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Función inversa

Una función f y su inversa f  −1 . Como f asigna a a 3, la inversa f  −1 asigna 3 a su vez a a .

En matemáticas , la función inversa de una función f (también llamada inversa de f ) es una función que deshace la operación de f . La inversa de f existe si y solo si f es biyectiva , y si existe, se denota por

Para una función , su inversa admite una descripción explícita: envía cada elemento al único elemento tal que f ( x ) = y .

Como ejemplo, considere la función de valor real de una variable real dada por f ( x ) = 5 x − 7 . Se puede pensar en f como la función que multiplica su entrada por 5 y luego resta 7 del resultado. Para deshacer esto, se suma 7 a la entrada y luego se divide el resultado por 5. Por lo tanto, la inversa de f es la función definida por

Definiciones

Si f asigna X a Y , entonces f  −1 asigna Y nuevamente a X .

Sea f una función cuyo dominio es el conjunto X , y cuyo codominio es el conjunto Y . Entonces f es invertible si existe una función g de Y a X tal que para todos y para todos . [1]

Si f es invertible, entonces hay exactamente una función g que satisface esta propiedad. La función g se denomina inversa de f y suele denotarse como f  −1 , una notación introducida por John Frederick William Herschel en 1813. [2] [3] [4] [5] [6] [nb 1]

La función f es invertible si y solo si es biyectiva. Esto se debe a que la condición para todos implica que f es inyectiva y la condición para todos implica que f es sobreyectiva .

La función inversa f  −1 a f se puede describir explícitamente como la función

.

Inversas y composición

Recordemos que si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces

, para todos y para cada uno .

Utilizando la composición de funciones , esta afirmación puede reescribirse en las siguientes ecuaciones entre funciones:

y

donde id X es la función identidad en el conjunto X ; es decir, la función que deja su argumento inalterado. En teoría de categorías , esta afirmación se utiliza como definición de un morfismo inverso .

Considerar la composición de funciones ayuda a entender la notación f  −1 . Componer repetidamente una función f : XX consigo misma se llama iteración . Si f se aplica n veces, comenzando con el valor x , entonces esto se escribe como f n ( x ) ; entonces f  2 ( x ) = f ( f ( x )) , etc. Dado que f  −1 ( f ( x )) = x , componer f  −1 y f n produce f n −1 , "deshaciendo" el efecto de una aplicación de f .

Notación

Si bien la notación f  −1 ( x ) puede malinterpretarse, [1] ( f ( x )) −1 ciertamente denota el inverso multiplicativo de f ( x ) y no tiene nada que ver con la función inversa de f . [6] La notación podría usarse para la función inversa para evitar ambigüedad con el inverso multiplicativo . [7]

De acuerdo con la notación general, algunos autores ingleses usan expresiones como sin −1 ( x ) para denotar la inversa de la función seno aplicada a x (en realidad una inversa parcial; ver abajo). [8] [6] Otros autores creen que esto puede confundirse con la notación para la inversa multiplicativa de sin ( x ) , que puede denotarse como (sin ( x )) −1 . [6] Para evitar cualquier confusión, una función trigonométrica inversa a menudo se indica con el prefijo " arc " (del latín arcus ). [9] [10] Por ejemplo, la inversa de la función seno se suele llamar función arcoseno , escrita como arcsin ( x ) . [9] [10] De manera similar, la inversa de una función hiperbólica se indica con el prefijo " ar " (del latín ārea ). [10] Por ejemplo, la inversa de la función seno hiperbólica se suele escribir como arsinh ( x ) . [10] Las expresiones como sin −1 ( x ) pueden ser útiles para distinguir la inversa multivaluada de la inversa parcial: . Otras funciones especiales inversas a veces se anteponen con el prefijo "inv", si se debe evitar la ambigüedad de la notación f  −1 . [11] [10]

Ejemplos

Funciones de cuadratura y raíz cuadrada

La función f : R → [0,∞) dada por f ( x ) = x 2 no es inyectiva porque para todo . Por lo tanto, f no es invertible.

Si el dominio de la función está restringido a los reales no negativos, es decir, tomamos la función con la misma regla que antes, entonces la función es biyectiva y, por lo tanto, invertible. [12] La función inversa aquí se llama función raíz cuadrada (positiva) y se denota por .

Funciones inversas estándar

La siguiente tabla muestra varias funciones estándar y sus inversas:

Fórmula para la inversa

Muchas funciones dadas por fórmulas algebraicas poseen una fórmula para su inversa. Esto se debe a que la inversa de una función invertible tiene una descripción explícita como

.

Esto permite determinar fácilmente las inversas de muchas funciones que se dan mediante fórmulas algebraicas. Por ejemplo, si f es la función

Entonces, para determinar un número real y , se debe encontrar el único número real x tal que (2 x + 8) 3 = y . Esta ecuación se puede resolver:

Por lo tanto, la función inversa f  −1 viene dada por la fórmula

A veces, la inversa de una función no se puede expresar mediante una fórmula de forma cerrada . Por ejemplo, si f es la función

Entonces f es una biyección y, por lo tanto, posee una función inversa f  −1 . La fórmula para esta inversa tiene una expresión como suma infinita:

Propiedades

Dado que una función es un tipo especial de relación binaria , muchas de las propiedades de una función inversa corresponden a propiedades de relaciones inversas .

Unicidad

Si existe una función inversa para una función dada f , entonces es única. [13] Esto se deduce porque la función inversa debe ser la relación inversa, que está completamente determinada por f .

Simetría

Existe una simetría entre una función y su inversa. En concreto, si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces su inversa f  −1 tiene dominio Y e imagen X , y la inversa de f  −1 es la función original f . En símbolos, para las funciones f : XY y f −1 : YX , [13]

y

Esta afirmación es una consecuencia de la implicación de que para que f sea invertible debe ser biyectiva. La naturaleza involutiva de la inversa puede expresarse de manera concisa mediante [14]

La inversa de g  ∘  f es f  −1  ∘  g  −1 .

La inversa de una composición de funciones está dada por [15]

Observe que el orden de g y f se han invertido; para deshacer f seguido de g , primero debemos deshacer g y luego deshacer f .

Por ejemplo, sea f ( x ) = 3 x y sea g ( x ) = x + 5 . Entonces la composición g  ∘  f es la función que primero multiplica por tres y luego suma cinco,

Para revertir este proceso, primero debemos restar cinco y luego dividir por tres.

Esta es la composición ( f  −1  ∘  g  −1 )( x ) .

Autoinversos

Si X es un conjunto, entonces la función identidad en X es su propia inversa:

De manera más general, una función f  : XX es igual a su propia inversa, si y solo si la composición f  ∘  f es igual a id X . Tal función se llama involución .

Gráfica de la inversa

Las gráficas de y = f ( x ) y y = f  −1 ( x ) . La línea punteada es y = x .

Si f es invertible, entonces la gráfica de la función

es lo mismo que la gráfica de la ecuación

Esta ecuación es idéntica a la ecuación y = f ( x ) que define el gráfico de f , excepto que se han invertido los papeles de x e y . Por lo tanto, el gráfico de f  −1 se puede obtener a partir del gráfico de f intercambiando las posiciones de los ejes x e y . Esto es equivalente a reflejar el gráfico a través de la línea y = x . [16] [1]

Inversas y derivadas

Por el teorema de la función inversa , una función continua de una sola variable (donde ) es invertible en su rango (imagen) si y solo si es estrictamente creciente o decreciente (sin máximos o mínimos locales ). Por ejemplo, la función

es invertible, ya que la derivada f′ ( x ) = 3 x 2 + 1 es siempre positiva.

Si la función f es diferenciable en un intervalo I y f′ ( x ) ≠ 0 para cada xI , entonces la inversa f  −1 es diferenciable en f ( I ) . [17] Si y = f ( x ) , la derivada de la inversa está dada por el teorema de la función inversa,

Usando la notación de Leibniz la fórmula anterior se puede escribir como

Este resultado se desprende de la regla de la cadena (véase el artículo sobre funciones inversas y diferenciación ).

El teorema de la función inversa se puede generalizar a funciones de varias variables. En concreto, una función multivariable continuamente diferenciable f : R nR n es invertible en un entorno de un punto p siempre que la matriz jacobiana de f en p sea invertible . En este caso, la matriz jacobiana de f  −1 en f ( p ) es la matriz inversa de la matriz jacobiana de f en p .

Ejemplos del mundo real

Generalizaciones

Inversas parciales

La raíz cuadrada de x es una inversa parcial de f ( x ) = x 2 .

Incluso si una función f no es biunívoca, es posible definir una inversa parcial de f restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función

no es uno a uno, ya que x 2 = (− x ) 2 . Sin embargo, la función se vuelve uno a uno si la restringimos al dominio x ≥ 0 , en cuyo caso

(Si en cambio restringimos al dominio x ≤ 0 , entonces la inversa es el negativo de la raíz cuadrada de y ). Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si nos conformamos con que la inversa sea una función multivalor :

La inversa de esta función cúbica tiene tres ramas.

A veces, esta inversa multivaluada se denomina inversa completa de f , y las porciones (como x y − x ) se denominan ramas . La rama más importante de una función multivaluada (por ejemplo, la raíz cuadrada positiva) se denomina rama principal , y su valor en y se denomina valor principal de f  −1 ( y ) .

Para una función continua en la recta real, se requiere una rama entre cada par de extremos locales . Por ejemplo, la inversa de una función cúbica con un máximo local y un mínimo local tiene tres ramas (ver la imagen adyacente).

El arcoseno es una inversa parcial de la función seno .

Estas consideraciones son particularmente importantes para definir las inversas de las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno no es biunívoca, ya que

para cada real x (y más generalmente sin( x + 2 π n ) = sin( x ) para cada entero n ). Sin embargo, el seno es uno a uno en el intervalo [− π/2 ,  π/2 ] , y la inversa parcial correspondiente se llama arcoseno . Esta se considera la rama principal del seno inverso, por lo que el valor principal del seno inverso siempre está entre −π/2 y π/2 . La siguiente tabla describe la rama principal de cada función trigonométrica inversa: [19]

Inversas izquierda y derecha

La composición de funciones de la izquierda y de la derecha no tiene por qué coincidir. En general, las condiciones

  1. "Existe g tal que g ( f ( x ))= x " y
  2. "Existe g tal que f ( g ( x ))= x "

implican diferentes propiedades de f . Por ejemplo, sea f : R[0, ∞) la función de cuadratura, tal que f ( x ) = x 2 para todo x en R , y sea g : [0, ∞)R la función de raíz cuadrada, tal que g ( x ) = x para todo x ≥ 0 . Entonces f ( g ( x )) = x para todo x en [0, ∞) ; es decir, g es una inversa derecha de f . Sin embargo, g no es una inversa izquierda de f , ya que, p. ej., g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Inversas izquierdas

Si f : XY , una inversa izquierda para f (o retracción de f ) es una función g : YX tal que al componer f con g desde la izquierda se obtiene la función identidad [20] Es decir, la función g satisface la regla

Si f ( x )= y , entonces g ( y )= x .

La función g debe ser igual a la inversa de f en la imagen de f , pero puede tomar cualquier valor para elementos de Y que no estén en la imagen.

Una función f con dominio no vacío es inyectiva si y sólo si tiene una inversa izquierda. [21] Una prueba elemental es la siguiente:

En matemáticas clásicas, toda función inyectiva f con un dominio no vacío necesariamente tiene una inversa izquierda; sin embargo, esto puede fallar en matemáticas constructivas . Por ejemplo, una inversa izquierda de la inclusión {0,1} → R del conjunto de dos elementos en los números reales viola la indecomponibilidad al dar una retracción de la línea real al conjunto {0,1} . [22]

Inversas derechas

Ejemplo de inversa derecha con función sobreyectiva no inyectiva

Una inversa derecha para f (o sección de f ) es una función h : YX tal que

Es decir, la función h satisface la regla

Si , entonces

Por lo tanto, h ( y ) puede ser cualquiera de los elementos de X que se asignan a y bajo f .

Una función f tiene una inversa derecha si y sólo si es sobreyectiva (aunque construir dicha inversa en general requiere el axioma de elección ).

Si h es la inversa derecha de f , entonces f es sobreyectiva. Para todo , existe tal que .
Si f es sobreyectiva, f tiene una inversa derecha h , que puede construirse de la siguiente manera: para todo , hay al menos uno tal que (porque f es sobreyectiva), por lo que elegimos uno como el valor de h ( y ) . [ cita requerida ]

Inversas de dos lados

Una función inversa que sea tanto inversa izquierda como inversa derecha ( inversa bilateral ), si existe, debe ser única. De hecho, si una función tiene una inversa izquierda y una inversa derecha, ambas son la misma inversa bilateral, por lo que se la puede llamar inversa .

Si es una inversa izquierda y una inversa derecha de , para todo , .

Una función tiene una inversa bilateral si y sólo si es biyectiva.

Una función biyectiva f es inyectiva, por lo que tiene una inversa izquierda (si f es la función vacía, es su propia inversa izquierda). f es sobreyectiva, por lo que tiene una inversa derecha. Por lo anterior, la inversa izquierda y la derecha son iguales.
Si f tiene una inversa bilateral g , entonces g es una inversa izquierda y una inversa derecha de f , por lo que f es inyectiva y sobreyectiva.

Preimágenes

Si f : XY es cualquier función (no necesariamente invertible), la preimagen (o imagen inversa ) de un elemento yY se define como el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a y :

La preimagen de y puede considerarse como la imagen de y bajo la inversa completa (multivaluada) de la función f .

De manera similar, si S es cualquier subconjunto de Y , la preimagen de S , denotada , es el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a S :

Por ejemplo, tomemos la función f : RR ; xx 2 . Esta función no es invertible ya que no es biyectiva, pero se pueden definir preimágenes para subconjuntos del codominio, por ejemplo

.

La preimagen de un solo elemento yY –un conjunto singleton { y }  – a veces se denomina fibra de y . Cuando Y es el conjunto de números reales, es común referirse a f  −1 ({ y }) como un conjunto de nivel .

Véase también

Notas

  1. ^ No debe confundirse con la exponenciación numérica, como tomar el inverso multiplicativo de un número real distinto de cero.

Referencias

  1. ^ abc Weisstein, Eric W. "Función inversa". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
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  3. ^ Herschel, John Frederick William (1820). «Parte III. Sección I. Ejemplos del método directo de diferencias». Una colección de ejemplos de las aplicaciones del cálculo de diferencias finitas . Cambridge, Reino Unido: Impreso por J. Smith, vendido por J. Deighton & sons. págs. 1–13 [5–6]. Archivado desde el original el 2020-08-04 . Consultado el 2020-08-04 .[1] (NB. Aquí, Herschel se refiere a su trabajo de 1813 y menciona el trabajo más antiguo de Hans Heinrich Bürmann ).
  4. ^ Peirce, Benjamin (1852). Curvas, funciones y fuerzas . Vol. I (nueva ed.). Boston, EE. UU., pág. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  5. ^ Peano, Giuseppe (1903). Formulario matemático (en francés). vol. IV. pag. 229.
  6. ^ abcd Cajori, Florian (1952) [marzo de 1929]. "§472. La potencia de un logaritmo / §473. Logaritmos iterados / §533. Notación de John Herschel para funciones inversas / §535. Persistencia de notaciones rivales para funciones inversas / §537. Potencias de funciones trigonométricas". Una historia de las notaciones matemáticas. Vol. 2 (3.ª edición corregida de la edición de 1929, 2.ª ed.). Chicago, EE. UU.: Open Court Publishing Company . pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN. 978-1-60206-714-1. Consultado el 18 de enero de 2016. [...] §473. Logaritmos iterados [...] Notamos aquí el simbolismo usado por Pringsheim y Molk en su artículo conjunto en la Encyclopédie : " 2 log b a = log b (log b a ), ..., k +1 log b a = log b ( k log b a )." [...] §533. La notación de John Herschel para funciones inversas, sen −1 x , tan −1 x , etc., fue publicada por él en las Philosophical Transactions de Londres , para el año 1813. Dice (p. 10): "Esta notación cos. −1 e no debe entenderse como 1/cos.  e , sino lo que usualmente se escribe así, arc (cos.= e )". Admite que algunos autores usan cos. m A para (cos. A ) m , pero justifica su propia notación señalando que dado que d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x significa dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , deberíamos escribir sen. 2 x para sen. sen. x , log. 3 x para log. log. log. x . Así como escribimos d n V=∫ n V, podemos escribir de manera similar sen. −1 x =arc (sen.= x ), log. −1 x .=c ​​x . Algunos años después, Herschel explicó que en 1813 utilizó f n ( x ), f n ( x ), sen. −1 x , etc., "como supuso entonces por primera vez. Sin embargo, en estos pocos meses ha llegado a su conocimiento el trabajo de un analista alemán, Burmann , en el que se explica lo mismo en una fecha considerablemente anterior. Él [Burmann], sin embargo, no parece haber notado la conveniencia de aplicar esta idea a las funciones inversas tan −1, etc., ni parece en absoluto consciente del cálculo inverso de funciones al que da lugar". Herschel añade: "La simetría de esta notación y, sobre todo, las nuevas y más amplias perspectivas que abre sobre la naturaleza de las operaciones analíticas parecen autorizar su adopción universal". [a] [...] §535. Persistencia de notaciones rivales para funciones inversas. — [...] El uso de la notación de Herschel sufrió un ligero cambio en los libros de Benjamin Peirce , para eliminar la principal objeción a ellos; Peirce escribió: "cos [−1] x ", "log [−1] x ". [ b] [...] §537. Potencias de funciones trigonométricas. —Se han utilizado tres notaciones principales para denotar, por ejemplo, el cuadrado de sen x , a saber, (sen x ) 2 , sen x 2 , sen 2 x . La notación predominante en la actualidad es sen 2 x , aunque la primera es la menos propensa a ser malinterpretada. En el caso de sen 2 x se sugieren dos interpretaciones: primero, sen x · sen x ; segundo, [c] sen (sen x ). Como las funciones del último tipo no se presentan ordinariamente, el peligro de mala interpretación es mucho menor que en el caso de log 2 x , donde log x · log x y log (log x ) son de aparición frecuente en el análisis. [...] La notación sen n x para (sen x ) n ha sido ampliamente utilizada y ahora es la que prevalece. [...](xviii+367+1 páginas incluyendo 1 página de adenda) (NB. ISBN y enlace para reimpresión de la 2.ª edición por Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013.)
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Bibliografía

Lectura adicional

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