n-elipse

Ejemplos de 3-elipses para tres focos dados. La progresión de las distancias no es lineal.

En geometría , la $n$ -elipse es una generalización de la elipse que permite más de dos focos . ^[1] $Las n$ -elipse tienen otros muchos nombres, entre ellos elipse multifocal , ^[2] polielipse , ^[3] óvulo , ^[4] $k$ -elipse , ^[5] y Tschirnhaus'sche Eikurve (en honor a Ehrenfried Walther von Tschirnhaus ). Fueron investigadas por primera vez por James Clerk Maxwell en 1846. ^[6]

Dados $n$ focos $(u i, v i)$ en un plano, una $n$ -elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los $n$ focos es una constante $d$ . En fórmulas, este es el conjunto

\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.

La elipse 1 es el círculo y la elipse 2 es la elipse clásica. Ambas son curvas algebraicas de grado 2.

Para cualquier número $n$ de focos, la $n$ -elipse es una curva cerrada y convexa . ^[2]^{: (p. 90)} La curva es suave a menos que pase por un foco. ^[5]^{: p.7}

La n -elipse es en general un subconjunto de los puntos que satisfacen una ecuación algebraica particular . ^[5]^{: Figs. 2 y 4, p. 7} Si n es impar , el grado algebraico de la curva es , mientras que si n es par el grado es ^[5]^{: (Teo. 1.1)} ${\estilo de visualización 2^{n}}$ $2^{n}-{\binom {n}{n/2}}.$

Las n -elipses son casos especiales de espectroedros .

Véase también

Referencias

^ J. Sekino (1999): " n -Elipses y el problema de la suma de distancias mínimas", American Mathematical Monthly 106 #3 (marzo de 1999), 193–202. MR 1682340; Zbl 986.51040.
^ ab Erdős, Paul ; Vincze, István (1982). "Sobre la aproximación de curvas planas cerradas y convexas mediante elipses multifocales" (PDF) . Journal of Applied Probability . 19 : 89–96. doi :10.2307/3213552. JSTOR 3213552. S2CID 17166889. Archivado desde el original (PDF) el 28 de septiembre de 2016 . Consultado el 22 de febrero de 2015 .
^ ZA Melzak y JS Forsyth (1977): "Policónica 1. Polielipses y optimización", Q. of Appl. Math. , páginas 239–255, 1977.
^ PV Sahadevan (1987): "La teoría de la curva de huevo: una nueva curva con tres puntos focales", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología 18 (1987), 29-39. MR 872599; Zbl 613.51030.
^ abcd J. Nie, PA Parrilo, B. Sturmfels: "J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Representación semidefinida de la elipse k", en Algoritmos en geometría algebraica, IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, Nueva York, 2008, págs. 117-132
^ James Clerk Maxwell (1846): "Artículo sobre la descripción de curvas ovaladas, febrero de 1846, de The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862" (Las cartas y artículos científicos de James Clerk Maxwell: 1846-1862)

Lectura adicional

PL Rosin: “Sobre la construcción de óvalos”
B. Sturmfels: "La geometría de la programación semidefinida", págs. 9-16.