carta de smith

Calculadora gráfica para ingenieros eléctricos.

El diagrama de Smith (a veces también llamado diagrama de Smith , diagrama de Mizuhashi (水橋チャート), diagrama de Mizuhashi-Smith (水橋スミスチャート), ^{[1] [2] [3]} diagrama de Volpert-Smith ( Диаграмма Вольперта—Смита ) ^{[ 4] [ 5]} o tabla de Mizuhashi–Volpert–Smith ), es una calculadora gráfica o nomograma diseñada para ingenieros eléctricos y electrónicos especializados en ingeniería de radiofrecuencia (RF) para ayudar a resolver problemas con líneas de transmisión y circuitos coincidentes . ^{[6] [7] [8] [9] [10]}

Fue propuesto de forma independiente ^{[11] [4] [12] [5]} por Tōsaku Mizuhashi (水橋東作) en 1937, ^[13] y por Amiel R. Volpert  [ru] ( Амиэ́ль Р. Во́льперт ) ^{[14] [4 ]} y Phillip H. Smith en 1939. ^{[15] [16]} Comenzando con un diagrama rectangular, Smith había desarrollado un gráfico de coordenadas polares especial en 1936, que, con el aporte de sus colegas Enoch B. Ferrell y James W. McRae , que estaban familiarizados con los mapeos conformes , fue reelaborado en su forma final a principios de 1937, que finalmente se publicó en enero de 1939. ^{[15] [9] [17]} Si bien Smith lo había llamado originalmente un " gráfico de líneas de transmisión " ^{[15] [ 16]} y otros autores utilizaron por primera vez nombres como " gráfico de reflexión ", " diagrama circular de impedancia ", " gráfico de inmitancia " o " gráfico de plano Z ", ^[9] los primeros usuarios en el Laboratorio de Radiación del MIT comenzaron a referirse a él simplemente como " gráfico de Smith " en la década de 1940, ^{[9] [17]} un nombre generalmente aceptado en el mundo occidental en 1950. ^{[18] [19]}

El gráfico de Smith se puede utilizar para mostrar simultáneamente múltiples parámetros, incluidas impedancias , admitancias , coeficientes de reflexión , parámetros de dispersión , círculos de figuras de ruido , contornos de ganancia constante y regiones para estabilidad incondicional . ^{[20] [21] : 93–103} El diagrama de Smith se utiliza con mayor frecuencia en o dentro de la región del radio unitario . Sin embargo, el resto sigue siendo matemáticamente relevante y se utiliza, por ejemplo, en el diseño de osciladores y en el análisis de estabilidad . ^{[21] : 98–101} Si bien el uso de diagramas de Smith en papel para resolver las complejas matemáticas involucradas en problemas de correspondencia ha sido reemplazado en gran medida por métodos basados ​​en software, el diagrama de Smith sigue siendo un método muy útil para mostrar ^[22] cómo se comportan los parámetros de RF. en una o más frecuencias, una alternativa al uso de información tabular . Por lo tanto, la mayoría del software de análisis de circuitos de RF incluye una opción de gráfico de Smith para mostrar los resultados y todos los instrumentos de medición de impedancia, excepto los más simples, pueden representar los resultados medidos en una pantalla de gráfico de Smith. ^[23] ${\displaystyle S_{nn}\,}$

Un gráfico de impedancia de Smith (sin datos trazados)

Descripción general

Un analizador de redes ( HP 8720A) que muestra un gráfico de Smith.

La carta de Smith es una transformación matemática del plano complejo cartesiano bidimensional. Los números complejos con partes reales positivas se asignan dentro del círculo. Aquellos con partes reales negativas se mapean fuera del círculo. Si tratamos únicamente con impedancias con componentes resistivos no negativos, nuestro interés se centra en el área interior del círculo. La transformación, para un diagrama de Smith de impedancia, es:

${\displaystyle \Gamma ={\frac {Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}}={\frac {z-1}{z+1}},}$

donde , es decir, la impedancia compleja, normalizada por la impedancia de referencia , El diagrama de impedancia de Smith es entonces un diagrama de Argand de las impedancias así transformadas. Las impedancias con componentes resistivos no negativos aparecerán dentro de un círculo con radio unitario; el origen corresponderá a la impedancia de referencia, . ${\displaystyle z={\frac {Z}{Z_{0}}},}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$

El diagrama de Smith se traza en el plano complejo del coeficiente de reflexión en dos dimensiones y se puede escalar en impedancia normalizada (la más común), admitancia normalizada o ambas, utilizando diferentes colores para distinguirlas. Estos se conocen a menudo como gráficos de Smith Z, Y e YZ, respectivamente. ^{[21] : 97} El escalado normalizado permite utilizar el gráfico de Smith para problemas que involucran cualquier característica o impedancia del sistema que esté representada por el punto central del gráfico. La impedancia de normalización más utilizada es de 50  ohmios . Una vez que se obtiene una respuesta a través de las construcciones gráficas que se describen a continuación, es sencillo convertir entre la impedancia normalizada (o admitancia normalizada) y el valor no normalizado correspondiente multiplicando por la impedancia característica (admitancia). Los coeficientes de reflexión se pueden leer directamente en el gráfico, ya que son parámetros sin unidades.

La carta de Smith tiene una escala alrededor de su circunferencia o periferia que está graduada en longitudes de onda y grados . La escala de longitudes de onda se utiliza en problemas de componentes distribuidos y representa la distancia medida a lo largo de la línea de transmisión conectada entre el generador o fuente y la carga hasta el punto considerado. La escala de grados representa el ángulo del coeficiente de reflexión del voltaje en ese punto. El diagrama de Smith también se puede utilizar para problemas de análisis y coincidencia de elementos agrupados .

El uso del diagrama de Smith y la interpretación de los resultados obtenidos al utilizarlo requiere una buena comprensión de la teoría de circuitos de CA y de la teoría de líneas de transmisión, las cuales son requisitos previos para los ingenieros de RF.

Como las impedancias y admitancias cambian con la frecuencia, los problemas que utilizan el diagrama de Smith solo se pueden resolver manualmente utilizando una frecuencia a la vez, representando el resultado mediante un punto . Esto suele ser adecuado para aplicaciones de banda estrecha (normalmente hasta aproximadamente un 5 % a un 10 % de ancho de banda ), pero para anchos de banda más amplios suele ser necesario aplicar técnicas de gráficos de Smith en más de una frecuencia en toda la banda de frecuencia operativa. Siempre que las frecuencias estén lo suficientemente cerca, los puntos resultantes del gráfico de Smith pueden unirse mediante líneas rectas para crear un lugar geométrico .

Se puede utilizar un lugar geométrico de puntos en un diagrama de Smith que cubra un rango de frecuencias para representar visualmente:

• qué tan capacitiva o inductiva es una carga en todo el rango de frecuencia
• qué tan difícil puede ser la coincidencia en varias frecuencias
• qué tan bien coincide un componente en particular.

La precisión del gráfico de Smith se reduce para problemas que involucran un lugar grande de impedancias o admitancias, aunque la escala se puede ampliar para áreas individuales para acomodarlas.

Base matemática

Uso más básico de una tabla de impedancia de Smith. Una onda viaja por una línea de transmisión de impedancia característica Z ₀ , terminada en una carga con impedancia Z _L e impedancia normalizada z = Z _L / Z ₀ . Hay una reflexión de señal con coeficiente Γ. Cada punto del gráfico de Smith representa simultáneamente un valor de z (abajo a la izquierda) y el valor correspondiente de Γ (abajo a la derecha), relacionados por z =(1 + Γ)/(1 − Γ).

Impedancia y admitancia reales y normalizadas.

Se puede considerar universalmente que una línea de transmisión con una impedancia característica de tiene una admitancia característica de donde ${\displaystyle Z_{0}\,}$ ${\displaystyle Y_{0}\,}$

${\displaystyle Y_{0}={\frac {1}{Z_{0}}}\,}$

Cualquier impedancia, expresada en ohmios, se puede normalizar dividiéndola por la impedancia característica, por lo que la impedancia normalizada usando la minúscula z _T viene dada por ${\displaystyle Z_{\text{T}}\,}$

${\displaystyle z_{\text{T}}={\frac {Z_{\text{T}}}{Z_{0}}}\,}$

De manera similar, para la admitancia normalizada

${\displaystyle y_{\text{T}}={\frac {Y_{\text{T}}}{Y_{0}}}\,}$

La unidad SI de impedancia es el ohmio con el símbolo de la letra griega mayúscula omega (Ω) y la unidad SI de admitancia es el siemens con el símbolo de una letra mayúscula S. La impedancia normalizada y la admitancia normalizada no tienen dimensiones . Las impedancias y admitancias reales deben normalizarse antes de usarlas en una tabla de Smith. Una vez obtenido el resultado se podrá desnormalizar para obtener el resultado real.

El diagrama de Smith de impedancia normalizada

Líneas de transmisión terminadas por un circuito abierto (arriba) y un cortocircuito (abajo). Un pulso se refleja perfectamente en ambas terminaciones, pero el signo del voltaje reflejado es opuesto en los dos casos. Los puntos negros representan electrones y las flechas muestran el campo eléctrico.

Usando la teoría de líneas de transmisión, si una línea de transmisión termina en una impedancia ( ) que difiere de su impedancia característica ( ), se formará una onda estacionaria en la línea que comprende la resultante tanto del incidente como del avance ( ) y el r. ondas reflejadas o invertidas ( ). Usando notación exponencial compleja : ${\displaystyle Z_{\text{T}}\,}$ ${\displaystyle Z_{0}\,}$ ${\displaystyle V_{\text{F}}\,}$ ${\displaystyle V_{\text{R}}\,}$

${\displaystyle V_{\text{F}}=A\exp(j\omega t)\exp(+\gamma \ell )~\,}$y

${\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(j\omega t)\exp(-\gamma \ell )\,}$

dónde

${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$es la parte temporal de la onda

${\displaystyle \exp(\pm \gamma \ell )\,}$es la parte espacial de la onda y

${\displaystyle \omega =2\pi f\,}$dónde

${\displaystyle \omega \,}$es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s)

${\displaystyle f\,}$es la frecuencia en hercios (Hz)

${\displaystyle t\,}$es el tiempo en segundos (s)

${\displaystyle A\,}$y son constantes ${\displaystyle B\,}$

${\displaystyle \ell \,}$es la distancia medida a lo largo de la línea de transmisión desde la carga hacia el generador en metros (m)

También

${\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta \,}$es la constante de propagación que tiene unidades SI radianes / metro

dónde

${\displaystyle \alpha \,}$es la constante de atenuación en nepers por metro (Np/m)

${\displaystyle \beta \,}$es la constante de fase en radianes por metro (rad/m)

La carta de Smith se utiliza con una frecuencia ( ) a la vez, y sólo durante un momento ( ) a la vez, por lo que la parte temporal de la fase ( ) es fija. En realidad, todos los términos se multiplican por esto para obtener la fase instantánea , pero es convencional y se entiende omitirla. Por lo tanto, ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$

${\displaystyle V_{\text{F}}=A\exp(+\gamma \ell )\,}$y

${\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(-\gamma \ell )\,}$

donde y son respectivamente las amplitudes de tensión directa e inversa en la carga. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$

La variación del coeficiente de reflexión complejo con la posición a lo largo de la línea.

Mirando hacia una carga a través de una longitud de línea de transmisión sin pérdidas, la impedancia cambia a medida que aumenta, siguiendo el círculo azul. (Esta impedancia se caracteriza por su coeficiente de reflexión ). El círculo azul, centrado dentro del gráfico de impedancia de Smith, a veces se denomina círculo SWR (abreviatura de relación de onda estacionaria constante ). ${\displaystyle \ell \,}$ ${\displaystyle \ell \,}$ ${\displaystyle V_{\text{reflected}}/V_{\text{incident}}}$

El coeficiente de reflexión de voltaje complejo se define como la relación entre la onda reflejada y la onda incidente (o directa). Por lo tanto, ${\displaystyle \Gamma \,}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\text{R}}}{V_{\text{F}}}}={\frac {B\exp(-\gamma \ell )}{A\exp(+\gamma \ell )}}=C\exp(-2\gamma \ell )\,}$

donde C también es una constante.

Para una línea de transmisión uniforme (en la que es constante), el coeficiente de reflexión complejo de una onda estacionaria varía según la posición en la línea. Si la línea tiene pérdida ( no es cero), esto se representa en el gráfico de Smith mediante una trayectoria en espiral . Sin embargo, en la mayoría de los problemas de las cartas de Smith, las pérdidas se pueden suponer insignificantes ( ) y la tarea de resolverlas se simplifica enormemente. Por lo tanto, para el caso sin pérdidas, la expresión del coeficiente de reflexión complejo se convierte en ${\displaystyle \gamma \,}$ ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \alpha =0\,}$

${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}\exp(-2j\beta \ell )\,}$

donde es el coeficiente de reflexión en la carga y es la longitud de la línea desde la carga hasta el lugar donde se mide el coeficiente de reflexión. La constante de fase también se puede escribir como ${\displaystyle \Gamma _{\text{L}}\,}$ ${\displaystyle \ell \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\,}$

¿Dónde es la longitud de onda dentro de la línea de transmisión a la frecuencia de prueba? ${\displaystyle \lambda \,}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}\exp \left({\frac {-4j\pi }{\lambda }}\ell \right)\,}$

Esta ecuación muestra que, para una onda estacionaria, el coeficiente de reflexión complejo y la impedancia se repiten cada media longitud de onda a lo largo de la línea de transmisión. El coeficiente de reflexión complejo generalmente se denomina simplemente coeficiente de reflexión. La escala circunferencial exterior del gráfico de Smith representa la distancia desde el generador hasta la carga escalada en longitudes de onda y, por lo tanto, está escalada de cero a 0,50.

La variación de la impedancia normalizada con la posición a lo largo de la línea.

Si y son el voltaje a través y la corriente que ingresa a la terminación al final de la línea de transmisión respectivamente, entonces ${\displaystyle \,V\,}$ ${\displaystyle \,I\,}$

${\displaystyle V_{\mathsf {F}}+V_{\mathsf {R}}=V\,}$

y

${\displaystyle V_{\mathsf {F}}-V_{\mathsf {R}}=Z_{0}\,I\,}$.

Dividiendo estas ecuaciones y sustituyendo tanto el coeficiente de reflexión de voltaje

${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\mathsf {R}}}{\,V_{\mathsf {F}}\,}}\,}$

y la impedancia normalizada de la terminación representada por la z minúscula , subíndice T

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {V}{\,Z_{0}\,I\,}}\,}$

da el resultado:

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {1+\Gamma }{\,1-\Gamma \,}}\,.}$

Alternativamente, en términos del coeficiente de reflexión

${\displaystyle \Gamma ={\frac {z_{\mathsf {T}}-1}{\,z_{\mathsf {T}}+1\,}}\,}$

Estas son las ecuaciones que se utilizan para construir la gráfica Z Smith. Matemáticamente hablando y están relacionados mediante una transformación de Möbius . ${\displaystyle \,\Gamma \,}$ ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

Ambos y se expresan en números complejos sin unidades. Ambos cambian con la frecuencia, por lo que para cualquier medición en particular, se debe indicar la frecuencia a la que se realizó junto con la impedancia característica. ${\displaystyle \,\Gamma \,}$ ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle \,\Gamma \,}$puede expresarse en magnitud y ángulo en un diagrama polar . Cualquier coeficiente de reflexión real debe tener una magnitud menor o igual a la unidad, por lo que, a la frecuencia de prueba, esto puede expresarse mediante un punto dentro de un círculo de radio unitario. En realidad, la carta de Smith está construida sobre dicho diagrama polar. El escalado del gráfico de Smith está diseñado de tal manera que el coeficiente de reflexión se puede convertir en impedancia normalizada o viceversa. Usando el diagrama de Smith, la impedancia normalizada se puede obtener con precisión apreciable trazando el punto que representa el coeficiente de reflexión, tratando el diagrama de Smith como un diagrama polar y luego leyendo su valor directamente usando la escala característica del diagrama de Smith. Esta técnica es una alternativa gráfica a la sustitución de valores en las ecuaciones.

Sustituyendo la expresión de cómo cambia el coeficiente de reflexión a lo largo de una línea de transmisión sin pérdidas inigualable

${\displaystyle \Gamma ={\frac {B\exp(-\gamma \ell )}{A\exp(\gamma \ell )}}={\frac {B\exp(-j\beta \ell )}{A\exp(j\beta \ell )}}\,}$

para el caso sin pérdidas, en la ecuación de impedancia normalizada en términos de coeficiente de reflexión

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {1+\Gamma }{\,1-\Gamma \,}}\,.}$

y usando la fórmula de Euler

${\displaystyle \exp(j\theta )={\text{cis}}\,\theta =\cos \theta +j\,\sin \theta \,}$

produce la ecuación de la línea de transmisión de la versión de impedancia para el caso libre de pérdidas: ^[24]

${\displaystyle Z_{\mathsf {in}}=Z_{0}{\frac {\,Z_{\mathsf {L}}+j\,Z_{0}\tan(\beta \ell )\,}{\,Z_{0}+j\,Z_{\mathsf {L}}\tan(\beta \ell )\,}}\,}$

¿Dónde se 've' la impedancia en la entrada de una línea de transmisión de longitud libre de pérdidas terminada con una impedancia? ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {in}}\,}$ ${\displaystyle \,\ell \,,}$ ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {L}}\,}$

Se pueden derivar de manera similar versiones de la ecuación de la línea de transmisión para el caso sin pérdida de admitancia y para los casos con pérdida de impedancia y admitancia.

El equivalente gráfico del gráfico de Smith al uso de la ecuación de la línea de transmisión es normalizar para trazar el punto resultante en un gráfico Z de Smith y dibujar un círculo que pase por ese punto centrado en el centro del gráfico de Smith. El camino a lo largo del arco del círculo representa cómo cambia la impedancia mientras se mueve a lo largo de la línea de transmisión. En este caso se debe utilizar el escalamiento circunferencial (longitud de onda), recordando que esta es la longitud de onda dentro de la línea de transmisión y puede diferir de la longitud de onda del espacio libre. ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {L}}\,,}$

Regiones del gráfico Z Smith

Si un diagrama polar se asigna a un sistema de coordenadas cartesianas, es convencional medir ángulos relativos al eje x positivo usando una dirección contraria a las agujas del reloj para ángulos positivos. La magnitud de un número complejo es la longitud de una línea recta trazada desde el origen hasta el punto que lo representa. El diagrama de Smith utiliza la misma convención, observando que, en el plano de impedancia normalizado, el eje x positivo se extiende desde el centro del diagrama de Smith hasta el punto La región sobre el eje x representa impedancias inductivas (partes imaginarias positivas) y la región debajo del eje x representa impedancias capacitivas (partes imaginarias negativas). ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}=1\pm j0\,}$ ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}=\infty \pm j\infty \,.}$

Si la terminación coincide perfectamente, el coeficiente de reflexión será cero, representado efectivamente por un círculo de radio cero o, de hecho, un punto en el centro de la carta de Smith. Si la terminación fuera un circuito abierto perfecto o un cortocircuito, la magnitud del coeficiente de reflexión sería la unidad, toda la potencia se reflejaría y el punto estaría en algún punto del círculo de circunferencia unitario.

Círculos de resistencia normalizada constante y reactancia normalizada constante

La carta de Smith de impedancia normalizada se compone de dos familias de círculos: círculos de resistencia normalizada constante y círculos de reactancia normalizada constante. En el plano complejo del coeficiente de reflexión, la carta de Smith ocupa un círculo de radio unitario centrado en el origen. Por lo tanto, en coordenadas cartesianas el círculo pasaría por los puntos (+1,0) y (−1,0) en el eje x y los puntos (0,+1) y (0,−1) en el eje y . .

Como ambos y son números complejos, en general se pueden escribir como: ${\displaystyle \,\Gamma \,}$ ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}=a+jb\,}$

${\displaystyle ~\Gamma ~=c+jd\,}$

con a , b , cyd números reales .

Sustituyéndolos en la ecuación que relaciona la impedancia normalizada y el coeficiente de reflexión complejo:

${\displaystyle \Gamma ={\frac {z_{\mathsf {T}}-1}{\,z_{\mathsf {T}}+1\,}}={\frac {(a-1)+j\,b}{\,(a+1)+j\,b\,}}\,}$

da el siguiente resultado:

${\displaystyle \Gamma =c+jd=\left[{\frac {a^{2}+b^{2}-1}{\,(a+1)^{2}+b^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {2b}{\,(a+1)^{2}+b^{2}\,}}\right]=\left[1+{\frac {-2(a+1)}{\,(a+1)^{2}+b^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {+2b}{\,(a+1)^{2}+b^{2}\,}}\right]\,.}$

Esta es la ecuación que describe cómo cambia el coeficiente de reflexión complejo con la impedancia normalizada y puede usarse para construir ambas familias de círculos. ^[25]

El gráfico Y Smith

El diagrama Y Smith se construye de manera similar al caso del diagrama Z Smith, pero expresando los valores del coeficiente de reflexión de voltaje en términos de admitancia normalizada en lugar de impedancia normalizada. La admitancia normalizada y _T es el recíproco de la impedancia normalizada z _T , por lo que

${\displaystyle y_{\mathsf {T}}={\frac {1}{z_{\mathsf {T}}}}\,}$

Por lo tanto:

${\displaystyle y_{\mathsf {T}}={\frac {1-\Gamma }{\,1+\Gamma \,}}\,}$

y

${\displaystyle \Gamma ={\frac {1-y_{\mathsf {T}}}{\,1+y_{\mathsf {T}}\,}}\,}$

El gráfico Y Smith aparece como el tipo de impedancia normalizada, pero con los círculos gráficos anidados girados 180°, pero la escala numérica permanece en su misma posición (sin girar) que el gráfico Z.

De manera similar tomando

${\displaystyle y_{\mathsf {T}}={\tilde {o}}+j\,{\tilde {p}}\,}$

de verdad y da un resultado análogo, aunque con más y diferentes signos menos: ${\displaystyle \,{\tilde {o}}\,}$ ${\displaystyle \,{\tilde {p}}\,}$

${\displaystyle \Gamma =c+jd=\left[{\frac {1-{\tilde {o}}^{2}-{\tilde {p}}^{2}}{\,({\tilde {o}}+1)^{2}+{\tilde {p}}^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {-2{\tilde {p}}}{\,({\tilde {o}}+1)^{2}+{\tilde {p}}^{2}\,}}\right]=\left[{\frac {2({\tilde {o}}+1)}{\,({\tilde {o}}+1)^{2}+{\tilde {p}}^{2}\,}}-1\right]+j\left[{\frac {-2{\tilde {p}}}{\,({\tilde {o}}+1)^{2}+{\tilde {p}}^{2}\,}}\right]\,.}$

La región por encima del eje x representa admitancias capacitivas y la región por debajo del eje x representa admitancias inductivas. Las admitancias capacitivas tienen partes imaginarias positivas y las admitancias inductivas tienen partes imaginarias negativas.

Nuevamente, si la terminación coincide perfectamente, el coeficiente de reflexión será cero, representado por un "círculo" de radio cero o, de hecho, un punto en el centro de la carta de Smith. Si la terminación fuera un circuito abierto o en cortocircuito perfecto, la magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje sería la unidad, toda la potencia se reflejaría y el punto estaría en algún punto del círculo de circunferencia unitario de la carta de Smith.

Ejemplos prácticos

Puntos de ejemplo trazados en el gráfico de Smith de impedancia normalizada

Un punto con una magnitud de coeficiente de reflexión de 0,63 y un ángulo de 60° representado en forma polar como , se muestra como el punto P ₁ en la carta de Smith. Para trazar esto, se puede usar la escala de ángulo circunferencial (coeficiente de reflexión) para encontrar la graduación y una regla para dibujar una línea que pase por esta y el centro de la carta de Smith. La longitud de la línea entonces se escalaría a P ₁ suponiendo que el radio del gráfico de Smith sea la unidad. Por ejemplo, si el radio real medido en el papel fuera de 100 mm, la longitud OP ₁ sería de 63 mm. ${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \angle 60^{\circ }\,}$

La siguiente tabla ofrece algunos ejemplos similares de puntos que se trazan en el gráfico Z Smith. Para cada uno, el coeficiente de reflexión se da en forma polar junto con la impedancia normalizada correspondiente en forma rectangular. La conversión se puede leer directamente de la tabla de Smith o mediante sustitución en la ecuación.

Trabajar con los gráficos Z Smith y Y Smith

En circuitos de RF y problemas de coincidencia a veces es más conveniente trabajar con admitancias (que representan conductancias y susceptancias ) y a veces es más conveniente trabajar con impedancias (que representan resistencias y reactancias ). Resolver un problema de coincidencia típico a menudo requerirá varios cambios entre ambos tipos de diagrama de Smith, utilizando impedancia normalizada para elementos en serie y admitancias normalizadas para elementos paralelos . Para estos casos se puede utilizar una tabla de Smith de impedancia y admitancia dual (normalizada). Alternativamente, se puede utilizar un tipo y convertir la escala al otro cuando sea necesario. Para cambiar de impedancia normalizada a admitancia normalizada o viceversa, el punto que representa el valor del coeficiente de reflexión considerado se mueve exactamente 180 grados en el mismo radio. Por ejemplo, el punto P1 en el ejemplo que representa un coeficiente de reflexión tiene una impedancia normalizada de . Para cambiar gráficamente esto al punto de admitancia normalizado equivalente, digamos Q1, se dibuja una línea con una regla desde P1 a través del centro del gráfico de Smith hasta Q1, un radio igual en la dirección opuesta. Esto equivale a mover el punto a lo largo de una trayectoria circular de exactamente 180 grados. Al leer el valor del gráfico de Smith para el primer trimestre y recordar que la escala ahora está en admitancia normalizada, se obtiene . Realizando el cálculo ${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$ ${\displaystyle z_{P}=0.80+j1.40\,}$ ${\displaystyle y_{P}=0.30-j0.54\,}$

${\displaystyle y_{\text{T}}={\frac {1}{z_{\text{T}}}}\,}$

manualmente lo confirmará.

Una vez realizada una transformación de impedancia a admitancia, el escalado cambia a admitancia normalizada hasta que se realiza una transformación posterior a impedancia normalizada.

La siguiente tabla muestra ejemplos de impedancias normalizadas y sus admitancias normalizadas equivalentes obtenidas mediante la rotación del punto 180°. Nuevamente, estos pueden obtenerse mediante cálculo o usando una tabla de Smith como se muestra, convirtiendo entre los planos de impedancia normalizada y admitancias normalizadas.

Valores del coeficiente de reflexión complejo trazados en la tabla de Smith de impedancia normalizada y sus equivalentes en la tabla de Smith de admitancia normalizada

Elección del tipo de gráfico Smith y del tipo de componente

La elección de utilizar el gráfico Z Smith o el gráfico Y Smith para cualquier cálculo en particular depende de cuál sea más conveniente. Las impedancias en serie y las admitancias en paralelo se suman, mientras que las impedancias en paralelo y las admitancias en serie están relacionadas mediante una ecuación recíproca. Si es la impedancia equivalente de impedancias en serie y es la impedancia equivalente de impedancias en paralelo, entonces ${\displaystyle Z_{\text{TS}}}$ ${\displaystyle Z_{\text{TP}}}$

${\displaystyle Z_{\text{TS}}=Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+...\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{TP}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}+...\,}$

Para las admisiones ocurre lo contrario, es decir

${\displaystyle Y_{\text{TP}}=Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+...\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{Y_{\text{TS}}}}={\frac {1}{Y_{1}}}+{\frac {1}{Y_{2}}}+{\frac {1}{Y_{3}}}+...\,}$

Tratar con los recíprocos , especialmente en números complejos, requiere más tiempo y es más propenso a errores que usar la suma lineal. Por lo tanto, en general, la mayoría de los ingenieros de RF trabajan en el plano donde la topografía del circuito admite la suma lineal. La siguiente tabla proporciona las expresiones complejas de impedancia (real y normalizada) y admitancia (real y normalizada) para cada uno de los tres elementos básicos del circuito pasivo : resistencia, inductancia y capacitancia. Usando solo la impedancia característica (o admitancia característica) y la frecuencia de prueba se puede encontrar un circuito equivalente y viceversa.

Uso del diagrama de Smith para resolver problemas de emparejamiento conjugado con componentes distribuidos

La adaptación distribuida se vuelve factible y a veces es necesaria cuando el tamaño físico de los componentes de adaptación es superior a aproximadamente el 5% de una longitud de onda en la frecuencia operativa. Aquí el comportamiento eléctrico de muchos componentes agrupados se vuelve bastante impredecible. Esto ocurre en circuitos de microondas y cuando la alta potencia requiere componentes grandes en transmisiones de onda corta, FM y TV.

Para componentes distribuidos, se deben tener en cuenta los efectos sobre el coeficiente de reflexión y la impedancia del movimiento a lo largo de la línea de transmisión al utilizar la escala circunferencial exterior del gráfico de Smith, que está calibrado en longitudes de onda.

El siguiente ejemplo muestra cómo una línea de transmisión, terminada con una carga arbitraria, puede combinarse en una frecuencia con un componente reactivo en serie o en paralelo, en cada caso conectado en posiciones precisas.

Construcción del gráfico de Smith para algunas coincidencias de líneas de transmisión distribuidas

Supongamos que una línea de transmisión espaciada en aire sin pérdidas de impedancia característica , que opera a una frecuencia de 800 MHz, termina con un circuito que comprende una resistencia de 17,5 en serie con un inductor de 6,5 nanohenrios (6,5 nH). ¿Cómo se puede unir la línea? ${\displaystyle Z_{0}=50\ \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

De la tabla anterior, la reactancia del inductor que forma parte de la terminación a 800 MHz es

${\displaystyle Z_{L}=j\omega L=j2\pi fL=j32.7\ \Omega \,}$

entonces la impedancia de la combinación ( ) está dada por ${\displaystyle Z_{T}}$

${\displaystyle Z_{T}=17.5+j32.7\ \Omega \,}$

y la impedancia normalizada ( ) es ${\displaystyle z_{T}}$

${\displaystyle z_{T}={\frac {Z_{T}}{Z_{0}}}=0.35+j0.65\,}$

Esto se traza en el gráfico Z Smith en el punto P ₂₀ . La línea OP ₂₀ se prolonga hasta la escala de longitud de onda donde se cruza en el punto . Como la línea de transmisión no tiene pérdidas, se dibuja un círculo centrado en el centro del diagrama de Smith a través del punto P ₂₀ para representar la trayectoria del coeficiente de reflexión de magnitud constante debido a la terminación. En el punto P ₂₁ el círculo se cruza con el círculo unitario de resistencia normalizada constante en ${\displaystyle L_{1}=0.098\lambda \,}$

${\displaystyle z_{P21}=1.00+j1.52\,}$.

La extensión de la línea OP ₂₁ corta la escala de longitud de onda en , por lo tanto, la distancia desde la terminación hasta este punto de la línea está dada por ${\displaystyle L_{2}=0.177\lambda \,}$

${\displaystyle L_{2}-L_{1}=0.177\lambda -0.098\lambda =0.079\lambda \,}$

Dado que la línea de transmisión está espaciada por aire, la longitud de onda a 800 MHz en la línea es la misma que en el espacio libre y está dada por

${\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}\,}$

donde es la velocidad de la radiación electromagnética en el espacio libre y es la frecuencia en hercios. El resultado es , haciendo que la posición del componente correspondiente esté a 29,6 mm de la carga. ${\displaystyle c\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle \lambda =375\ \mathrm {mm} \,}$

La coincidencia conjugada para la impedancia en P ₂₁ ( ) es ${\displaystyle z_{match}\,}$

${\displaystyle z_{match}=-j(1.52),\!}$

Como el diagrama de Smith todavía está en el plano de impedancia normalizado, de la tabla anterior se requiere un capacitor en serie donde ${\displaystyle C_{m}\,}$

${\displaystyle z_{match}=-j1.52={\frac {-j}{\omega C_{m}Z_{0}}}={\frac {-j}{2\pi fC_{m}Z_{0}}}\,}$

Reordenando obtenemos

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}}$.

La sustitución de valores conocidos da

${\displaystyle C_{m}=2.6\ \mathrm {pF} \,}$

Para igualar la terminación a 800 MHz, se debe colocar un capacitor en serie de 2,6 pF en serie con la línea de transmisión a una distancia de 29,6 mm de la terminación.

Se podría calcular una coincidencia de derivación alternativa después de realizar una transformación del diagrama de Smith de impedancia normalizada a admitancia normalizada. El punto Q ₂₀ es el equivalente de P ₂₀ pero expresado como admitancia normalizada. Al leer la escala del gráfico de Smith y recordar que ahora se trata de una admitancia normalizada, se obtiene

${\displaystyle y_{Q20}=0.65-j1.20\,}$

(De hecho, este valor no se utiliza). Sin embargo, la extensión de la línea OQ ₂₀ hasta la escala de longitud de onda da . El punto más temprano en el que se podría introducir una coincidencia conjugada en derivación, moviéndose hacia el generador, sería en Q ₂₁ , la misma posición que la P ₂₁ anterior , pero esta vez representando una admitancia normalizada dada por ${\displaystyle L_{3}=0.152\lambda \,}$

${\displaystyle y_{Q21}=1.00+j1.52\,}$.

La distancia a lo largo de la línea de transmisión es en este caso

${\displaystyle L_{2}+L_{3}=0.177\lambda +0.152\lambda =0.329\lambda \,}$

que se convierte a 123 mm.

Se requiere que el componente de emparejamiento conjugado tenga una admitancia normalizada ( ) de ${\displaystyle y_{match}}$

${\displaystyle y_{match}=-j1.52\,}$.

En la tabla se puede ver que una admitancia negativa requeriría un inductor conectado en paralelo con la línea de transmisión. Si su valor es , entonces ${\displaystyle L_{m}\,}$

${\displaystyle -j1.52={\frac {-j}{\omega L_{m}Y_{0}}}={\frac {-jZ_{0}}{2\pi fL_{m}}}\,}$

Esto da el resultado

${\displaystyle L_{m}=6.5\ \mathrm {nH} \,}$

Por lo tanto, una adaptación de derivación inductiva adecuada sería un inductor de 6,5 nH en paralelo con la línea colocada a 123 mm de la carga.

Uso del diagrama de Smith para analizar circuitos de elementos agrupados

El análisis de componentes de elementos agrupados supone que la longitud de onda a la frecuencia de operación es mucho mayor que las dimensiones de los propios componentes. El diagrama de Smith se puede utilizar para analizar dichos circuitos, en cuyo caso los movimientos alrededor del diagrama son generados por las impedancias y admitancias (normalizadas) de los componentes a la frecuencia de operación. En este caso no se utiliza la escala de longitud de onda en la circunferencia del gráfico de Smith. El siguiente circuito se analizará utilizando un diagrama de Smith a una frecuencia de operación de 100 MHz. A esta frecuencia la longitud de onda en el espacio libre es de 3 m. Las dimensiones de los componentes en sí serán del orden de milímetros, por lo que será válida la suposición de componentes agrupados. A pesar de que no existe una línea de transmisión como tal, aún se debe definir una impedancia del sistema para permitir los cálculos de normalización y desnormalización y es una buena opción en este caso . Si hubiera valores de resistencia muy diferentes, presentar un valor más cercano a estos podría ser una mejor opción. ${\displaystyle Z_{0}=50\ \Omega \,}$ ${\displaystyle R_{1}=50\ \Omega \,}$

Un circuito de elementos agrupados que puede analizarse mediante un diagrama de Smith.

Diagrama de Smith con construcción gráfica para el análisis de un circuito agrupado.

El análisis comienza con un gráfico Z Smith que analiza R ₁ únicamente sin otros componentes presentes. Como es lo mismo que la impedancia del sistema, está representada por un punto en el centro del diagrama de Smith. La primera transformación es OP ₁ a lo largo de la línea de resistencia normalizada constante, en este caso la adición de una reactancia normalizada de -j 0,80 , correspondiente a un condensador en serie de 40 pF. Los puntos con sufijo P están en el plano Z y los puntos con sufijo Q están en el plano Y. Por lo tanto, las transformaciones P ₁ a Q ₁ y P ₃ a Q ₃ son del gráfico Z Smith al gráfico Y Smith y la transformación Q ₂ a P ₂ es del gráfico Y Smith al gráfico Z Smith. La siguiente tabla muestra los pasos seguidos para trabajar con los componentes y transformaciones restantes, regresando eventualmente al centro del diagrama de Smith y a una coincidencia perfecta de 50 ohmios. ${\displaystyle R_{1}=50\ \Omega \,}$

Gráfico de Smith 3D

Representación del gráfico de Smith en 3D

Muller et al propusieron en 2011 una generalización de la carta de Smith a una esfera tridimensional, basada en el plano complejo extendido ( esfera de Riemann ⁾ y la geometría inversiva .

El gráfico unifica el diseño del circuito pasivo y activo en círculos pequeños y grandes en la superficie de una esfera unitaria, utilizando un mapa conforme estereográfico del plano generalizado del coeficiente de reflexión. Considerando el punto en el infinito, el espacio de la nueva carta incluye todas las cargas posibles: el polo norte es el punto que coincide perfectamente, mientras que el polo sur es el punto que no coincide en absoluto. ^[26]

El gráfico 3D Smith se ha ampliado aún más fuera de la superficie esférica, para trazar varios parámetros escalares, como retraso de grupo, factores de calidad u orientación de frecuencia. La orientación de la frecuencia visual (en sentido horario o antihorario) permite diferenciar entre negativo/capacitancia y positivo/inductivo cuyos coeficientes de reflexión son los mismos cuando se trazan en un gráfico Smith 2D, pero cuyas orientaciones divergen a medida que aumenta la frecuencia. ^[27]

Ver también

• mosaico binario
• trama de presagio
• Trama de Nyquist
• Diagrama del círculo de Heyland-Ossanna
• cis (matemáticas)
• Transversal (fabricación de instrumentos)

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

• "Gráfico de Excel Smith". excelhero.com . Agosto de 2010.Gráfico Smith interactivo y no comercial que se ve mejor en Excel 2007+.
• "Sim Smith". ae6ty.com .No comercial, disponible para Windows, Mac y Linux. Muchos vídeos tutoriales sobre gráficos de Smith. Sin restricciones de tamaño de circuito. No limitado a circuitos en escalera.
• "Smithv3". fritz.dellsperger.net . Archivado desde el original el 4 de marzo de 2015.Gráfico de Smith comercial y gratuito para Windows
• "Quick Smith". github.com/niyeradori . 2021-11-02.Herramienta educativa Smith Chart gratuita basada en la web disponible en GitHub .
• "Herramienta de gráficos 3D Smith". 3dsmithchart.com .Herramienta generalizada de gráficos Smith 2D y 3D para circuitos activos y pasivos (gratuita para el mundo académico/educativo).