Plano complejo

En matemáticas , el plano complejo es el plano formado por los números complejos , con un sistema de coordenadas cartesiano tal que el eje $x$ horizontal , llamado eje real , está formado por los números reales , y el eje $y$ vertical , llamado eje imaginario. eje , está formado por los números imaginarios .

El plano complejo permite una interpretación geométrica de los números complejos. En la suma , suman vectores similares . La multiplicación de dos números complejos se puede expresar más fácilmente en coordenadas polares : la magnitud o módulo del producto es el producto de los dos valores absolutos , o módulos, y el ángulo o argumento del producto es la suma de los dos ángulos. o argumentos. En particular, la multiplicación por un número complejo de módulo 1 actúa como una rotación.

El plano complejo a veces se denomina plano de Argand o plano de Gauss .

Convenciones de notación

Números complejos

En el análisis complejo , los números complejos se suelen representar con el símbolo $z$ , que puede separarse en sus partes real ( $x$ ) e imaginaria ( $y$ ):

z=x+iy

por ejemplo: $z = 4 + 5 i$ , donde $xey$ son números reales e $i$ es la $unidad$ imaginaria . En esta notación habitual el número complejo $z$ corresponde al punto $(x, y)$ en el plano cartesiano ; el punto $(x, y)$ también se puede representar en coordenadas polares con:

{\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}

En el plano cartesiano se puede suponer que el rango de la función arcotangente toma los valores $(-π/2, π/2)$ (en radianes ), y se debe tener cierto cuidado al definir la función arcotangente más completa para puntos $(x, y)$ cuando $x \leq 0$ . ^{[nota 1]} En el plano complejo estas coordenadas polares toman la forma

{\begin{aligned}z&=x+iy\\&=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\&=|z|e^{i\theta }\end{aligned}}

donde ^{[nota 2]}

{\begin{aligned}|z|&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arg(z)\\&={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}\\&=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\end{aligned}}

Aquí $| z |$ es el valor absoluto o módulo del número complejo $z$ ; $θ$ , el argumento de $z$ , generalmente se toma en el intervalo $0 \leq θ < 2 π$ ; y la última igualdad (to $| z | e iθ$ ) se toma de la fórmula de Euler . Sin la restricción en el rango de $θ$ , el argumento de $z$ tiene varios valores, porque la función exponencial compleja es periódica, con período $2 πi$ . Por lo tanto, si $θ$ es un valor de $arg(z)$ , los otros valores vienen dados por $arg(z) = θ + 2 nπ$ , donde $n$ es cualquier número entero distinto de cero. ^[2]

Aunque rara vez se usa explícitamente, la visión geométrica de los números complejos se basa implícitamente en su estructura de un espacio vectorial euclidiano de dimensión 2, donde el producto interno de los números complejos $w$ y $z$ viene dado por ; entonces para un número complejo $z$ su valor absoluto $|$ $z$ $|$ coincide con su norma euclidiana y su argumento $arg($ $z$ $)$ con el ángulo que pasa de 1 a $z$ . $\Re (w{\overline {z}})$

La teoría de la integración de contornos comprende una parte importante del análisis complejo. En este contexto, la dirección de desplazamiento alrededor de una curva cerrada es importante: invertir la dirección en la que se recorre la curva multiplica el valor de la integral por $-1$ . Por convención, la dirección positiva es en sentido contrario a las agujas del reloj. Por ejemplo, el círculo unitario se recorre en dirección positiva cuando comenzamos en el punto $z = 1$ , luego viajamos hacia arriba y hacia la izquierda a través del punto $z = i$ , luego hacia abajo y hacia la izquierda hasta $-1$ , luego hacia abajo y hasta hacia la derecha a través de $- i$ , y finalmente hacia arriba y hacia la derecha hasta $z = 1$ , donde comenzamos.

Casi todo el análisis complejo se ocupa de funciones complejas , es decir, de funciones que mapean algún subconjunto del plano complejo en algún otro subconjunto (posiblemente superpuesto o incluso idéntico) del plano complejo. Aquí se acostumbra hablar del dominio de $f (z)$ como si estuviera en el plano $z$ , mientras que se hace referencia al rango de $f (z)$ como un conjunto de puntos en el plano $w$ . En símbolos escribimos

{\begin{aligned}z&=x+iy\\f(z)&=w\\&=u+iv\end{aligned}}

y a menudo pensamos en la función $f$ como una transformación del plano $z$ (con coordenadas $(x, y)$ ) al plano $w$ (con coordenadas $(u, v)$ ).

Notación de plano complejo

El plano complejo se denota como $\mathbb {C}$

diagrama de argand

Representación geométrica del punto de valores complejos $z = x + yi$ en el plano complejo. La distancia a lo largo de la línea desde el origen hasta el punto $z = x + yi$ es el *módulo* o *valor absoluto* de $z$ . El ángulo $θ$ es el *argumento* de $z$ .

El diagrama de Argand se refiere a una gráfica geométrica de números complejos como puntos $z = x + iy$ $usando el eje x$ horizontal como eje real y el eje $y$ vertical como eje imaginario. ^[3] Estas parcelas llevan el nombre de Jean-Robert Argand (1768–1822), aunque fueron descritas por primera vez por el agrimensor y matemático noruego-danés Caspar Wessel (1745–1818). ^{[nota 3]} Los diagramas de Argand se utilizan con frecuencia para trazar las posiciones de los ceros y los polos de una función en el plano complejo.

Proyecciones estereográficas

Puede resultar útil pensar en el plano complejo como si ocupara la superficie de una esfera. Dada una esfera de radio unitario, coloque su centro en el origen del plano complejo, orientado de modo que el ecuador de la esfera coincida con el círculo unitario del plano y el polo norte esté "arriba" del plano.

Podemos establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos de la superficie de la esfera menos el polo norte y los puntos del plano complejo de la siguiente manera. Dado un punto del plano, traza una línea recta que lo conecte con el polo norte de la esfera. Esa línea cruzará la superficie de la esfera exactamente en otro punto. El punto $z = 0$ se proyectará sobre el polo sur de la esfera. Dado que el interior del círculo unitario se encuentra dentro de la esfera, toda esa región ( $| z | < 1$ ) se asignará al hemisferio sur. El círculo unitario en sí ( $| z | = 1$ ) se asignará al ecuador, y el exterior del círculo unitario ( $| z | > 1$ ) se asignará al hemisferio norte, menos el polo norte. Claramente, este procedimiento es reversible: dado cualquier punto de la superficie de la esfera que no sea el polo norte, podemos dibujar una línea recta que conecta ese punto con el polo norte y corta el plano exactamente en un punto.

Bajo esta proyección estereográfica, el propio polo norte no está asociado con ningún punto del plano complejo. Perfeccionamos la correspondencia uno a uno añadiendo un punto más al plano complejo (el llamado punto en el infinito ) e identificándolo con el polo norte de la esfera. Este espacio topológico, el plano complejo más el punto en el infinito, se conoce como plano complejo extendido . Hablamos de un único "punto en el infinito" cuando hablamos de análisis complejos. Hay dos puntos en el infinito (positivo y negativo) en la recta numérica real , pero solo hay un punto en el infinito (el polo norte) en el plano complejo extendido. ^[5]

Imagínese por un momento lo que sucederá con las líneas de latitud y longitud cuando se proyecten desde la esfera al plano. Todas las líneas de latitud son paralelas al ecuador, por lo que se convertirán en círculos perfectos centrados en el origen $z = 0$ . Y las líneas de longitud se convertirán en líneas rectas que pasan por el origen (y también por el "punto en el infinito", ya que pasan por los polos norte y sur de la esfera).

Ésta no es la única situación estereográfica posible, aunque verosímil, de la proyección de una esfera sobre un plano formado por dos o más valores. Por ejemplo, el polo norte de la esfera podría colocarse encima del origen $z = -1$ en un plano tangente al círculo. Los detalles realmente no importan. Cualquier proyección estereográfica de una esfera sobre un plano producirá un "punto en el infinito" y mapeará las líneas de latitud y longitud de la esfera en círculos y líneas rectas, respectivamente, en el plano.

Cortando el avión

Cuando se analizan funciones de una variable compleja, suele ser conveniente pensar en un corte en el plano complejo. Esta idea surge naturalmente en varios contextos diferentes.

Relaciones multivaluadas y puntos de ramificación

Considere la relación simple de dos valores

w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}.

Antes de que podamos tratar esta relación como una función de un solo valor , el rango del valor resultante debe restringirse de alguna manera. Cuando se trata de raíces cuadradas de números reales no negativos, esto se hace fácilmente. Por ejemplo, podemos simplemente definir

y=g(x)={\sqrt {x}}=x^{1/2}

ser el número real no negativo $y$ tal que $y 2 = x$ . Esta idea no funciona tan bien en el plano complejo bidimensional. Para ver por qué, pensemos en la forma en que varía el valor de $f (z)$ a medida que el punto $z$ se mueve alrededor del círculo unitario. Podemos escribir y tomar ${\textstyle z=re^{i\theta }}$

{\begin{aligned}w&=z^{1/2}\\&={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2},\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .\end{aligned}}

Evidentemente, cuando $z$ recorre todo el círculo, $w$ sólo traza la mitad del círculo. Entonces, un movimiento continuo en el plano complejo ha transformado la raíz cuadrada positiva $e 0 = 1$ en la raíz cuadrada negativa $e iπ = -1$ .

Este problema surge porque el punto $z = 0$ tiene sólo una raíz cuadrada, mientras que cualquier otro número complejo $z \neq 0$ tiene exactamente dos raíces cuadradas. En la recta numérica real podríamos evitar este problema erigiendo una "barrera" en el único punto $x = 0$ . Se necesita una barrera más grande en el plano complejo, para evitar que cualquier contorno cerrado rodee completamente el punto de bifurcación $z = 0$ . Esto comúnmente se hace introduciendo un corte de rama ; en este caso el "corte" podría extenderse desde el punto $z = 0$ a lo largo del eje real positivo hasta el punto en el infinito, de modo que el argumento de la variable $z$ en el plano de corte se restringe al rango $0 \leq arg(z) < 2π$ . $$

Ahora podemos dar una descripción completa de $w = z 1/2$ . Para hacerlo necesitamos dos copias del plano $z$ , cada una de ellas cortada a lo largo del eje real. En una copia definimos la raíz cuadrada de 1 como $e 0 = 1$ , y en la otra definimos la raíz cuadrada de 1 como $e iπ = -1$ . A estas dos copias las llamamos hojas planas cortadas completas . Al hacer un argumento de continuidad, vemos que la función (ahora de un solo valor) $w = z 1/2$ asigna la primera hoja a la mitad superior del plano $w , donde$ $0 \leq arg(w) < π$ , mientras que asigna la segunda hoja en la mitad inferior del plano $w$ (donde $π \leq arg(w) < 2 π$ ). ^[6]

El corte de rama en este ejemplo no tiene por qué estar a lo largo del eje real; Ni siquiera tiene que ser una línea recta. Cualquier curva continua que conecte el origen $z = 0$ con el punto en el infinito funcionaría. En algunos casos, el corte de la rama ni siquiera tiene que pasar por el punto del infinito. Por ejemplo, considere la relación

w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2}.

Aquí el polinomio $z 2 - 1$ desaparece cuando $z = \pm1$ , por lo que $g$ evidentemente tiene dos puntos de ramificación. Podemos "cortar" el plano a lo largo del eje real, de $-1$ a $1$ , y obtener una hoja en la que $g (z)$ es una función de un solo valor. Alternativamente, el corte puede ir desde $z = 1$ a lo largo del eje real positivo a través del punto en el infinito, luego continuar "hacia arriba" por el eje real negativo hasta el otro punto de bifurcación, $z = -1$ .

Esta situación se visualiza más fácilmente utilizando la proyección estereográfica descrita anteriormente. En la esfera, uno de estos cortes recorre longitudinalmente el hemisferio sur, conectando un punto del ecuador ( $z = -1$ ) con otro punto del ecuador ( $z = 1$ ), y pasando por el polo sur (el origen, $z = 0$ ) en camino. La segunda versión del corte recorre longitudinalmente el hemisferio norte y conecta los mismos dos puntos ecuatoriales pasando por el polo norte (es decir, el punto en el infinito).

Restringir el dominio de las funciones meromórficas.

Una función meromorfa es una función compleja que es holomorfa y, por lo tanto, analítica en todas partes de su dominio excepto en un número finito o contablemente infinito de puntos. ^{[nota 4]} Los puntos en los que dicha función no se puede definir se denominan polos de la función meromórfica. A veces todos estos polos se encuentran en línea recta. En ese caso, los matemáticos pueden decir que la función es "holomorfa en el plano de corte". Por ejemplo:

La función gamma , definida por

\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\right]

donde $γ$ es la constante de Euler-Mascheroni y tiene polos simples en $0, -1, -2, -3, ...$ porque exactamente un denominador en el producto infinito desaparece cuando $z = 0$ , o un entero negativo. ^{[nota 5]} Dado que todos sus polos se encuentran en el eje real negativo, desde $z = 0$ hasta el punto en el infinito, esta función podría describirse como "holomórfica en el plano de corte, el corte se extiende a lo largo del eje real negativo, desde 0 ( inclusive) hasta el punto del infinito."

Alternativamente, $Γ(z)$ podría describirse como "holomórfico en el plano de corte con $- π <arg(z) < π$ y excluyendo el punto $z = 0$ ".

Este corte es ligeramente diferente del corte de rama que ya hemos encontrado, porque en realidad excluye el eje real negativo del plano de corte. El corte de rama dejó el eje real conectado con el plano de corte en un lado $(0 \leq θ)$ , pero lo separó del plano de corte en el otro lado $(θ < 2 π)$ .

Por supuesto, en realidad no es necesario excluir todo el segmento de recta desde $z = 0$ hasta $-\infty$ para construir un dominio en el que $Γ(z)$ sea holomórfico. Todo lo que realmente tenemos que hacer es perforar el plano en un conjunto infinitamente numerable de puntos ${0, -1, -2, -3, ...}$ . Pero un contorno cerrado en el plano perforado podría rodear uno o más de los polos de $Γ(z)$ , dando una integral de contorno que no es necesariamente cero, según el teorema del residuo . Cortar el plano complejo garantiza no sólo que $Γ(z)$ sea holomorfa en este dominio restringido, sino también que la integral de contorno de la función gamma sobre cualquier curva cerrada que se encuentre en el plano de corte sea idénticamente igual a cero.

Especificación de regiones de convergencia

Muchas funciones complejas están definidas por series infinitas o por fracciones continuas . Una consideración fundamental en el análisis de estas expresiones infinitamente largas es identificar la porción del plano complejo en la que convergen a un valor finito. Un corte en el plano puede facilitar este proceso, como muestran los siguientes ejemplos.

Considere la función definida por la serie infinita.

f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.

Debido a que $z 2 = (- z) 2$ para cada número complejo $z$ , está claro que $f (z)$ es una función par de $z$ , por lo que el análisis puede restringirse a la mitad del plano complejo. Y como la serie no está definida cuando

z^{2}+n=0\quad \iff \quad z=\pm i{\sqrt {n}},

tiene sentido cortar el plano a lo largo de todo el eje imaginario y establecer la convergencia de esta serie donde la parte real de $z$ no es cero antes de emprender la tarea más ardua de examinar $f (z)$ cuando $z$ es un número imaginario puro. ^{[nota 6]}

En este ejemplo, el corte es una mera conveniencia, porque los puntos en los que la suma infinita no está definida están aislados y el plano de corte se puede reemplazar con un plano adecuadamente perforado . En algunos contextos el recorte es necesario y no sólo conveniente. Considere la fracción continua periódica infinita

f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}.

Se puede demostrar que $f (z)$ converge a un valor finito si $z$ no es un número real negativo tal que $z < − .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 4$ . En otras palabras, la región de convergencia para esta fracción continua es el plano de corte, donde el corte discurre a lo largo del eje real negativo, desde − 1 ⁄ 4 hasta el punto del infinito. ^[8]

Pegar el plano cortado nuevamente

Ya hemos visto cómo la relación

w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}

se puede convertir en una función de un solo valor dividiendo el dominio de $f$ en dos hojas desconectadas. También es posible "pegar" esas dos hojas nuevamente para formar una única superficie de Riemann en la que $f (z) = z 1/2$ puede definirse como una función holomorfa cuya imagen es todo el plano $w$ (excepto el punto $w = 0$ ). Así es como funciona.

Imagine dos copias del plano complejo cortado, extendiéndose los cortes a lo largo del eje real positivo desde $z = 0$ hasta el punto en el infinito. En una hoja defina $0 \leq arg(z) < 2 π$ , de modo que $1 1/2 = e 0 = 1$ , por definición. En la segunda hoja defina $2 π \leq arg(z) < 4 π$ , de modo que $1 1/2 = e iπ = -1$ , nuevamente por definición. Ahora voltee la segunda hoja boca abajo, de modo que el eje imaginario apunte en la dirección opuesta al eje imaginario de la primera hoja, con ambos ejes reales apuntando en la misma dirección, y "pegue" las dos hojas juntas (de modo que el borde de la primera hoja etiquetada " $θ = 0$ " está conectada al borde etiquetado " $θ < 4 π$ " en la segunda hoja, y el borde de la segunda hoja etiquetado " $θ = 2 π$ " está conectado al borde etiquetado " $θ < 2 π$ " en la primera hoja). El resultado es el dominio de superficie de Riemann en el que $f (z) = z 1/2$ tiene un solo valor y es holomórfico (excepto cuando $z = 0$ ). ^[6]

Para entender por qué $f$ tiene un solo valor en este dominio, imagine un circuito alrededor del círculo unitario, comenzando con $z = 1$ en la primera hoja. Cuando $0 \leq θ < 2 π$ todavía estamos en la primera hoja. Cuando $θ = 2 π$ hemos cruzado a la segunda lámina, y estamos obligados a hacer un segundo circuito completo alrededor del punto de bifurcación $z = 0$ antes de regresar a nuestro punto de partida, donde $θ = 4 π$ equivale a $θ = 0$ , porque de la forma en que pegamos las dos hojas. En otras palabras, cuando la variable $z$ da dos vueltas completas alrededor del punto de bifurcación, la imagen de $z$ en el plano $w$ traza solo un círculo completo.

La diferenciación formal muestra que

f(z)=z^{1/2}\quad \Rightarrow \quad f'(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1/2}

de lo cual podemos concluir que la derivada de $f$ existe y es finita en todas partes de la superficie de Riemann, excepto cuando $z = 0$ (es decir, $f$ es holomorfa, excepto cuando $z = 0$ ).

¿Cómo puede la superficie de Riemann para la función?

w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2},

también discutido anteriormente, ¿se construirá? Una vez más comenzamos con dos copias del plano $z$ , pero esta vez cada una se corta a lo largo del segmento de línea real que se extiende desde $z = -1$ hasta $z = 1$ ; estos son los dos puntos de ramificación de $g (z)$ . Le damos la vuelta a uno de estos, de modo que los dos ejes imaginarios apunten en direcciones opuestas, y pegamos los bordes correspondientes de las dos hojas cortadas. Podemos verificar que $g$ es una función de un solo valor en esta superficie trazando un circuito alrededor de un círculo de radio unitario centrado en $z = 1$ . Comenzando en el punto $z = 2$ de la primera hoja, giramos hasta la mitad del círculo antes de encontrar el corte en $z = 0$ . El corte nos obliga a pasar a la segunda hoja, de modo que cuando $z$ ha dado una vuelta completa alrededor del punto de bifurcación $z = 1$ , $w$ ha dado sólo media vuelta completa, el signo de $w$ se ha invertido (porque $e iπ = -1$ ), y nuestro camino nos ha llevado al punto $z = 2$ de la segunda lámina de la superficie. Continuando con otra media vuelta nos encontramos con el otro lado del corte, donde $z = 0$ , y finalmente llegamos a nuestro punto de partida ( $z = 2$ en la primera hoja) después de dar dos vueltas completas alrededor del punto de bifurcación.

La forma natural de etiquetar $θ = arg(z)$ en este ejemplo es establecer $- π < θ \leq π$ en la primera hoja, con $π < θ \leq 3 π$ en la segunda. Los ejes imaginarios de las dos hojas apuntan en direcciones opuestas, de modo que se conserva el sentido de rotación positiva en sentido antihorario cuando un contorno cerrado se mueve de una hoja a la otra (recuerde, la segunda hoja está al revés ). Imagine esta superficie incrustada en un espacio tridimensional, con ambas láminas paralelas al plano $xy$ . Luego parece haber un agujero vertical en la superficie, donde se unen los dos cortes. ¿Qué pasa si el corte se hace desde $z = -1$ hacia abajo por el eje real hasta el punto del infinito, y desde $z = 1$ , hacia arriba por el eje real hasta que el corte se encuentra consigo mismo? De nuevo se puede construir una superficie de Riemann, pero esta vez el "agujero" es horizontal. Topológicamente hablando , ambas versiones de esta superficie de Riemann son equivalentes: son superficies bidimensionales orientables de género uno.

Uso en teoría de control

En teoría del control , un uso del plano complejo se conoce como plano s . Se utiliza para visualizar gráficamente las raíces de la ecuación que describe el comportamiento de un sistema (la ecuación característica). La ecuación normalmente se expresa como un polinomio en el parámetro $s$ de la transformada de Laplace , de ahí el nombre de plano $s$ . Los puntos en el plano s toman la forma $s = σ + jω$ , donde se usa ' $j$ ' en lugar de la habitual ' $i$ ' para representar el componente imaginario (la variable ' $i$ ' se usa a menudo para denotar corriente eléctrica en contextos de ingeniería) .

Otro uso relacionado del plano complejo es con el criterio de estabilidad de Nyquist . Este es un principio geométrico que permite determinar la estabilidad de un sistema de retroalimentación de bucle cerrado inspeccionando un gráfico de Nyquist de su magnitud de bucle abierto y respuesta de fase en función de la frecuencia (o función de transferencia de bucle ) en el plano complejo.

El plano $z$ es una versión en tiempo discreto del plano $s$ , donde se utilizan transformadas $z en lugar de la transformación de Laplace.$

Espacios cuadráticos

El plano complejo está asociado a dos espacios cuadráticos distintos . Para un punto $z = x + iy$ en el plano complejo, la función cuadrada $z 2$ y la norma cuadrada $x 2 + y 2$ son formas cuadráticas . El primero se descuida con frecuencia a raíz del uso del segundo para establecer una métrica en el plano complejo. Estas distintas caras del plano complejo como espacio cuadrático surgen en la construcción de álgebras sobre un campo con el proceso de Cayley-Dickson . Ese procedimiento se puede aplicar a cualquier campo , y se producen resultados diferentes para los campos R y C : cuando R es el campo de despegue, entonces C se construye con la forma cuadrática $x 2 + y 2$ , pero el proceso también puede comenzar con C y $z 2$ , y ese caso genera álgebras que difieren de las derivadas de R . En cualquier caso, las álgebras generadas son álgebras de composición ; en este caso, el plano complejo es el punto establecido para dos álgebras de composición distintas.

Otros significados de "plano complejo"

Las secciones anteriores de este artículo tratan del plano complejo en términos de una representación geométrica de los números complejos. Aunque este uso del término "plano complejo" tiene una historia larga y matemáticamente rica, no es de ninguna manera el único concepto matemático que puede caracterizarse como "el plano complejo". Hay al menos tres posibilidades adicionales.

Espacio vectorial complejo bidimensional, un "plano complejo" en el sentido de que es un espacio vectorial bidimensional cuyas coordenadas son números complejos . Ver también: Espacio afín complejo § Dos dimensiones .
El espacio de Minkowski $(1 + 1)$ -dimensional , también conocido como plano complejo dividido , es un "plano complejo" en el sentido de que los números algebraicos complejos divididos se pueden separar en dos componentes reales que se asocian fácilmente con el punto $(x, y)$ en el plano cartesiano.
El conjunto de números duales sobre los reales también se puede colocar en correspondencia uno a uno con los puntos $(x, y)$ del plano cartesiano y representar otro ejemplo de un "plano complejo".

Ver también

Espacio de coordenadas complejo
Geometría compleja
linea compleja
Diagrama de constelación
Esfera de Riemann , que es un plano complejo extendido
avión s
Componentes en fase y en cuadratura.
linea real

Notas

^ Se puede encontrar una definición detallada del argumento complejo en términos del arcotangente completo en la descripción de la función $atan2$ .
^ Todas las propiedades familiares de la función exponencial compleja, las funciones trigonométricas y el logaritmo complejo se pueden deducir directamente de la serie de potencias para $e z$ . En particular, el valor principal de $log r$ , donde $| r | = 1$ , se puede calcular sin referencia a ninguna construcción geométrica o trigonométrica. ^[1]
^ Las memorias de Wessel se presentaron a la Academia Danesa en 1797; El artículo de Argand se publicó en 1806. ^[4]
^ Ver también Prueba de que las funciones holomorfas son analíticas .
^ El producto infinito para $Γ(z)$ es uniformemente convergente en cualquier región acotada donde ninguno de sus denominadores desaparece; por tanto, define una función meromórfica en el plano complejo. ^[7]
^ Cuando $Re(z) > 0$ esta suma converge uniformemente en cualquier dominio acotado en comparación con $ζ (2)$ , donde $ζ (s)$ es la función zeta de Riemann .

Referencias

^ Whittaker y Watson 1927, Apéndice .
^ Whittaker y Watson 1927, pág. 10.
^ Weisstein, Eric W. (8 de febrero de 2024). "Diagrama de Argand". MundoMatemático . Consultado el 17 de febrero de 2024 .
^ Whittaker y Watson 1927, pág. 9.
^ Flanigan 1983, pag. 305.
^ ab Moretti 1964, págs. 113-119.
^ Whittaker y Watson 1927, págs. 235-236.
^ Muro 1948, pag. 39.

Trabajos citados

Flanigan, Francis J. (1983). Variables complejas: funciones armónicas y analíticas . Dover. ISBN 0-486-61388-7.
Moretti, Gino (1964). Funciones de una variable compleja . Prentice Hall.
Muro, SA (1948). Teoría analítica de fracciones continuas . Compañía D. Van Nostrand.Reimpreso (1973) por Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8 .
Whittaker, et al ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (Cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el plano complejo .

Jean-Robert Argand, " Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructs géométriques ", 1806, en línea y analizado en BibNum [para la versión en inglés, haga clic en ' à télécharger ']