja mecánica inversamente variable .
Los engranajes elípticos de las bicicletas facilitan que la cadena se deslice fuera del piñón al cambiar de marcha. [26]
Un ejemplo de aplicación de un engranaje sería un dispositivo que enrolla hilo en una bobina cónica en una máquina de hilar . La bobina tendría que enrollarse más rápido cuando el hilo está cerca del vértice que cuando está cerca de la base. [27]
En los láseres de estado sólido bombeados por lámpara , se han utilizado reflectores con forma de cilindro elíptico para dirigir la luz desde la lámpara de bombeo (coaxial con un eje focal de elipse) a la varilla del medio activo (coaxial con el segundo eje focal). [28]
En las fuentes de luz EUV producidas por plasma láser que se utilizan en la litografía de microchip , la luz EUV es generada por plasma ubicado en el foco primario de un espejo elipsoide y se recoge en el foco secundario en la entrada de la máquina de litografía. [29]
Estadísticas y finanzas
En estadística , un vector aleatorio bivariado se distribuye elípticamente de manera conjunta si sus contornos de isodensidad (lugares geométricos de valores iguales de la función de densidad) son elipses. El concepto se extiende a un número arbitrario de elementos del vector aleatorio, en cuyo caso, en general, los contornos de isodensidad son elipsoides. Un caso especial es la distribución normal multivariada . Las distribuciones elípticas son importantes en finanzas porque si las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen elípticamente de manera conjunta, entonces todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza; es decir, dos carteras cualesquiera con una media y una varianza idénticas de rendimiento de la cartera tienen distribuciones idénticas de rendimiento de la cartera. [30] [31]
Gráficos de computadora
Dibujar una elipse como primitiva gráfica es algo habitual en las bibliotecas de visualización estándar, como la API QuickDraw de MacIntosh y Direct2D en Windows. Jack Bresenham , de IBM, es famoso por la invención de primitivas de dibujo en 2D, entre las que se incluyen el dibujo de líneas y círculos, utilizando únicamente operaciones rápidas con números enteros, como la suma y la ramificación en bits de acarreo. MLV Pitteway amplió el algoritmo de Bresenham para líneas a cónicas en 1967. [32] Otra generalización eficiente para dibujar elipses fue inventada en 1984 por Jerry Van Aken. [33]
En 1970, Danny Cohen presentó en la conferencia "Computer Graphics 1970" en Inglaterra un algoritmo lineal para dibujar elipses y círculos. En 1971, LB Smith publicó algoritmos similares para todas las secciones cónicas y demostró que tenían buenas propiedades. [34] Estos algoritmos solo necesitan unas pocas multiplicaciones y sumas para calcular cada vector.
Es beneficioso utilizar una formulación paramétrica en gráficos de computadora porque la densidad de puntos es mayor donde hay mayor curvatura. Por lo tanto, el cambio en la pendiente entre cada punto sucesivo es pequeño, lo que reduce la aparente "irregularidad" de la aproximación.
Dibujar con trazados de Bézier
Las curvas de Bézier compuestas también se pueden utilizar para dibujar una elipse con la precisión suficiente, ya que cualquier elipse puede interpretarse como una transformación afín de un círculo. Los métodos de spline utilizados para dibujar un círculo se pueden utilizar para dibujar una elipse, ya que las curvas de Bézier constituyentes se comportan adecuadamente bajo dichas transformaciones.
Teoría de la optimización
A veces resulta útil hallar la elipse mínima que delimita un conjunto de puntos. El método del elipsoide resulta muy útil para resolver este problema.
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Enlaces externos
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